Đề bài
Một văn phòng A có 15 nhân viên nam và 20 nhân viên nữ. Để khảo sát mức độ hài long của nhân viên thông qua hình thức phỏng vấn, người ta lần lươt ghi tên của từng nhân viên vào 35 mẩu giấy giống nhau, từ đó chọn ngẫu nhiên 5 mẩu giấy
a) Tính xác suất của các biến cố:
A: “Trong 5 người được chọn có 2 nam, 3 nữ”
B: “Có nhiều nhân viên nữ được chọn hơn nhân viên nam”
C: “Có ít nhất một người được chọn là nữ”
b) Biết chị Lan là một nhân viên của văn phòng A. Tính xác suất của biến cố chị Lan được chọn
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Phép thử có không gian mẫu gồm hữu hạn các kết quả có cùng khả năng xảy ra và A là 1 biến cố
Xác suất của biến cố A là một số, kí hiệu \(P\left( A \right)\) được xác định bởi công thức: \(P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}}\), trong đó \(n\left( A \right)\) và \(n\left( \Omega \right)\) lần lượt là kí hiệu số phần tử của tập A và \(\Omega \)
Lời giải chi tiết
Chọn 5 mẩu giấy từ 35 mẩu giấy có \(C_{35}^5\) cách.
Do đó: \(n\left( \Omega \right) = C_{35}^5\)
a) A: “Trong 5 người được chọn có 2 nam, 3 nữ”
+ Chọn 2 nam (trong 15 nam): \(C_{15}^2\) cách chọn
+ Chọn 3 nữ (trong 20 nữ): \(C_{20}^3\) cách chọn
=> \(n\left( A \right) = C_{15}^2.C_{20}^3\)
\( \Rightarrow P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{C_{15}^2.C_{20}^3}}{{C_{35}^5}} \approx 0,37\)
- B: “Có nhiều nhân viên nữ được chọn hơn nhân viên nam”
Chọn 5 người nên xảy ra các trường hợp: 3 nữ 2 nam, 4 nữ 1 nam và 5 nữ
TH1: Chọn 3 nam, 2 nữ
+ Chọn 3 nữ (trong 20 nữ): \(C_{20}^3\) cách chọn
+ Chọn 2 nam (trong 15 nam): \(C_{15}^2\) cách chọn
=> Có \(C_{15}^2.C_{20}^3\) cách
TH2: chọn 4 nữ 1 nam
Tương tự ta có: \(C_{20}^4.C_{15}^1\) cách
TH3: chọn 5 nữ
Có \(C_{20}^5\) cách
=> \(n\left( B \right) = C_{20}^5 + C_{15}^1.C_{20}^4 + C_{15}^2.C_{20}^3\)
\( \Rightarrow P\left( B \right) = \frac{{n\left( B \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{C_{20}^5 + C_{15}^1.C_{20}^4 + C_{15}^2.C_{20}^3}}{{C_{35}^5}} \approx 0,64\)
- C: “Có ít nhất một người được chọn là nữ” => \(\overline C \) là “không có nhân viên nữ nào được chọn” nói cách khác \(\overline C \) là “5 người được chọn đều là nam”
Do đó \(n\left( C \right) = C_{15}^5\)
\( \Rightarrow P\left( C \right) = 1 - P\left( {\overline C } \right) = 1 - \frac{{n\left( {\overline C } \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = 1 - \frac{{C_{15}^5}}{{C_{35}^5}} \approx 0,99\)
b) D: “chị Lan được chọn” => \(\overline D \) là “Trong 5 người được chọn không có chị Lan”
Văn phòng có 35 người, không tính chị Lan thì còn 34 người. Ta chọn 5 người trong số này, có \(C_{34}^5\) cách.
\( \Rightarrow P\left( D \right) = 1 - P\left( {\overline D } \right) = 1 - \frac{{n\left( {\overline D } \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = 1 - \frac{{C_{34}^5}}{{C_{55}^5}} = \frac{1}{7}\)