Đề bài
Hình thang \(ABCD \,(AB//CD)\) có \(AC\) và \(BD\) cắt nhau tại \(O, AD\) và \(BC\) cắt nhau tại \(K\). Chứng minh rằng \(OK\) đi qua trung điểm của các cạnh \(AB\) và \(CD\).
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Qua \(O\) kẻ đường thẳng song song với \(AB, CD\) cắt \(AD, BC\) lần lượt tại \(E, F\).
- Chứng minh \(\dfrac{{AN}}{{EO}}=\dfrac{{BN}}{{FO}}\).
- Chứng minh \(\dfrac{{EO}}{{DM}}=\dfrac{{FO}}{{CM}}\).
Lời giải chi tiết
Qua \(O\) kẻ đường thẳng song song với \(AB, CD\) cắt \(AD, BC\) lần lượt tại \(E, F\).
Suy ra \(AB//EF//CD\)
Gọi N là giao của KO và AB, M là giao của KO với DC.
Ta có: \(OE // DC\) (gt)
\( \Rightarrow \dfrac{{OE}}{{DC}} = \dfrac{{AO}}{{AC}}\left( 1 \right)\) (hệ quả của định lí TaLet)
\(OF // DC\) (gt)
\( \Rightarrow \dfrac{{OF}}{{DC}} = \dfrac{{BF}}{{BC}}\left( 2 \right)\) (hệ quả của định lí TaLet)
\(OF // AB\) (gt)
\( \Rightarrow \dfrac{{BF}}{{BC}} = \dfrac{{OA}}{{AC}}\) (3) (hệ quả của định lí TaLet)
Từ (1), (2) và (3) ta có:
\(\dfrac{{OE}}{{DC}} = \dfrac{{OF}}{{DC}} \Rightarrow OE = OF\)
Ta có: \(AB//EF\) (gt) áp dụng hệ quả của định lí TaLet ta có:
\(\begin{array}{l}
\Rightarrow \dfrac{{AN}}{{EO}} = \dfrac{{KN}}{{K{\rm{O}}}};\,\dfrac{{BN}}{{F{\rm{O}}}} = \dfrac{{KN}}{{K{\rm{O}}}}\\
\Rightarrow \dfrac{{AN}}{{EO}} = \dfrac{{BN}}{{F{\rm{O}}}} \\\text{Mà } EO=FO\\ \Rightarrow AN = BN
\end{array}\)
\( \Rightarrow \) \(N\) là trung điểm của \(AB.\)
Tương tự ta có: \(EF // DC\) (gt) áp dụng hệ quả của định lí TaLet ta có:
\(\begin{array}{l}
\Rightarrow \dfrac{{EO}}{{DM}} = \dfrac{{KO}}{{K{\rm{M}}}};\,\dfrac{{FO}}{{C{\rm{M}}}} = \dfrac{{KO}}{{K{\rm{M}}}}\\
\Rightarrow \dfrac{{EO}}{{DM}} = \dfrac{{FO}}{{C{\rm{M}}}}\\\text{Mà }EO=FO\\ \Rightarrow DM = CM
\end{array}\)
\( \Rightarrow M\) là trung điểm của \(CD\).
Vậy \(OK\) đi qua trung điểm của các cạnh \(AB\) và \(CD\).
soanvan.me