Đề bài
Tam giác \(ABC\) có ba đường cao \(AD, BE, CF\) đồng quy tại \( H.\) Chứng minh rằng \(AH.DH = BH.EH = CH.FH\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng: Nếu hai góc của tam giác này lần lượt bằng hai góc của tam giác kia thì hai tam giác đó đồng dạng.
Từ đó suy ra các hệ thức cần chứng minh.
Lời giải chi tiết
Xét \(∆ AFH\) và \(∆ CDH\) có:
+) \(\widehat {AFH} = \widehat {CDH} = 90^\circ \)
+) \(\widehat {AHF} = \widehat {CHD}\) (đối đỉnh)
\( \Rightarrow ∆ AFH\) đồng dạng \(∆ CDH \) (g.g)
\( \Rightarrow\displaystyle {{AH} \over {CH}} = {{FH} \over {DH}}\)
\( \Rightarrow AH.DH = CH.FH\) (1)
Xét \(∆ AEH\) và \(∆ BDH\) có:
\(\widehat {AEH} = \widehat {BDH} = 90^\circ \)
\(\widehat {AHE} = \widehat {BHD}\) (đối đỉnh)
\( \Rightarrow ∆ AEH\) đồng dạng \(∆ BDH\) (g.g)
\( \Rightarrow\displaystyle{{AH} \over {BH}} = {{EH} \over {DH}}\)
\( \Rightarrow AH.DH = BH.EH\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra: \(AH.DH = BH.EH = CH.FH\) (đpcm).
soanvan.me