Đề bài
Cho hình chữ nhật \(ABCD\) có \(AB = a = 12 cm,\) \(BC = b = 9cm.\) Gọi \(H\) là chân đường vuông góc kẻ từ \(A\) xuống \(BD\) (h.38)
a) Chứng minh \(∆ AHB\) đồng dạng \(∆ BCD;\)
b) Tính độ dài đoạn thẳng \(AH\);
c) Tính diện tích tam giác \(AHB.\)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng:
- Nếu hai góc của tam giác này lần lượt bằng hai góc của tam giác kia thì hai tam giác đó đồng dạng.
- Định lí Pytago: Bình phương của cạnh huyền bằng tổng các bình phương của các cạnh góc vuông.
Lời giải chi tiết
a) Vì \(AB // CD\) (vì \(ABCD\) là hình chữ nhật) nên \(\widehat {ABH} = \widehat {BDC}\) (cặp góc so le trong).
Xét \( ∆ AHB\) và \(∆ BCD\) có:
+) \(\widehat {AHB} = \widehat {BCD} = 90^\circ \)
+) \(\widehat {ABH} = \widehat {BDC}\) (chứng minh trên)
\( \Rightarrow ∆ AHB\) đồng dạng \(∆ BCD\) (g.g)
b) Vì \(∆ AHB\) đồng dạng \(∆ BCD\) suy ra \(\displaystyle{{AH} \over {BC}} = {{AB} \over {BD}}\)
\( \Rightarrow \displaystyle AH = {{AB.BC} \over {BD}}\)
Áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác vuông \(BCD\), ta có:
\( B{D^2} = B{C^2} + C{D^2} ={9^2}+{12^2} \)\(\,= 225 \)
\( \Rightarrow BD = 15\, (cm)\).
Vậy \(\displaystyle AH = {{12.9} \over {15}} = 7,2\; (cm).\)
c) Vì \(∆ AHB\) đồng dạng \(∆ BCD\) theo tỉ số \(k = \displaystyle {{AH} \over {BC}} = {{7,2} \over 9} = 0,8\)
Ta có \(\displaystyle {{{S_{AHB}}} \over {{S_{BCD}}}} = {k^2} = {\left( {0,8} \right)^2} = 0,64\)
\(\Rightarrow {S_{AHB}} = 0,64.{S_{BCD}}\)
\(\displaystyle {S_{BCD}} = {1 \over 2}BC.CD = {1 \over 2}.12.9 \)\(\,= 54(c{m^2})\)
\(\displaystyle {S_{AHB}} = 0,64.{S_{BCD}} = 0,64.54 \)\(\,= 34,56(c{m^2})\)
soanvan.me