Lý thuyết phương trình mũ và phương trình lôgarit

I. PHƯƠNG TRÌNH MŨ

1. Phương trình mũ cơ bản

Phương trình có dạng \({a^x} = b\left( {0 < a \ne 1} \right)\)

+) Với \(b > 0\) ta có \({a^x} = b \Leftrightarrow x = {\log _a}b\).

+) Với \(b \le 0\) phương trình vô nghiệm.

Ví dụ: Giải phương trình \({5^x} = 125\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}{5^x} = 125\\ \Leftrightarrow x = {\log _5}125\\ \Leftrightarrow x = 3\end{array}\)

2. Cách giải một số phương trình mũ đơn giản

a) Đưa về cùng cơ số

Ví dụ: Giải phương trình \({\left( {\frac{1}{2}} \right)^{2x - 1}} = {2^{3x}}\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}{\left( {\frac{1}{2}} \right)^{2x - 1}} = {2^{3x}}\\ \Leftrightarrow {2^{ - 2x + 1}} = {2^{3x}}\\ \Leftrightarrow  - 2x + 1 = 3x\\ \Leftrightarrow 1 = 5x\\ \Leftrightarrow x = \dfrac{1}{5}\end{array}\)

b) Đặt ẩn phụ

Ví dụ: Giải phương trình \({4^x} - {2^{x + 1}} + 1 = 0\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}{4^x} - {2^{x + 1}} + 1 = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {{2^x}} \right)^2} - {2.2^x} + 1 = 0\end{array}\)

Đặt \(t = {2^x} > 0\) ta được:

\(\begin{array}{l}{t^2} - 2t + 1 = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {t - 1} \right)^2} = 0\\ \Leftrightarrow t - 1 = 0\\ \Leftrightarrow t = 1\end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {2^x} = 1\\ \Leftrightarrow x = {\log _2}1\\ \Leftrightarrow x = 0\end{array}\)

c) Logarit hóa

Ví dụ: Giải phương trình \({3^x}{.2^{{x^2}}} = 1\).

Logarit hai vế cơ số \(3\) ta được:

\(\begin{array}{l}{\log _3}\left( {{3^x}{{.2}^{{x^2}}}} \right) = {\log _3}1\\ \Leftrightarrow {\log _3}{3^x} + {\log _3}{2^{{x^2}}} = 0\\ \Leftrightarrow x + {x^2}{\log _3}2 = 0\\ \Leftrightarrow x\left( {1 + x{{\log }_3}2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\1 + x{\log _3}2 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x =  - \dfrac{1}{{{{\log }_3}2}} =  - {\log_2}3\end{array} \right.\end{array}\)

II. PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT

1. Phương trình logarit cơ bản

Phương trình có dạng \({\log _a}x = b\) \(\left( {0 < a \ne 1} \right)\)

Ta có: \({\log _a}x = b \Leftrightarrow x = {a^b}\).

Phương trình luôn có nghiệm \(x = {a^b}\).

Ví dụ: Giải phương trình \({\log _5}x =  - 2\).

Ta có: \({\log _5}x =  - 2 \Leftrightarrow x = {5^{ - 2}} \Leftrightarrow x = \dfrac{1}{{25}}\).

2. Cách giải một số phương trình logarit

a) Đưa về cùng cơ số

Ví dụ: Giải phương trình \({\log _2}x + {\log _4}x = 1\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}{\log _2}x + {\log _4}x = 1\\ \Leftrightarrow {\log _2}x + \dfrac{1}{2}{\log _2}x = 1\\ \Leftrightarrow \dfrac{3}{2}{\log _2}x = 1\\ \Leftrightarrow {\log _2}x = \dfrac{2}{3}\\ \Leftrightarrow x = {2^{\frac{2}{3}}}\\ \Leftrightarrow x = \sqrt[3]{4}\end{array}\)

b) Đặt ẩn phụ

Ví dụ: Giải phương trình \(\dfrac{1}{{\ln x}} + \dfrac{1}{{\ln x - 1}} = \dfrac{5}{6}\).

ĐK: \(\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\\ln x \ne 0\\\ln x \ne 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 0\\x \ne 1\\x \ne e\end{array} \right.\)

Đặt \(t = \ln x\left( {t \ne 0,t \ne 1} \right)\) ta được:

\(\begin{array}{l}\dfrac{1}{t} + \dfrac{1}{{t - 1}} = \dfrac{5}{6}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{6t - 6 + 6t}}{{6t\left( {t - 1} \right)}} = \dfrac{{5t\left( {t - 1} \right)}}{{6t\left( {t - 1} \right)}}\\ \Rightarrow 12t - 6 = 5{t^2} - 5t\\ \Leftrightarrow 5{t^2} - 17t + 6 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 3\\t = \dfrac{2}{5}\end{array} \right.\left( {TM} \right)\\ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\ln x = 3\\\ln x = \dfrac{2}{5}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = {e^3}\\x = {e^{\frac{2}{5}}}\end{array} \right.\left( {TM} \right)\end{array}\)

Vậy phương trình có tập nghiệm \(S = \left\{ {{e^3};{e^{\frac{2}{5}}}} \right\}\).

c) Mũ hóa

Ví dụ: Giải phương trình \({\log _3}\left( {3 - {3^x}} \right) = 1 + x\)

ĐK: \(3 - {3^x} > 0 \Leftrightarrow {3^x} < 3 \Leftrightarrow x < 1\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}{\log _3}\left( {3 - {3^x}} \right) = 1 + x\\ \Leftrightarrow 3 - {3^x} = {3^{1 + x}}\\ \Leftrightarrow 3 - {3^x} = {3.3^x}\\ \Leftrightarrow 3 = {4.3^x}\\ \Leftrightarrow {3^x} = \dfrac{3}{4}\\ \Leftrightarrow x = {\log _3}\dfrac{3}{4}\\ \Leftrightarrow x = 1 - {\log _3}4\left( {TM} \right)\end{array}\)

soanvan.me