Dạng 1: Tìm điều kiện của tham số để hàm số bậc ba có điểm cực trị
Phương pháp:
- Bước 1: Tính \(y'\).
- Bước 2: Nêu điều kiện để hàm số bậc ba có điểm cực trị:
+ Hàm số có điểm cực trị \( \Leftrightarrow y' = 0\) có hai nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow \Delta > 0\).
+ Hàm số không có điểm cực trị \( \Leftrightarrow y' = 0\) vô nghiệm hoặc có nghiệm kép \( \Leftrightarrow \Delta \le 0\).
- Bước 3: Kết luận.
Hàm số bậc ba chỉ có thể có hai cực trị hoặc không có cực trị nào.
Phương pháp:
- Bước 1: Tính \(y'\).
- Bước 2: Nêu điều kiện để hàm số có điểm cực trị:
+ Hàm số có \(1\) điểm cực trị nếu phương trình \(y' = 0\) có nghiệm duy nhất.
+ Hàm số có \(3\) điểm cực trị nếu phương trình \(y' = 0\) có ba nghiệm phân biệt.
- Bước 3: Kết luận.
Hàm số bậc bốn trùng phương chỉ có thể có \(1\) điểm cực trị hoặc có \(3\) điểm cực trị.
+ Trường hợp có \(1\) điểm cực trị thì đó là \(x = 0\).
+ Trường hợp có \(3\) điểm cực trị thì đó là \(x = 0;x = - \sqrt { - \dfrac{b}{{2a}}} ;x = \sqrt { - \dfrac{b}{{2a}}} \)
Phương pháp:
- Bước 1: Tính \(y',y''\).
- Bước 2: Nêu điều kiện để \(x = {x_0}\) là điểm cực trị của hàm số:
+ \(x = {x_0}\) là điểm cực đại nếu \(\left\{ \begin{array}{l}f'\left( {{x_0}} \right) = 0\\f''\left( {{x_0}} \right) < 0\end{array} \right.\)
+ \(x = {x_0}\) là điểm cực tiểu nếu \(\left\{ \begin{array}{l}f'\left( {{x_0}} \right) = 0\\f''\left( {{x_0}} \right) > 0\end{array} \right.\)
- Bước 3: Kết luận.
Phương pháp:
- Bước 1: Tính \(y'\).
- Bước 2: Nêu điều kiện để đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị thỏa mãn điều kiện:
+ Đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị nằm về hai phía trục tung
\( \Leftrightarrow y' = 0\) có hai nghiệm phân biệt trái dấu\( \Leftrightarrow ac < 0\)
+ Đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị nằm cùng phía so với trục tung
\( \Leftrightarrow y' = 0\) có hai nghiệm phân biệt cùng dấu\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta > 0\\P > 0\end{array} \right.\)
+ Đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị nằm về bên phải trục tung
\( \Leftrightarrow y' = 0\) có hai nghiệm phân biệt cùng dương \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta > 0\\S > 0\\P > 0\end{array} \right.\)
+ Đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị nằm về bên trái trục tung
\( \Leftrightarrow y' = 0\) có hai nghiệm phân biệt cùng âm \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta > 0\\S < 0\\P > 0\end{array} \right.\)
+ Đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị \(A\left( {{x_1};{y_1}} \right),B\left( {{x_2};{y_2}} \right)\) thỏa mãn đẳng thức liên hệ giữa \({x_1},{x_2}\) thì ta biến đổi đẳng thức đã cho làm xuất hiện \({x_1} + {x_2},{x_1}.{x_2}\) rồi sử dụng hệ thức Vi-et để thay \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = S\\{x_1}{x_2} = P\end{array} \right.\) và tìm \(m\).
Phương pháp:
- Bước 1: Tính \(y'\).
- Bước 2: Nêu điều kiện để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị thỏa mãn điều kiện:
+ Ba điểm cực trị \(A,B,C\) trong đó \(A\left( {0;c} \right)\) lập thành một tam giác vuông (vuông cân)
\( \Leftrightarrow \Delta ABC\) vuông tại \(A \Leftrightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = 0\) .
Khi đó:
\(y' = 4a{x^3} + 2bx = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \pm \sqrt { - \dfrac{b}{{2a}}} \end{array} \right.\)\( \Rightarrow A\left( {0;c} \right),B\left( { - \sqrt { - \dfrac{b}{{2a}}} ;c - \dfrac{{{b^2}}}{{4a}}} \right),C\left( {\sqrt { - \dfrac{b}{{2a}}} ;c - \dfrac{{{b^2}}}{{4a}}} \right)\)
\( \Rightarrow \overrightarrow {AB} = \left( { - \sqrt { - \dfrac{b}{{2a}}} ; - \dfrac{{{b^2}}}{{4a}}} \right),\overrightarrow {AC} = \left( {\sqrt { - \dfrac{b}{{2a}}} ; - \dfrac{{{b^2}}}{{4a}}} \right)\)
\(\begin{array}{l}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{b}{{2a}} + \dfrac{{{b^4}}}{{16{a^2}}} = 0\\ \Leftrightarrow 8ab + {b^4} = 0\\ \Leftrightarrow 8a + b^3 = 0\\ \Leftrightarrow b = -2\sqrt[3]{a}\end{array}\)
Đây là công thức tính nhanh trong bài toán trắc nghiệm.
+ Ba điểm cực trị \(A,B,C\) trong đó \(A\left( {0;c} \right)\) tạo thành tam giác đều \( \Leftrightarrow AB = BC = CA\).
+ Ba điểm cực trị \(A,B,C\) trong đó \(A\left( {0;c} \right)\) tạo thành tam giác có diện tích \({S_0}\) cho trước
\( \Leftrightarrow {S_0} = \dfrac{1}{2}AH.BC\) với \(H\) là trung điểm của \(BC\).
+ Ba điểm cực trị \(A,B,C\) trong đó \(A\left( {0;c} \right)\) tạo thành tam giác có diện tích \({S_0}\) lớn nhất
\( \Leftrightarrow \) Tìm \(\max {S_0}\) với \({S_0} = \dfrac{1}{2}AH.BC,H\) là trung điểm của \(BC\).
+ Ba điểm cực trị \(A,B,C\) trong đó \(A\left( {0;c} \right)\) tạo thành tam giác cân có góc ở đỉnh bằng \(\alpha \) cho trước
\( \Leftrightarrow \dfrac{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} }}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|}} = \cos \alpha \)
+ Ba điểm cực trị \(A,B,C\) trong đó \(A\left( {0;c} \right)\) tạo thành tam giác có ba góc nhọn
\( \Leftrightarrow \alpha \) là góc ở đỉnh phải nhọn \( \Leftrightarrow \cos \alpha = \dfrac{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} }}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|}} > 0\)
- Bước 3: Kết luận.
Phương pháp:
- Bước 1: Tính \(y'\).
- Bước 2: Lấy \(y\) chia \(y'\) ta được đa thức dư \(g\left( x \right) = mx + n\).
- Bước 3: Kết luận: \(y = mx + n\) là đường thẳng cần tìm.