Đề bài
Giải các bất phương trình sau:
a) \(3{x^2} - 36x + 108 > 0\)
b) \( - {x^2} + 2x - 2 \ge 0\)
c) \({x^4} - 3{x^2} + 2 \le 0\)
d) \(\frac{1}{{{x^2} - x + 1}} \le \frac{1}{{2{x^2} + x + 2}}\)
Lời giải chi tiết
a) Tam thức bậc hai \(f(x) = 3{x^2} - 36x + 108\) có a = 3 > 0, ∆’ = 0 nên f(x) có nghiệm kép x = 6 và f(x) = \(3{x^2} - 36x + 108\) > 0 với mọi \(x \ne 6\)
Vậy tập nghiệm của BPT \(3{x^2} - 36x + 108 > 0\) là \(\mathbb{R}\backslash {\rm{\{ }}6\} \)
b) Tam thức bậc hai \(g(x) = - {x^2} + 2x - 2 \ge 0\) có a = -1 < 0, ∆’ = -1 < 0 nên g(x) < 0 với mọi \(x \in \mathbb{R}\)
Vậy BPT \( - {x^2} + 2x - 2 \ge 0\) vô nghiệm
c) Đặt t = x2 (t ≥ 0) khi đó ta thu được BPT \({t^2} - 3t + 2 \le 0\)
Tam thức bậc hai \(h(x) = {t^2} - 3t + 2\) có a = 1 > 0 và có hai nghiệm là \({x_1} = 1,{x_2} = 2\) nên ta có bảng xét dấu:
Từ bảng xét dấu, ta được nghiệm của BPT \({t^2} - 3t + 2 \le 0\)là 1 ≤ t ≤ 2
Suy ra 1 ≤ x2 ≤ 2 \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} \ge 1\\{x^2} \le 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x \ge 1\\x \le - 1\end{array} \right.\\ - \sqrt 2 \le x \le \sqrt 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - \sqrt 2 \le x \le - 1\\1 \le x \le \sqrt 2 \end{array} \right.\)
Vậy tập nghiệm của BPT \({x^4} - 3{x^2} + 2 \le 0\) là \(\left[ { - \sqrt 2 ; - 1} \right] \cup \left[ {1;\sqrt 2 } \right]\)
d) \(\frac{1}{{{x^2} - x + 1}} \le \frac{1}{{2{x^2} + x + 2}}\)(*)
Ta có: Tam thức bậc hai \({x^2} - x + 1\) và \(2{x^2} + x + 2\) đều có a > 0, ∆ > 0 nên \({x^2} - x + 1\) > 0; \(2{x^2} + x + 2\) > 0 với mọi \(x \in \mathbb{R}\)
Khi đó (*) \( \Leftrightarrow {x^2} - x + 1 \ge 2{x^2} + x + 2\) \( \Leftrightarrow {x^2} + 2x + 1 \le 0\)
Tam thức bậc hai \(k(x) = {x^2} + 2x + 1\) có a = 1 > 0, ∆’ = 0 và có nghiệm kép x = -1
Suy ra k(x) > 0 với mọi x ≠ -1 và k(x) = 0 với x = -1
Vậy tập nghiệm của BPT \(\frac{1}{{{x^2} - x + 1}} \le \frac{1}{{2{x^2} + x + 2}}\) là {-1}