Đề bài
Cho tam giác đều OAB trong mặt phằng phức (O là gốc tọa độ). Chứng minh rằng nếu A, B theo thứ tự biểu diễn các số \({z_1},{z_0}\) thì \({z_0}^2 + {z_1}^2 = {z_0}{z_1}\)
Lời giải chi tiết
Tam giác OAB là tam giác đều khi và chỉ khi OA = OB và góc ( OA, OB ) bằng \({\pi \over 3}\) hoặc \( - {\pi \over 3}\) tức là khi và chỉ khi \({z_0} \ne 0\) và nếu đặt \({{{z_1}} \over {{z_0}}} = \alpha \) thì \(\left| \alpha \right| = 1\) và một acgumen của \(\alpha \) là \({\pi \over 3}\) hoặc \( - {\pi \over 3}\).
Mặt khác, khi \({{{z_1}} \over {{z_0}}} = \alpha \) thì \(z_0^2 + z_1^2 = {z_0}{z_1} \Leftrightarrow z_0^2 + {\alpha ^2}z_0^2 = \alpha z_0^2 \Leftrightarrow 1 + {\alpha ^2} = \alpha \)
\( \Leftrightarrow {\alpha ^2} - \alpha + 1 = 0 \Leftrightarrow \alpha = {{1 \pm \sqrt 3 i} \over 2} \Leftrightarrow \left\lfloor \alpha \right\rfloor = 1\) và một acgumen của \(\alpha \) là \({\pi \over 3}\) hoặc \( - {\pi \over 3}\).
Vậy ta đã chứng minh : OAB là tam giác đều khi và chỉ khi \(z_0^2 + z_1^2 = {z_0}{z_1}\) ( \(z \ne 0\)).
soanvan.me