Đề bài
Chứng minh rằng trong một đường tròn, hai cung bị chắn giữa hai dây song song thì bằng nhau.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
+ Dựa vào tính chất tam giác cân và tính chất hai đường thẳng song song để chỉ ra các cung có số đo bằng nhau.
+ Sử dụng : “ Hai cung bằng nhau nếu chúng có số đo bằng nhau”
Lời giải chi tiết
a) Trường hợp tâm đường tròn nằm ngoài hai dây song song
Giả sử \(AB//CD.\)
Kẻ đường kính \(EG//CD\) và nối các điểm \(A,B,C,D\) với tâm \(O.\) Khi đó, ta có \(\Delta OAB\) cân vì \(OA = OB\)
Suy ra \(\widehat A = \widehat B.\) (1)
Mặt khác, \(\widehat A = \widehat {AOE}\) và \(\widehat B = \widehat {BOG},\) (2) vì \(AB//EG\) (cùng song song với \(CD)\)
Từ (1) và (2) \( \Rightarrow \widehat {AOE} = \widehat {BOG}.\)
Do đó, ta có :
sđ\(\overparen{AE}\) =sđ \(\overparen{BG}\) (3)
Chứng minh tương tự, ta có \(sđ\overparen{CE}=sđ\overparen{DG}\) (4)
Vì \(C\) nằm trên cung \(AE,\) \(D\) nằm trên cung \(BG\) nên ta có :
sđ\(\overparen{AC}\) = sđ\(\overparen{AE}\) - sđ\(\overparen{CE}\)
và sđ\(\overparen{BD}\) = sđ\(\overparen{BG}\) - sđ\(\overparen{DG}\)
Vậy từ (3) và (4) ta có :
sđ\(\overparen{AC}\) = sđ\(\overparen{BD}\)\( \Rightarrow \) \(\overparen{AC}\) = \(\overparen{BD}\) (đpcm)
b) Trường hợp tâm đường tròn nằm trong hai dây song song
Kẻ đường kính \(EG//CD\) và nối các điểm \(A,B,C,D\) với tâm \(O.\)
Chứng minh tương tự câu a) , ta có :
sđ\(\overparen{AE}\) = sđ \(\overparen{BG}\) và sđ\(\overparen{EC}\) =sđ \(\overparen{GD}\) (5)
Vì \(E\) nằm trên cung \(AC,\) \(G\) nằm trên cung \(BD\) và từ \(\left( 4 \right)\) nên ta có :
sđ\(\overparen{AC}\) = sđ\(\overparen{AE}\) + sđ\(\overparen{EC}\)
và sđ\(\overparen{BD}\) = sđ\(\overparen{BG}\) + sđ\(\overparen{GD}\)
\( \Rightarrow \) sđ\(\overparen{AC}\) = sđ \(\overparen{BD}\) hay \(\overparen{AC}\) = \(\overparen{BD}\) (đpcm)
soanvan.me