Đề bài
Cho nửa đường tròn tâm \(O,\) đường kính \(AB.\) Qua điểm \(C\) thuộc nửa đường tròn, kẻ tiếp tuyến \(d\) của đường tròn. Gọi \(E\) và \(F\) lần lượt là chân các đường vuông góc kẻ từ \(A\) đến \(B\) đến \(d.\) Gọi \(H\) là chân đường vuông góc kẻ từ \(C\) đến \(AB.\) Chứng minh rằng:
\(a)\) \(CE = CF;\)
\(b)\) \(AC\) là tia phân giác của góc \(BAE;\)
\(c)\) \(CH^2 = AE.BF\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng kiến thức:
+) Nếu một đường thẳng là tiếp tuyến của một đường tròn thì nó vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm.
+) Trong tam giác vuông, bình phương đường cao ứng với cạnh huyền bằng tích hai hình chiếu của hai cạnh góc vuông lên cạnh huyền.
Lời giải chi tiết
\(a)\) Ta có: \(OC ⊥d\) ( tính chất tiếp tuyến)
\(AE ⊥ d\;\; (gt)\)
\(BF ⊥ d \;\;(gt)\)
Suy ra: \(OC // AE // BF \;\;(*)\)
Mà \(OA = OB (=R)\)
Suy ra: \( CE = CF\) (tính chất đường thẳng song cách đều)
\(b)\) Ta có: \(AE // OC\) (theo \((*)\))
Suy ra: \(\widehat {OCA} = \widehat {EAC}\) ( hai góc so le trong) \((1)\)
Ta có: \(OA = OC (=R)\)
Suy ra: \(∆OAC\) cân tại \(O\) \( \Rightarrow \widehat {OCA} = \widehat {OAC}\) \((2)\)
Từ \((1)\) và \((2)\) suy ra: \(\widehat {EAC} = \widehat {OAC}\)
Vậy \(AC\) là tia phân giác của góc \(OAE\) hay \(AC\) là tia phân giác của góc \(BAE.\)
\(c)\) Tam giác \(ABC\) nội tiếp trong đường tròn \((O)\) có \(AB\) là đường kính nên \(\widehat {ACB} = 90^\circ \)
Tam giác \(ABC\) vuông tại \(C\) có \(CH ⊥ AB.\)
Theo hệ thức liên hệ giữa đường cao và hình chiếu, ta có:
\(C{H^2} = HA.HB\;\; (3)\)
Xét hai tam giác \(ACH\) và \(ACE,\) ta có:
+) \(\widehat {AEC} = \widehat {AHC} = 90^\circ \)
+) \(CH = CE\) (tính chất đường phân giác)
+) \(AC\) chung
Suy ra: \(∆ACH = ∆ACE\) (cạnh huyền, cạnh góc vuông)
Suy ra: \(AH = AE\;\;(4)\)
Xét hai tam giác \(BCH\) và \(BEF,\) ta có:
+) \(\widehat {BHC} = \widehat {BFC} = 90^\circ \)
+) \(CH = CF (= CE)\)
+) \(BC \) chung
Suy ra: \(∆BCH = ∆BCF\) (cạnh huyền, cạnh góc vuông)
Suy ra: \(BH = BF \;\;(5)\)
Từ \((3),\) \((4)\) và \((5)\) suy ra: \(C{H^2} = AE.BF\)
soanvan.me