Lý thuyết Phương trình quy về phương trình bậc hai

1. Các kiến thức cần nhớ

a. Phương trình trùng phương

+)  Phương trình trùng phương là phương trình có dạng   $a{x^4} + b{x^2} + c = 0\,\,(a \ne 0)$

+) Cách giải: Đặt ẩn phụ \(t = {x^2}(t \ge 0)\)để đưa phương trình về phương trình bậc hai:  \(a{t^2} + bt + c = 0(a \ne 0).\)

b. Phương trình chứa ẩn ở mẫu thức

Để giải phương trình chứa ẩn ở mẫu thức, ta có các bước giải như sau:

Bước 1. Tìm điều kiện xác định của ẩn của phương trình.

Bước 2. Quy đồng mẫu thức hai vế rồi khử mẫu.

Bước 3. Giải phương trình vừa nhận được ở bước 2.

Bước 4. So sánh các nghiệm tìm được ở bước 3 với điều kiện xác định và kết luận.

c. Phương trình đưa về dạng phương trình tích

Để giải phương trình đưa về dạng tích, ta có các bước giải như sau:

Bước 1. Phân tích vế trái thành nhân tử, vế phải bằng $0$.

Bước 2. Xét từng nhân tử bằng $0$ để tìm nghiệm.

d) Sự tương giao giữa đường thẳng và parabol

Hình minh họa

Số giao điểm của đường thẳng $d$ và parabol $\left( P \right)$ là số nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm

$a{x^2} = mx + n \Leftrightarrow a{x^2} - mx - n = 0$(*)

+) Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt  $\left( {\Delta  > 0} \right)$thì $d$ cắt $\left( P \right)$ tại hai điểm phân biệt

+) Phương trình (*) có nghiệm kép  $\left( {\Delta  = 0} \right)$thì $d$ tiếp xúc với $\left( P \right)$.

+) Phương trình (*) vô nghiệm  $\left( {\Delta  < 0} \right)$thì $d$ không cắt $\left( P \right)$

2. Các dạng toán thường gặp

Dạng 7: Xác định số giao điểm của đường thẳng $d:y = mx + n$ và parabol $\left( P \right):y = a{x^2}$$\left( {a \ne 0} \right).$

Phương pháp:

Số giao điểm của đường thẳng $d$ và parabol $\left( P \right)$ là số nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm

$a{x^2} = mx + n \Leftrightarrow a{x^2} - mx - n = 0$(*)

+) Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt  $\left( {\Delta  > 0} \right)$thì $d$ cắt $\left( P \right)$ tại hai điểm phân biệt

+) Phương trình (*) có nghiệm kép  $\left( {\Delta  = 0} \right)$thì $d$ tiếp xúc với $\left( P \right)$.

+) Phương trình (*) vô nghiệm  $\left( {\Delta  < 0} \right)$thì $d$ không cắt $\left( P \right)$

Dạng 8: Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng $d:y = mx + n$ và parabol $\left( P \right):y = a{x^2}$$\left( {a \ne 0} \right).$

Phương pháp:

Xét phương trình hoành độ giao điểm $a{x^2} = mx + n \Leftrightarrow a{x^2} - mx - n = 0$(*)

Giải phương trình (*) tìm được $x$ suy ra $y$ . Tọa độ giao điểm là $\left( {x;y} \right)$.

Dạng 9: Xác định tham số $m$ để đường thẳng $d:y = mx + n$ và parabol $\left( P \right):y = a{x^2}$$\left( {a \ne 0} \right)$ cắt nhau tại điểm thỏa mãn điều kiện cho trước .

Phương pháp:

+) Đường thẳng $d$ cắt $\left( P \right)$ tại hai điểm phân biệt nằm bên trái trục tung $ \Leftrightarrow $ phương trình (*) có hai nghiệm âm phân biệt $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta  > 0\\S < 0\\P > 0\end{array} \right.$

+) Đường thẳng $d$ cắt $\left( P \right)$ tại hai điểm phân biệt cùng nằm bên phải trục tung $ \Leftrightarrow $ phương trình (*) có hai nghiệm dương phân biệt $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta  > 0\\S > 0\\P > 0\end{array} \right.$

+) Đường thẳng $d$ cắt $\left( P \right)$ tại hai điểm phân biệt nằm khác phía trục tung $ \Leftrightarrow $ phương trình (*) có hai nghiệm trái dấu $ \Leftrightarrow ac < 0$

+) Đường thẳng $d$ cắt $\left( P \right)$ tại hai điểm có tọa độ thỏa mãn biểu thức cho trước (thường biến đổi biểu thức để sử dụng hệ thức Vi-et)

Dạng 10: Bài toán liên quan đến diện tích tam giác, diện tích hình thang và chiều cao.

Phương pháp:

Ta vận dụng linh hoạt các cách phân chia diện tích và công thức tính diện tích tam giác, hình thang để làm bài.