Đề bài
Tìm các giá trị của tham số m để:
a) \( - {x^2} + (m + 1)x - 2m + 1 \le 0,\forall x \in \mathbb{R}\)
b) \({x^2} - (2m + 1)x + m + 2 > 0,\forall x \in \mathbb{R}\)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Bước 1: Tính giá trị của ∆ (∆’)
Bước 2: Áp dụng điều kiện để BPT bậc 2 nghiệm đúng \(\forall x \in \mathbb{R}\) ta thu được BPT bậc 2 ẩn m
Bước 3: Giải BPT bậc hai đã tìm được
Bước 4: Kết luận giá trị của m tương ứng trong từng trường hợp
Lời giải chi tiết
a) Tam thức bậc hai \( - {x^2} + (m + 1)x - 2m + 1 \le 0\) có ∆ = \({(m + 1)^2} + 4( - 2m + 1) = {m^2} - 6m + 5\)
Vì a = -1 < 0 nên \( - {x^2} + (m + 1)x - 2m + 1 \le 0,\forall x \in \mathbb{R}\) khi và chỉ khi ∆ ≤ 0
Ta có: ∆ ≤ 0 \( \Leftrightarrow {m^2} - 6m + 5 \le 0 \Leftrightarrow 1 \le m \le 5\)
Vậy với \(m \in \left[ {1;5} \right]\) thì \( - {x^2} + (m + 1)x - 2m + 1 \le 0,\forall x \in \mathbb{R}\)
b) Tam thức bậc hai \({x^2} - (2m + 1)x + m + 2 > 0\) có ∆ = \({(2m + 1)^2} - 4(m + 2) = 4{m^2} - 7\)
Vì a = 1 > 0 nên \({x^2} - (2m + 1)x + m + 2 > 0,\forall x \in \mathbb{R}\) khi và chỉ khi ∆ < 0
Ta có: ∆ < 0 \( \Leftrightarrow 4{m^2} - 7 < 0 \Leftrightarrow - \frac{{\sqrt 7 }}{2} < m < \frac{{\sqrt 7 }}{2}\)
Vậy với \(m \in \left( { - \frac{{\sqrt 7 }}{2};\frac{{\sqrt 7 }}{2}} \right)\) thì \({x^2} - (2m + 1)x + m + 2 > 0,\forall x \in \mathbb{R}\)