Bài 40 trang 81

Đề bài

Cho Hình 32 có \(\widehat {BAC} = 90^\circ \), AH vuông góc với BC tại H, \(\widehat {xAB} = \widehat {BAH}\) , Ay là tia đối của tia Ax. BD và CE vuông góc với xy lần lượt tại D và E. Chứng minh:

a) AC là tia phân giác của góc Hay;

b) BD + CE = BC;

c) DH vuông góc với HE.

 

Lời giải chi tiết

a) •Ta có \(\widehat {xAy} = \widehat {xAB} + \widehat {BAC} + \widehat {CAy}\)

Hay \(180^\circ  = \widehat {xAB} + 90^\circ  + \widehat {CAy}\)

Suy ra \(\widehat {CAy} = 90^\circ  - \widehat {xAB}\)

•Ta có \(\widehat {BAH} + \widehat {CAH} = \widehat {BAC} = 90^\circ \)

Nên \(\widehat {CAH} = 90^\circ  - \widehat {BAH}\)

Mà \(\widehat {xAB} = \widehat {BAH}\) (giả thiết)

Suy ra \(\widehat {CAH} = \widehat {CAy}\)

Do đó AC là tia phân giác của \(\widehat {HAy}\)

Vậy AC là tia phân giác của \(\widehat {HAy}\) .

b) • Xét ∆ABD và ∆ABH có:

\(\widehat {ADB} = \widehat {AHB}\left( { = 90^\circ } \right)\)

AB là cạnh chung,

\(\widehat {DAB} = \widehat {HAB}\) (giả thiết),

Do đó ∆ABD = ∆ABH (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra BD = BH , AD = AH (các cặp cạnh tương ứng).

• Xét ∆ACE và ∆ACH có:

\(\widehat {AEC} = \widehat {AHC}\left( { = 90^\circ } \right)\)

AC là cạnh chung,

\(\widehat {CAH} = \widehat {CAE}\) (chứng minh câu a),

Do đó ∆ACE = ∆ACH (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra CE = CH, AE = AH (các cặp cạnh tương ứng).

•Ta có BC = BH + CH

Mà BD = BH, CE = CH.

Do đó BC = BD + CE.

Vậy BC = BD + CE.

c) Gọi I là giao điểm của AB và DH, K là giao điểm của EH và AC.

• Xét ∆ADI và ∆AHI có:

AD = AH (chứng minh câu b),

\(\widehat {DAI} = \widehat {HAI}\) (do \(\widehat {xAB} = \widehat {BAH}\)),

AI là cạnh chung.

Do đó ∆ADI = ∆AHI (c.g.c).

Suy ra \(\widehat {ADI} = \widehat {AHI}\) (hai góc tương ứng).

Hay \(\widehat {ADH} = \widehat {AHD}\).

• Xét ∆AHK và ∆AEK có:

AH = AE (chứng minh câu b),

\(\widehat {HAK} = \widehat {EAK}\) (do \(\widehat {HAC} = \widehat {EAC}\)),

AK là cạnh chung

Do đó ∆AHK = ∆AEK (c.g.c)

Suy ra \(\widehat {AHK} = \widehat {AEK}\) (hai góc tương ứng).

Hay \(\widehat {AHE} = \widehat {AEH}\).

Xét ∆ADH có: \(\widehat {ADH} + \widehat {AHD} + \widehat {HAD} = 180^\circ \) (tổng ba góc của một tam giác).

Mà \(\widehat {ADH} = \widehat {AHD}\) nên \(\widehat {AHD} = \frac{{180^\circ  - \widehat {HAD}}}{2}\)

 Xét ∆AEH có: \(\widehat {AEH} + \widehat {AHE} + \widehat {HAE} = 180^\circ \) (tổng ba góc của một tam giác)

Mà \(\widehat {AHE} = \widehat {AEH}\) nên \(\widehat {AHE} = \frac{{180^\circ  - \widehat {HAE}}}{2}\)

Ta có

\(\widehat {DHE} = \widehat {AHD} + \widehat {AHE} = \frac{{180^\circ  - \widehat {HAD}}}{2} + \frac{{180^\circ  - \widehat {HAE}}}{2} = \frac{{{{360}^o} - \left( {\widehat {HA{\rm{D}}} + \widehat {HA{\rm{E}}}} \right)}}{2} = \frac{{{{360}^o} - {{180}^o}}}{2} = {90^o}\)

Suy ra DH vuông góc với  HE.

Vậy DH vuông góc với  HE.