Đề bài
Chứng minh rằng
a) \(2{x^2} + \sqrt 3 x + 1 > 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\)
b) \({x^2} + x + \frac{1}{4} \ge 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\)
c) \( - {x^2} < - 2x + 3\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\)
Lời giải chi tiết
a) Tam thức \(2{x^2} + \sqrt 3 x + 1\) có \(\Delta = {\left( {\sqrt 3 } \right)^2} - 4.2 = - 5 < 0\) và \(a = 2 > 0\)
Suy ra \(2{x^2} + \sqrt 3 x + 1 > 0\forall x \in \mathbb{R}\) (đpcm)
b) Tam thức \({x^2} + x + \frac{1}{4}\) có \(\Delta = {1^2} - 4.\frac{1}{4} = 0\), có nghiệm kép \(x = - \frac{1}{2}\) và \(a = 1 > 0\)
Suy ra \({x^2} + x + \frac{1}{4} \ge 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\) (đpcm)
c) \( - {x^2} < - 2x + 3\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\) \( \Leftrightarrow {x^2} - 2x + 3 > 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\)
Xét tam thức \({x^2} - 2x + 3\) ta có \(\Delta = {\left( { - 2} \right)^2} - 4.3 = - 8 < 0\) và \(a = 1 > 0\)
Suy ra \({x^2} - 2x + 3 > 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\)\( \Leftrightarrow - {x^2} < - 2x + 3\) (đpcm)