Đề bài
Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi D, E, F theo thứ tự là trung điểm của AB, BC, AC.
a. Chứng minh rằng ADEF là hình thoi
b. Tam giác ABC có thêm điều kiện gì thì ADEF là hình vuông ?
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Vận dụng kiến thức về dấu hiệu nhận biết và tính chất của hình thoi; dấu hiệu nhận biết hình vuông.
Tứ giác có 4 cạnh bằng nhau là hình thoi
Hình thoi có 1 góc vuông là hình vuông
Lời giải chi tiết
a. Ta có: E là trung điểm của BC (gt)
D là trung điểm của AB (gt)
nên ED là đường trung bình của ∆ ABC
Suy ra DE = AF = \(\displaystyle {1 \over 2}\)AC (1)
Lại có:
E là trung điểm của BC (gt)
F là trung điểm của AC (gt)
nên EF là đường trung bình ∆ ABC
⇒ EF = AD = \(\displaystyle {1 \over 2}\)AB (2)
Mà AB = AC (3) (do tam giác ABC cân tại A)
Từ (1), (2) và (3) suy ra: AD = DE = EF = AF
Vậy tứ giác ADEF là hình thoi.
b. Hình thoi ADEF là hình vuông ⇒ \(\widehat A = {90^0}\)
⇒ ∆ ABC vuông cân tại A
Ngược lại nếu ∆ ABC vuông cân tại A
⇒ Tứ giác ADEF là hình thoi có \(\widehat A = {90^0}\)
⇒ Hình thoi ADEF là hình vuông
Vậy hình thoi ADEF là hình vuông thì ∆ ABC vuông cân tại A.
soanvan.me