Đề bài

Giải phương trình 3cos2 6x + 8sin3x cos3x – 4 = 0

Video hướng dẫn giải

Phương pháp giải - Xem chi tiết

- Biến đổi phương trình về bậc hai với ẩn \(t=\sin 6x \).

- Giải phương trình ẩn \(t\) và suy ra nghiệm.

Lời giải chi tiết

\(3cos^{2}6x + 8sin⁡3x cos⁡3x - 4 = 0\\⇔ 3(1-sin^{2}6x)+ 4sin⁡6x - 4 = 0 \\⇔ - 3sin^{2}6x + 4sin⁡6x - 1 = 0\)

Đặt \( sin⁡6x = t \) với điều kiện \(-1 ≤ t ≤ 1 \)(*), ta được phương trình bậc hai theo t:

-3t2 + 4t - 1 = 0(1)

Δ = 42 - 4.(-1).(-3) = 4

Phương trình (1) có hai nghiệm là:

\(\eqalign{
& {t_1} = {{ - 4 + \sqrt 4 } \over {2.( - 3)}} = {1 \over 3}(TM) \cr
& {t_2} = {{ - 4 - \sqrt 4 } \over {2.( - 3)}} = 1\,(TM) \cr} \)

Ta có:

\( sin⁡6x = {{ 1} \over 3} ⇔ 6x = arcsin {{ 1} \over 3}  + k2\pi\) và \(6x = \pi - arcsin {{ 1} \over 3}  + k2\pi \\⇔ x = {1 \over 6}  arcsin {{ 1} \over 3}+{{k\pi } \over 3}\) và \(x = {\pi  \over 6} - {1 \over 6} arcsin {{ 1} \over 3}  + {{k\pi } \over 3}, k \in \mathbb{Z}\)

\(sin⁡6x = 1 ⇔ sin⁡6x = \sin {{ \pi } \over 2}\)

\(⇔ 6x = {{ \pi } \over 2} + k2π, k ∈ \mathbb{Z}\)

\(⇔ x = {{ \pi } \over 12} + {{k\pi } \over 3}, k ∈ \mathbb{Z}\)

soanvan.me