HĐ3
Xét biểu thức F(x, y) = 2x + 3y với (x; y) thuộc miền tam giác OAB ở HĐ2. Toạ độ ba đình là O(0, 0), A(150, 0) và B(0; 150) (H.2.5).
a) Tính giá trị của biểu thức F(x; y) tại mỗi đỉnh O, A và B.
b) Nêu nhận xét về dấu của hoành độ x và tung độ y của điểm (x; y) nằm trong miền tam giác OAB. Từ đó suy ra giá trị nhỏ nhất của F(x; y) trên miền tam giác OAB.
c) Nêu nhận xét về tổng x + y của điểm (X; y) nằm trong miền tam giác OAB. Từ đó suy ra giá trị lớn nhất của F(x, y) trên miền tam giác OAB.
Phương pháp giải:
a) Thay tọa độ điểm O, A, B vào F(x;y) và tính giá trị.
b) Lấy một điểm bất kì trong miền tam giác OAB.
Xác định dấu:
+ So sánh x với 0
+ So sánh y với 0
Đánh giá biểu thức F(x;y) dựa vào dấu của x và y, từ đó tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức.
c)
Dựa vào biểu thức
Giá trị lớn nhất: Tách 2x+3y =2.(x+y)+y và dựa vào việc đánh giá x+y và y ở bước trên để tìm giá trị lớn nhất.
Lời giải chi tiết:
a) Thay tọa độ điểm O, A, B vào F(x;y) ta được:
F(0;0)=2.0+3.0=0
F(150;0)=2.150+3.0=300
F(0;150)=2.0+3.150=450.
b) Lấy một điểm bất kì trong miền tam giác OAB.
Vì miền OAB là miền nghiệm của hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\y \ge 0\\x + y \le 150\end{array} \right.\) nên mọi điểm (x;y) thuộc miền OAB thỏa mãn \(x \ge 0\).
Vì miền OAB là miền nghiệm của hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\y \ge 0\\x + y \le 150\end{array} \right.\) nên mọi điểm (x;y) thuộc miền OAB thỏa mãn \(y \ge 0\).
Vậy \(x \ge 0\) và \(y \ge 0\).
=> \(F\left( {x;y} \right) = 2x + 3y \ge 2.0 + 3.0 = 0\)
Vậy giá trị nhỏ nhất của F(x;y) trên miền OAB là 0.
c) Vì miền OAB là miền nghiệm của hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\y \ge 0\\x + y \le 150\end{array} \right.\) nên mọi điểm (x;y) thuộc miền OAB thỏa mãn \(x + y \le 150\)
Như vậy với mỗi điểm trong miền tam giác OAB thì đều có tổng \(x + y \le 150\)
Quan sát miền OAB ta thấy điểm B(0;150) là điểm có tung độ lớn nhất nên mọi điểm (x;y) thuộc miền OAB đều có \(y \le 150\).
Vậy ta có: \(F\left( {x;y} \right) = 2x + 3y\)\( = 2.\left( {x + y} \right) + y\)\( \le 2.150 + 150 = 450\)
Dấu “=” xảy ra khi x+y=150 và y=150. Hay x=0, y=150.
Giá trị lớn nhất trên miền OAB là 450 tại điểm B.
Vận dụng
Một cửa hàng có kế hoạch nhập về hai loại máy tính A và B, giá mỗi chiếc lần lượt là 10 triệu đồng và 20 triệu đồng với số vốn ban đầu không vượt quá 4 tỉ đồng. Loại máy A mang lại lợi nhuận 2,5 triệu đồng cho mỗi máy bán được và loại máy B mang lại lợi nhuận là 4 triệu đồng mỗi máy. Cửa hàng ước tính rằng tổng nhu cầu hàng tháng sẽ không vượt quá 250 máy. Giả sử trong một tháng cửa hàng cần nhập số máy tính loại A là x và số máy tính loại B là y.
a) Viết các bất phương trình biểu thị các điều kiện của bài toán thành một hệ bất phương
trình rồi xác định miền nghiệm của hệ đó.
b) Gọi F (triệu đồng) là lợi nhuận mà cửa hàng thu được trong tháng đó khi bán x máy tính loại A và y máy tính loại B. Hãy biểu diễn F theo x và y.
c) Tìm số lượng máy tính mỗi loại cửa hàng cần nhập về trong tháng đó đề lợi nhuận thu được là lớn nhất.
Phương pháp giải:
a)
Bước 1: Lập bảng thể hiện vốn và lợi nhuận của mỗi loại máy.
Bước 2: Dựa vào các điều kiện sau để lập bất phương trình:
+ Số lượng là số tự nhiên
+ Điều kiện vốn ban đầu
+ Nhu cầu hàng tháng
Bước 3: Xác định miền nghiệm.
b) Lợi nhuận hàng tháng bằng lợi nhuận bán x máy loại A và y máy loại B.
c)
Bước 1: Xác định giá trị của F tại các điểm thuộc miền đa giác biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình ở câu a.
Bước 2: Giá trị lớn nhất của F là số lớn nhất trong các số tìm được ở bước 1.
Lời giải chi tiết:
a)
Bước 1: Ta có:
|
|
Loại A |
Loại B |
|
Giá mua vào |
10 triệu đồng/1 máy |
20 triệu đồng/1 máy |
|
Lợi nhuận |
2,5 triệu đồng/1 máy |
4 triệu đồng/1 máy |
Bước 2: Lập hệ bất phương trình
Vì số lượng máy là số tự nhiên nên ta có \(x \ge 0;y \ge 0\)
Vốn nhập vào x máy loại A và y máy loại B là \(10x + 20y\)(triệu đồng)
4 tỉ đồng=4000 (triệu đồng)
Vì số vốn ban đầu không vượt quá 4 tỉ đồng nên ta có bất phương trình
\(10x + 20y \le 4000\) \( \Leftrightarrow x + 2y \le 400\)
Vì tổng nhu cầu hàng tháng sẽ không vượt quá 250 máy nên ta có \(x + y \le 250\).
Vậy ta có hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\y \ge 0\\x + 2y \le 400\\x + y \le 250\end{array} \right.\)
Bước 3: Xác định miền nghiệm
Miền nghiệm là tứ giác OABC với tọa độ các đỉnh này là O(0;0), A(250;0), B(100;150), C(0;200)
b) Lợi nhuận hàng tháng là F(x;y)=2,5x+4y(triệu đồng)
c) Ta cần tìm giá trị lớn nhất của F(x;y) khi (x;y) thỏa mãn hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\y \ge 0\\x + 2y \le 400\\x + y \le 250\end{array} \right.\)
Ta có F(0;0)=0, F(250;0)=2,5.250+4.0=625
F(100;150)=2,5.100+4.150=850
F(0;200)=2,5.0+4.200=800
Giá trị lớn nhất là F(100;150)=850.
Vậy cửa hàng cần đầu tư kinh doanh 100 máy A và 150 máy B.