Đề bài

Cho tam giác ABC có O là giao điểm của ba đường trung trực. Qua các điểm A, B, C lần lượt kẻ các đường thẳng vuông góc với OA, OB, OC, hai trong ba đường đó lần lượt cắt nhau tại M, N, P (Hình 144). Chứng minh:

a) \(\Delta OMA = \Delta OMB\) và tia MO là tia phân giác của góc NMP;

b) O là giao điểm của ba đường phân giác của tam giác MNP.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Chứng minh hai tam giác bằng nhau theo trường hợp cạnh huyền – cạnh góc vuông.

b) Chứng minh dựa vào kết quả của phần a).

Lời giải chi tiết

a) O là giao điểm của ba đường trung trực của tam giác ABC nên O cách đều ba đỉnh của tam giác đó hay OA = OB = OC.

Xét hai tam giác vuông OAM và OBM có:

     OA = OB;

     OM chung.

Vậy \(\Delta OAM = \Delta OBM\)(cạnh huyền – cạnh góc vuông).

Suy ra: \(\widehat {OMA} = \widehat {BMO}\) ( 2 góc tương ứng).

Vậy MO là tia phân giác của góc BMA hay MO là tia phân giác của góc NMP (ba điểm M, A, P thẳng hàng và ba điểm M, B, N thẳng hàng).

b) MO là tia phân giác của góc NMP.

Tương tự ta có:

     NO là tia phân giác của góc MNP.

     PO là tia phân giác của góc MPN.

Vậy O là giao điểm của ba đường phân giác MO, NO, PO của tam giác MNP.