Đề bài
Chứng minh rằng nếu tam giác \(A'B'C'\) đồng dạng với tam giác \(ABC\) theo tỉ số \(k\), thì tỉ số của hai đường trung tuyến tương ứng với hai tam giác đó cũng bằng \(k\).
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Áp dụng:
- Định lí: Nếu hai cạnh tam giác này tỉ lệ với hai cạnh của tam giác kia và góc tạo bởi các cặp đó bằng nhau, thì hai tam giác đồng dạng.
- Tính chất hai tam giác đồng dạng.
- Tính chất trung tuyến.
Lời giải chi tiết
Giả sử \(∆A'B'C'\) đồng dạng \(∆ABC\) theo tỉ số \(k, A'M', AM\) là hai đường trung tuyến tương ứng.
Vì \(∆A'B'C'\) đồng dạng \(∆ABC\) theo tỉ số k (giả thiết)
\(\dfrac{A'B'}{AB} = \dfrac{B'C'}{BC} = k\) (tính chất hai tam giác đồng dạng)
Mà \(B'C' = 2B'M', BC = 2BM\) (tính chất trung tuyến)
\( \Rightarrow \dfrac{{A'B'}}{{AB}} = \dfrac{{2B'M'}}{{2BM}} = \dfrac{{B'M'}}{{BM}}\)
Xét \(∆ABM\) và \( ∆A'B'M'\) có:
\(\widehat{B} = \widehat{B'}\) (vì \(∆A'B'C'\) đồng dạng \(∆ABC\))
\( \dfrac{{A'B'}}{{AB}} = \dfrac{{B'M'}}{{BM}}\) (chứng minh trên)
\( \Rightarrow ∆A'B'M' \) đồng dạng \(∆ABM\) theo tỉ số \(\frac{A'B'}{AB} = k\) (c-g-c)
\( \Rightarrow \dfrac{A'M'}{AM}= \dfrac{A'B'}{AB} = k.\) (tính chất hai tam giác đồng dạng)