Đề bài
Cho tam giác \(ABC,\) đường trung tuyến \(AM\) và trọng tâm \(G.\) Gọi \(I\) là điểm đối xứng với \(A\) qua \(G.\)
Chứng minh rằng \(I\) là điểm đối xứng với \(G\) qua \(M.\)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng kiến thức:
+) Ba đường trung tuyến trong tam giác cùng đi qua một điểm, điểm này cách mỗi đỉnh một khoảng bằng \(\dfrac{2}{3}\) độ dài đường trung tuyến ứng với đỉnh đó.
+) Hai điểm gọi là đối xứng với nhau qua \(O\) nếu \(O\) là trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm đó.
Lời giải chi tiết
Tam giác ABC có G là trọng tâm và AM là đường trung tuyến nên \(A, G, M\) thẳng hàng.
Vì \(I\) đối xứng với \(A\) qua tâm \(G\) nên \(GA = GI\) và \(A, G, M, I\) thẳng hàng.
Lại có \(GM=\dfrac{1}{2} GA\) ( tính chất đường trung tuyến của tam giác)
Suy ra: \(GM=\dfrac{1}{2} GI\)
Mà: \(GM + MI = GI\)
Suy ra: \(GM = MI=\dfrac{1}{2} GI\) nên điểm \(M\) là trung điểm của \(GI\)
Vậy \(I\) đối xứng với \(G\) qua tâm \(M.\)
soanvan.me