Đề bài
Cho đường tròn tâm \(O\) bán kính \(OA\) và đường tròn đường kính \(OA\).
a) Hãy xác định vị trí tương đối của hai đường tròn.
b) Dây \(AD\) của đường tròn lớn cắt đường tròn nhỏ ở \(C\). Chứng minh rằng \(AC=CD\).
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Cho hai đường tròn \((O;\ R)\) và \((O';\ r)\) với R>r. Nếu \(OO'=R-r\) thì hai đường tròn tiếp xúc trong.
b) +) Nếu tam giác có ba đỉnh nằm trên đường tròn và có 1 cạnh là đường kính của đường tròn đó thì tam giác đó là tam giác vuông.
+) Trong một đường tròn, đường kính vuông góc với dây thì đi qua trung điểm của dây đó.
Lời giải chi tiết
a) Gọi \(O'\) là tâm của đường tròn đường kính \(OA\).
Gọi R và r lần lượt là bán kính đường tròn tâm O và tâm O'. Độ dài \(OO'=d\).
Vì \(O'\) là tâm của đường tròn đường kính \(OA\) nên \(r=O'A=O'O=\dfrac{OA}2.\)
Vì điểm O' nằm giữa hai điểm O và A nên \(AO'+OO'=OA\)
\(\Rightarrow OO'=OA-O'A\) hay \(d=R-r\)
\(\Rightarrow\) Đường tròn \((O)\) và đường tròn \((O')\) tiếp xúc trong.
b) Xét tam giác ACO có trung tuyến CO' = \(\dfrac{1}{2}.AO(=r)\) nên \(\Delta CAO\) vuông tại \(C\)
\(\Rightarrow OC\perp AD\) tại C.
Cách 1:
Xét đường tròn (O) có OC là một phần đường kính và AD là dây của đường tròn mà \(OC \bot AD\) tại C (cmt) \(\Rightarrow CA=CD\) (đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm dây đó).
Cách 2:
Xét hai tam giác vuông ACO và DCO, có:
\(AO = OD (=R)\)
CO chung
\(\Rightarrow \Delta ACO = \Delta DCO\)(cạnh huyền - cạnh góc vuông)
\(\Rightarrow AC = DC\) (2 cạnh tương ứng)
Cách 3:
Vì OA = OD(=R) nên tam giác OAD cân tại O
\(\Rightarrow\) Đường cao OC đồng thời là đường trung tuyến
\(\Rightarrow\) C là trung điểm của AD
\(\Rightarrow\) CA = CD