Phép tính lũy thừa với số mũ tự nhiên

I. Lũy thừa

Lũy thừa với số mũ tự nhiên

Lũy thừa bậc n của a là tích của n thừa số bằng nhau, mỗi thừa số bằng a:

\({a^n} = a.a \ldots ..a\) (\(n\)  thừa số \(a\) ) (\(n \notin \mathbb{N}^*\) )

\({a^n}\) đọc là “a mũ n” hoặc “a lũy thừa n”.

\(a\)  được gọi là cơ số.

\(n\) được gọi là số mũ.

Phép nhân nhiều thừa số giống nhau như trên được gọi là phép nâng lên lũy thừa.

\({a^1} = a\)

\({a^2} = a.a\)  gọi là “\(a\) bình phương”  (hay bình phương của \(a\)).

\({a^3} = a.a.a\)  gọi là “\(a\) lập phương” (hay lập phương của \(a\)).

Với \(n\) là số tự nhiên khác 0 (thuộc \(\mathbb{N}^*\)), ta có: \({10^n} = 1\underbrace {0...0}_{n{\rm{ \,chữ\, số\, 0}}}\)(số mũ là n thì có n chữ số 0 đằng sau chữ số 1)

Ví dụ:

a) \({8^3}\) đọc là “tám mũ ba”, có cơ số là 8 và số mũ là 3.

b) Tính \({2^3}\).

Số trên là lũy thừa bậc 3 của 2 và là tích của 3 thừa số 2 nhân với nhau nên ta có:

\({2^3} = 2.2.2 = 8\)

c) Tính \({10^3}\)

\({10^3}\) có số mũ là 3 nên \({10^3} = 1000\)(Sau chữ số 1 có 3 chữ số 0).

d) Viết 10 000 000 dưới dạng lũy thừa của 10:

Cách 1: \(10000000 = 10.10.10.10.10.10.10\)\( = {10^7}\)

Cách 2: Sau chữ số 1 có 7 chữ số 0 nên \(10000000 = {10^7}\)

e) Viết 16 dưới dạng lũy thừa cơ số 4:

\(16 = 4.4 = {4^2}\)

II. Nhân hai lũy thừa cùng cơ số

Khi nhân hai lũy thừa cùng cơ số, ta giữ nguyên cơ số và cộng các số mũ.

\({a^m}.{a^n} = {a^{m + n}}\)

Ví dụ:

a) \({3.3^5} = {3^1}{.3^5} = {3^{1 + 5}} = {3^6}.\)

b) \({5^2}{.5^4} = {5^{2 + 4}} = {5^6}\)

c) \({a^3}.{a^5} = {a^{3 + 5}} = {a^8}\)

d) \(x.{x^8} = {x^1}.{x^8} = {x^{1 + 8}} = {x^9}\)

e) \({4^2}.64 = {4^2}.4.4.4 = {4^2}{.4^3} = {4^{2 + 3}} = {4^5}\)

f) \(10.2.5 = 10.\left( {2.5} \right) = 10.10 = {10^2}\) (Sử dụng tính chất kết hợp trong phép nhân trước).

III. Chia hai lũy thừa cùng cơ số

Phép chia hai lũy thừa cùng cơ số

Khi chia hai lũy thừa cùng cơ số (khác 0), ta giữ nguyên cơ số và trừ các số mũ cho nhau.

\({a^m}:{a^n} = {a^{m - n}}\) \(\left( {a \ne 0;\,m \ge n \ge 0} \right)\)

Ví dụ:

a) \({3^5}:3 = {3^5}:{3^1} = {3^{5 - 1}} = {3^4}\)\( = 3.3.3.3 = 81\)

b) \({a^6}:{a^2} = {a^{6 - 2}} = {a^4}\)

c) \({2^3}:{2^3} = {2^{3 - 3}} = {2^0} = 1\)

d) \(81:{3^2} = {3^4}:{3^2} = {3^{4 - 2}} = {3^2} = 3.3 = 9\)

CÁC DẠNG TOÁN VỀ LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN

I. Viết gọn một tích, một phép tính dưới dạng một lũy thừa

Phương pháp giải

 Áp dụng công thức:  $\underbrace {a.a.a.....a}_{n\,{\rm{thua}}\,{\rm{so}}}$$ = {a^n};$${a^m}.{a^n} = {a^{m + n}};{a^m}:{a^n} = {a^{m - n}}\left( {a \ne 0,m \ge n} \right)$

II. Nhân và chia hai lũy thừa cùng cơ số

Phương pháp giải

Bước 1: Xác định cơ số và số mũ.

Bước 2: Áp dụng công thức:${a^m}.{a^n} = {a^{m + n}};{a^m}:{a^n} = {a^{m - n}}\left( {a \ne 0,m \ge n} \right)$

III. So sánh các số viết dưới dạng lũy thừa

Phương pháp giải

Để so sánh các số viết dưới dạng lũy thừa, ta có thể làm theo:

Cách 1: Đưa về cùng cơ số là số tự nhiên, rồi so sánh hai số mũ

Nếu \(m > n\) thì \({a^m} > {a^n}\)

Cách 2: Đưa về cùng số mũ rồi so sánh hai cơ số

Nếu \(a > b\) thì \({a^m} > {b^m}\)

Cách 3: Tính cụ thể rồi so sánh

Ngoài ra ta còn sử dụng tính chất bắc cầu: Nếu \(a < b;b < c\) thì \(a < c.\)  

IV. Tìm số mũ của một lũy thừa trong một đẳng thức

Phương pháp giải

Bước 1: Đưa về hai luỹ thừa của cùng một cơ số.

Bước 2: Sử dụng tính chất 

Với \(a \ne 0;a \ne 1\), nếu ${a^m} = {a^n}$ thì $m = n\,\,(a,m,n \in N)$

V. Tìm cơ số của lũy thừa

Phương pháp giải

Cách 1: Dùng định nghĩa lũy thừa

$\underbrace {a.a.....a}_{n\,{\rm{thừa}}\,{\rm{số}}\,a}$ $ = {a^n}$
Cách 2: Sử dụng tính chất

Với \(a;b \ne 0;a;b \ne 1\), nếu ${a^m} = {b^m}$ thì $a = n\,\,(a,b,m,n \in N)$.