Đề bài
Tìm các giá trị của tham số m để:
a) \(f\left( x \right) = \left( {m + 1} \right){x^2} + 5x + 2\) là tam thức bậc hai không đổi dấu trên \(\mathbb{R}\)
b) \(f\left( x \right) = m{x^2} - 7x + 4\) là tam thức bậc hai âm với mọi \(x \in \mathbb{R}\)
c) \(f\left( x \right) = 3{x^2} - 4x + \left( {3m - 1} \right)\)là tam thức bậc hai dương với mọi \(x \in \mathbb{R}\)
d) \(f\left( x \right) = \left( {{m^2} + 1} \right){x^2} - 3mx + 1\) là tam thức bậc hai âm với mọi \(x \in \mathbb{R}\)
Lời giải chi tiết
a) \(f\left( x \right)\) là tam thức bậc hai khi và khi \(m + 1 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne - 1\)
Mặt khác, để tam thức bậc hai không đổi dấu trên \(\mathbb{R}\) , tức là không cắt trục hoành (hay f(x)=0 vô nghiệm) khi và chỉ khi \(\Delta < 0\)
hay \({5^2} - 4\left( {m + 1} \right).2 < 0 \Leftrightarrow - 8m + 17 < 0 \Leftrightarrow m > \frac{{17}}{8}\)
Vậy để \(f\left( x \right) = \left( {m + 1} \right){x^2} + 5x + 2\) là tam thức bậc hai không đổi dấu trên \(\mathbb{R}\) thì \(m > \frac{{17}}{8}\)
b) \(f\left( x \right)\) là tam thức bậc hai khi và khi \(m \ne 0\)
Mặt khác, \(f\left( x \right)\) âm với mọi \(x \in \mathbb{R}\) khi và chỉ khi \(a < 0\) và \(\Delta < 0\)
hay \(\left\{ \begin{array}{l}m < 0\\{\left( { - 7} \right)^2} - 4m.4 < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < 0\\m > \frac{{49}}{{16}}\end{array} \right.\) (Vô lý)
Vậy không có giá trị nào của tham số m thỏa mãn yêu cầu.
c) \(f\left( x \right)\) có \(a = 3 > 0\), suy ra \(f\left( x \right)\) dương với mọi \(x \in \mathbb{R}\) khi và chỉ khi \(\Delta < 0\)
hay \({\left( { - 4} \right)^2} - 4.3.\left( {3m - 1} \right) < 0 \Leftrightarrow - 36m + 28 < 0 \Leftrightarrow m > \frac{7}{9}\)
Vậy để \(f\left( x \right) = 3{x^2} - 4x + \left( {3m - 1} \right)\)là tam thức bậc hai dương với mọi \(x \in \mathbb{R}\) thì \(m > \frac{7}{9}\)
d) \(f\left( x \right) = \left( {{m^2} + 1} \right){x^2} - 3mx + 1\) có \(a = {m^2} + 1 > 0\forall m \in \mathbb{R}\)
mà để \(f\left( x \right)\) âm với mọi \(x \in \mathbb{R}\) thì \(a < 0\) và \(\Delta < 0\)
Vậy không tồn tại giá trị m để \(f\left( x \right) = \left( {{m^2} + 1} \right){x^2} - 3mx + 1\) là tam thức bậc hai âm với mọi \(x \in \mathbb{R}\)