1. Hàm số \(y = a{x^2}\left( {a \ne 0} \right)\)

a. Sự đồng biến và nghịch biến của hàm số

Cho hàm số $y = {\rm{a}}{{\rm{x}}^2}\,\,(a \ne 0)$.

a) Nếu $a > 0$ thì hàm số nghịch biến khi $x < 0$ và đồng biến khi $x > 0$.

b) Nếu $a < 0$ thì hàm số đồng biến khi $x < 0$ và nghịch biến khi $x > 0$.

b. Đồ thị của hàm số

Đồ thị của hàm số  $y = {\rm{a}}{{\rm{x}}^2}\,\,(a \ne 0)$ là một parabol đi qua gốc tọa độ O, nhận Oy làm trục đối xứng (O là đỉnh của parabol).

- Nếu $a > 0$ thì đồ thị nằm phía trên trục hoành, O là điểm thấp nhất của đồ thị.

- Nếu $a < 0$ thì đồ thị nằm phía dưới trục hoành, O là điểm cao nhất của đồ thị.

2. Phương trình bậc hai một ẩn

a. Công thức nghiệm của phương trình bậc hai

Xét phương trình bậc hai một ẩn $a{x^2} + bx + c = 0\,\,(a \ne 0)$

và biệt thức $\Delta  = {b^2} - 4ac$.

TH1. Nếu $\Delta  < 0$ thì phương trình vô nghiệm.

TH2. Nếu  $\Delta  = 0$ thì phương trình có nghiệm kép: ${x_1} = {x_2} =  - \dfrac{b}{a}$

TH3. Nếu $\Delta  > 0$ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt: ${x_{1,2}} = \dfrac{{ - b \pm \sqrt \Delta  }}{{2a}}$

b. Công thức nghiệm thu gọn của phương trình bậc hai

Xét phương trình bậc hai $a{x^2} + bx + c = 0{\rm{ }}(a \ne 0)$ với $b =2b’$

và biệt thức $\Delta ' = {b^{'2}} - ac.$

Trường hợp 1. Nếu $\Delta ' < 0$ thì phương trình vô nghiệm.

Trường hợp 2. Nếu $\Delta ' = 0$ thì phương trình có nghiệm kép ${x_1} = {x_2} =  - \dfrac{{b'}}{a}$

Trường hợp 3. Nếu $\Delta ' > 0$ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt: ${x_{1,2}} =  - \dfrac{{b' \pm \sqrt {\Delta '} }}{a}$

c. Hệ thức Vi-et.

Cho phương trình bậc hai $a{x^2} + bx + c = 0\,(a \ne 0).$ Nếu \({x_1},{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình thì \(\left\{ \begin{array}{l}S = {x_1} + {x_2} = \dfrac{{ - b}}{a}\\P = {x_1} \cdot {x_2} = \dfrac{c}{a}\end{array} \right..\)

d. Ứng dụng của hệ thức Vi-ét.

a) Xét phương trình bậc hai: $a{x^2} + bx + c = 0\,(a \ne 0).$

- Nếu phương trình có \(a + b + c = 0\) thì phương trình có một nghiệm là \({x_1} = 1,\) nghiệm kia là \({x_2} = \dfrac{c}{a}.\)

- Nếu phương trình có \(a - b + c = 0\) thì phương trình có một nghiệm là \({x_1} =  - 1,\) nghiệm kia là \({x_2} =  - \dfrac{c}{a}.\)

b) Tìm hai số biết tổng và tích của chúng : Nếu hai số có tổng bằng $S$ và tích bằng $P$ thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình ${X^2} - SX + P = 0$.

3. Bài toán về sự tương giao giữa đường thẳng và parabol

Cho đường thẳng \(d:y = mx + n\) và parabol \(\left( P \right):y = a\,{x^2}\left( {a \ne 0} \right)\) . Khi đó:

- Số giao điểm của \(d\) và \(\left( P \right)\) bằng đúng số nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm của chúng: \(a{x^2} = mx + n\) .

- Nghiệm của phương trình \(a{x^2} = mx + n\) (nếu có) chính là hoành độ giao điểm của \(d\) và \(\left( P \right)\) .

4. Phương trình đưa về phương trình bậc hai

a. Phương trình trùng phương

 +  Phương trình trùng phương là phương trình có dạng:

                         $a{x^4} + b{x^2} + c = 0\,(a \ne 0).$

+ Cách giải: Đặt ẩn phụ \(t = {x^2}(t \ge 0)\)để đưa phương trình về phương trình bậc hai:

                       \(a{t^2} + bt + c = 0\,(a \ne 0).\)

b. Phương trình chứa ẩn ở mẫu thức

Để giải phương trình chứa ẩn ở mẫu thức, ta có các bước giải như sau:

Bước 1. Tìm điều kiện xác định của ẩn của phương trình.

Bước 2. Quy đồng mẫu thức hai vế rồi khử mẫu.

Bước 3. Giải phương trình vừa nhận được ở bước 2.

Bước 4. So sánh các nghiệm tìm được ở bước 3 với điều kiện xác định và kết luận.

c. Phương trình đưa về dạng tích

Để giải phương trình đưa về dạng tích, ta có các bước giải như sau:

Bước 1. Phân tích vế trái thành nhân tử, vế phải bằng $0.$

Bước 2. Xét từng nhân tử bằng $0$ để tìm nghiệm.

5. Giải bài toán bằng cách lập phương trình

Các bước giải bài toán bằng cách lập phương trình:

Bước 1. Lập phương trình:

+ Chọn ẩn số và đặt điều kiện cho ẩn số.

+ Biểu thị các dữ kiện chưa biết qua ẩn số.

+ Lập phương trình biểu thị tương quan giữa ẩn số và các dữ kiện đã biết.

Bước 2. Giải phương trình.

Bước 3. Đối chiếu nghiệm của phương trình (nếu có) với điều kiện ẩn số và đề bài để đưa ra kết luận.