Cho tam giác $MNP$ vuông tại $M$. Khi đó $\cos \widehat {MNP}$ bằng
-
A
$\dfrac{{MN}}{{NP}}$
-
B
$\dfrac{{MP}}{{NP}}$
-
C
$\dfrac{{MN}}{{MP}}$
-
D
$\dfrac{{MP}}{{MN}}$
Đáp án của giáo viên lời giải hay : A
Ta có $\cos \widehat {MNP} = \dfrac{{MN}}{{NP}}$
Cho $\alpha $ là góc nhọn bất kỳ. Chọn khẳng định đúng.
-
A
$\sin \alpha + \cos \alpha = 1$
-
B
${\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1$
-
C
${\sin ^3}\alpha + {\cos ^3}\alpha = 1$
-
D
$\sin \alpha - cos\alpha = 1$
Đáp án của giáo viên lời giải hay : B
Cho $\alpha $ là góc nhọn bất kỳ, khi đó ${\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1$
Cho $\alpha $ là góc nhọn bất kỳ. Chọn khẳng định sai.
-
A
$\tan \alpha = \dfrac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}\,\,$
-
B
$\cot \alpha = \dfrac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }}\,\,$
-
C
$\tan \alpha .\cot \alpha = 1$
-
D
${\tan ^2}\alpha - 1 = {\cos ^2}\alpha $
Đáp án của giáo viên lời giải hay : D
Cho $\alpha $ là góc nhọn bất kỳ, khi đó
\({\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1;\tan \alpha .\cot \alpha = 1\)
$\tan \alpha = \dfrac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }};\cot \alpha = \dfrac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }};$
$1 + {\tan ^2}\alpha = \dfrac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }};$
$1 + {\cot ^2}\alpha = \dfrac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }}.$
Cho $\alpha $ và $\beta $ là hai góc nhọn bất kỳ thỏa mãn $\alpha + \beta = 90^\circ $. Khẳng định nào sau đây là đúng?
-
A
$\tan \alpha = \sin \beta $
-
B
$\tan \alpha = \cot \beta $
-
C
$\tan \alpha = \cos \alpha $
-
D
$\tan \alpha = \tan \beta $
Đáp án của giáo viên lời giải hay : B
Với hai góc \(\alpha ,\beta \) mà \(\alpha + \beta = {90^0}\).
Ta có: \(\sin \alpha = \cos \beta ;\cos \alpha = \sin \beta ;\)
\(\tan \alpha = \cot \beta ;\cot \alpha = \tan \beta \).
Cho tam giác $ABC$ vuông tại $C$ có \(BC = 1,2\,cm,\,\,AC = 0,9\,cm.\) Tính các tỉ số lượng giác $\sin B;\cos B$ .
-
A
$\sin B = 0,6;\cos B = 0,8$
-
B
$\sin B = 0,8;\cos B = 0,6$
-
C
$\sin B = 0,4;\cos B = 0,8$
-
D
$\sin B = 0,6;\cos B = 0,4$
Đáp án của giáo viên lời giải hay : A
Bước 1: Tính cạnh còn lại theo định lý Pytago
Bước 2: Sử dụng định nghĩa tỉ số lượng giác của góc nhọn
Theo định lý Py-ta-go ta có: $A{B^2} = A{C^2} + B{C^2} \Rightarrow AB = \sqrt {0,{9^2} + 1,{2^2}} = 1,5$
Xét tam giác $ABC$ vuông tại $C$ có $\sin B = \dfrac{{AC}}{{AB}} = \dfrac{{0,9}}{{1,5}} = \dfrac{3}{5} = 0,6$ và $\cos B = \dfrac{{BC}}{{AB}} = \dfrac{{1,2}}{{1,5}} = \dfrac{4}{5} = 0,8$
Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có \(BC = 8\,cm,\,\,AC = 6cm.\) Tính tỉ số lượng giác $\tan C$ (làm tròn đến chữ số thập phân thứ $2$ ).
-
A
$\tan C \approx 0,87$
-
B
$\tan C \approx 0,86$
-
C
$\tan C \approx 0,88$
-
D
$\tan C \approx 0,89$
Đáp án của giáo viên lời giải hay : C
Bước 1: Tính cạnh còn lại theo định lý Pytago
Bước 2: Sử dụng định nghĩa tỉ số lượng giác của góc nhọn
Theo định lý Py-ta-go ta có: $B{C^2} = A{C^2} + A{B^2} \Rightarrow AB = \sqrt {{8^2} - {6^2}} \approx 5,29$
Xét tam giác $ABC$ vuông tại $C$ có $\tan C = \dfrac{{AB}}{{AC}} \approx \dfrac{{5,29}}{6} \approx 0,88.$
Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, đường cao $AH$ có \(AB = 13\,cm,\,BH = 0,5\,dm\) Tính tỉ số lượng giác $\sin C$ (làm tròn đến chữ số thập phân thứ $2$ )
-
A
$\sin C \approx 0,35$
-
B
$\sin C \approx 0,37$
-
C
$\sin C \approx 0,39$
-
D
$\sin C \approx 0,38$
Đáp án của giáo viên lời giải hay : D
Bước 1: Tính cạnh cần thiết lại theo định lý Pytago hoặc hệ thức lượng trong tam giác vuông.
Bước 2: Sử dụng định nghĩa tỉ số lượng giác của góc nhọn
Đổi $0,5\,dm = 5\,cm$
Xét tam giác $ABC$ vuông tại $A$,
theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có
$A{B^2} = BH.BC \Rightarrow BC = \dfrac{{A{B^2}}}{{BH}} = \dfrac{{{{13}^2}}}{5} = 33,8\,\,cm$
$ \Rightarrow \sin C = \dfrac{{AB}}{{BC}}$
$= \dfrac{{13}}{{33,8}} \approx 0,38$
Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, đường cao $AH$ có \(CH = 4\,cm,\,BH = 3\,cm.\) Tính tỉ số lượng giác $\cos C$ (làm tròn đến chữ số thập phân thứ $2$ )
-
A
$\cos C \approx 0,76$
-
B
$\cos C \approx 0,77$
-
C
$\cos C \approx 0,75$
-
D
$\cos C \approx 0,78$
Đáp án của giáo viên lời giải hay : A
Bước 1: Tính cạnh cần thiết lại theo định lý Pytago hoặc hệ thức lượng trong tam giác vuông.
Bước 2: Sử dụng định nghĩa tỉ số lượng giác của góc nhọn
Xét tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $BC = BH + CH = 7\,\,cm$
theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có $A{C^2} = CH.BC \Rightarrow A{C^2} = 4.7 \Rightarrow AC \approx 5,29\,\,cm$
$ \Rightarrow \cos C = \dfrac{{AC}}{{BC}} = \dfrac{{5,29}}{7} \approx 0,76$.
Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$. Hãy tính $\tan C$ biết rằng \(\cot B = 2\).
-
A
$\tan C = \dfrac{1}{4}$
-
B
$\tan C = 4$
-
C
$\tan C = 2$
-
D
$\tan C = \dfrac{1}{2}$
Đáp án của giáo viên lời giải hay : C
Sử dụng nhận xét: Nếu hai góc phụ nhau thì sin góc này bằng côsin góc kia, tang góc này bằng côtang góc kia.
Vì tam giác $ABC$ vuông tại $A$ nên $\widehat B + \widehat C = 90^\circ $$ \Rightarrow \tan C = \cot B = 2$
Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có \(AB = 5\,cm,\,\,\cot C = \dfrac{7}{8}\) . Tính độ dài các đoạn thẳng $AC$ và $BC$ . (làm tròn đến chữ số thập phân thứ $2$ )
-
A
$AC \approx 4,39 (cm);BC \approx 6,66 (cm)$
-
B
$AC \approx 4,38(cm);BC \approx 6,64(cm)$
-
C
$AC \approx 4,38(cm);BC \approx 6,67(cm)$
-
D
$AC \approx 4,37(cm);BC \approx 6,67(cm)$
Đáp án của giáo viên lời giải hay : B
Sử dụng tỉ số lương giác của góc nhọn, định lý Pytago để tính cạnh.
Vì tam giác $ABC$ vuông tại $A$ nên $\cot C = \dfrac{{AC}}{{AB}} \Rightarrow AC = AB.\cot C = 5.\dfrac{7}{8} = \dfrac{{35}}{8} \approx 4,38\,\,cm$
Theo định lý Pytago ta có \(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} = {5^2} + {\left( {\dfrac{{35}}{8}} \right)^2} \Rightarrow BC \approx 6,64\)
Vậy $AC \approx 4,38(cm);BC \approx 6,64(cm)$.
Cho $\alpha$ là góc nhọn. Tính \(\sin \alpha,\,\cot \alpha \) biết \(\cos \alpha = \dfrac{2}{5}\).
-
A
$\sin \alpha = \dfrac{{\sqrt {21} }}{{25}};\cot \alpha = \dfrac{{3\sqrt {21} }}{{21}}$
-
B
$\sin \alpha = \dfrac{{\sqrt {21} }}{5};\cot \alpha = \dfrac{5}{{\sqrt {21} }}$
-
C
$\sin \alpha = \dfrac{{\sqrt {21} }}{3};\cot \alpha = \dfrac{3}{{\sqrt {21} }}$
-
D
$\sin \alpha = \dfrac{{\sqrt {21} }}{5};\cot \alpha = \dfrac{2}{{\sqrt {21} }}$
Đáp án của giáo viên lời giải hay : D
Sử dụng các hệ thức lượng giác thích hợp
+ Nếu \(\alpha \) là một góc nhọn bất kỳ thì
\(0 < \sin \alpha < 1;0 < \cos \alpha < 1\), \(\tan \alpha > 0;\cot \alpha > 0\), \({\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1\); $\cot \alpha = \dfrac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }}$
Ta có ${\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1 \Rightarrow {\sin ^2}\alpha = 1 - {\cos ^2}\alpha = 1 - \dfrac{4}{{25}} = \dfrac{{21}}{{25}}$
$\Rightarrow \sin \alpha = \dfrac{\sqrt {21}}{5}$
Lại có $\cot \alpha = \dfrac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }} = \dfrac{{\dfrac{2}{5}}}{{\dfrac{{\sqrt {21} }}{5}}} = \dfrac{2}{{\sqrt {21} }}$.
Vậy $\sin \alpha = \dfrac{{\sqrt {21} }}{5};\cot \alpha = \dfrac{2}{{\sqrt {21} }}$.
Không dùng bảng số và máy tính, hãy so sánh \(\sin 20^\circ \) và \(\sin 70^\circ \)
-
A
$\sin 20^\circ < \sin 70^\circ $
-
B
$\sin 20^\circ > \sin 70^\circ $
-
C
$\sin 20^\circ = \sin 70^\circ $
-
D
$\sin 20^\circ \ge \sin 70^\circ $
Đáp án của giáo viên lời giải hay : A
Sử dụng nhận xét : Với góc nhọn \(\alpha ,\,\beta ,\) ta có: $\sin \alpha < \sin \beta \Leftrightarrow \alpha < \beta $
Vì $20^\circ < 70^\circ \Leftrightarrow \sin 20^\circ < \sin 70^\circ $.
Sắp xếp các tỉ số lượng giác \(\tan 43^\circ ,\,\,\cot 71^\circ ,\,\,\tan 38^\circ ,\,\,\cot 69^\circ 15',\,\tan 28^\circ \) theo thứ tự tăng dần.
-
A
$\cot 71^\circ < \cot 69^\circ 15' < \tan 28^\circ < \tan 38^\circ < \tan 43^\circ $
-
B
$\cot 69^\circ 15' < \cot 71^\circ < \tan 28^\circ < \tan 38^\circ < \tan 43^\circ $
-
C
$\tan 28^\circ < \tan 38^\circ < \tan 43^\circ < \cot 69^\circ 15' < \cot 71^\circ $
-
D
$\cot 69^\circ 15' < \tan 28^\circ < \tan 38^\circ < \tan 43^\circ < \cot 71^\circ $
Đáp án của giáo viên lời giải hay : A
Bước 1 : Đưa các tỉ số lượng giác về cùng loại (sử dụng tính chất "Nếu hai góc phụ nhau thì sin góc này bằng côsin góc kia, tang góc này bằng côtang góc kia")
Bước 2 : Với góc nhọn \(\alpha ,\,\beta \) ta có: $\tan \alpha < \tan \beta \Leftrightarrow \alpha < \beta $ ; $\cot \alpha < \cot \beta \Leftrightarrow \alpha > \beta $
Ta có $\cot 71^\circ = \tan 19^\circ \,$ vì $71^\circ + 19^\circ = 90^\circ $; $\cot 69^\circ 15' = \tan 20^\circ 45'$ vì $69^\circ 15' + 20^\circ 45' = 90^\circ $
Mà $ 19^\circ <20^\circ 45' < 28^\circ < 38^\circ < 43^\circ $ nên $ \tan 19^\circ < \tan 20^\circ 45' <\tan 28^\circ < \tan 38^\circ < \tan 43^\circ $
$ \Leftrightarrow \cot 71^\circ <\cot 69^\circ 15' < \tan 28^\circ < \tan 38^\circ < \tan 43^\circ $
Tính giá trị biểu thức $A = {\sin ^2}1^\circ + {\sin ^2}2^\circ + ... + {\sin ^2}88^\circ + {\sin ^2}89^\circ + {\sin ^2}90^\circ $
-
A
$A = 46$
-
B
$A = \dfrac{{93}}{2}$
-
C
$A = \dfrac{{91}}{2}$
-
D
$A = 45$
Đáp án của giáo viên lời giải hay : C
Bước 1 : Đưa các tỉ số lượng giác về cùng một góc hoặc cùng loại (sử dụng tính chất "Nếu hai góc phụ nhau thì sin góc này bằng côsin góc kia, tang góc này bằng côtang góc kia")
Bước 2 : Sử dụng đẳng thức lượng giác ${\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1$.
Ta có ${\sin ^2}89^\circ = {\cos ^2}1^\circ ;{\sin ^2}88^\circ = {\cos ^2}2^\circ ;...;{\sin ^2}46^\circ = {\cos ^2}44^\circ $ và ${\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1$
Nên $A = \left( {{{\sin }^2}1^\circ + {{\sin }^2}89^\circ } \right) + \left( {{{\sin }^2}2^\circ + {{\sin }^2}88^\circ } \right) + ... + \left( {{{\sin }^2}44^\circ + {{\sin }^2}46^\circ } \right) + {\sin ^2}45^\circ + {\sin ^2}90^\circ $
$ = \left( {{{\sin }^2}1^\circ + {{\cos }^2}1^\circ } \right) + \left( {{{\sin }^2}2^\circ + {{\cos }^2}2^\circ } \right) + ... + \left( {{{\sin }^2}44^\circ + {{\cos }^2}44^\circ } \right) + {\sin ^2}45^\circ + {\sin ^2}90^\circ $
$ = \underbrace {1 + 1 + ... + 1}_{44\,\,so\,1} + \dfrac{1}{2} + 1$$ = 44.1 + \dfrac{3}{2} = \dfrac{{91}}{2}$.
Vậy $A = \dfrac{{91}}{2}.$
Cho $\alpha $ là góc nhọn bất kỳ. Khi đó $C = {\sin ^4}\alpha + {\cos ^4}\alpha $ bằng
-
A
$C = 1 - 2{\sin ^2}\alpha .{\cos ^2}\alpha $
-
B
$C = 1$
-
C
$C = {\sin ^2}\alpha .{\cos ^2}\alpha $
-
D
$C = 1 + 2{\sin ^2}\alpha .{\cos ^2}\alpha $
Đáp án của giáo viên lời giải hay : A
Biến đổi để sử dụng các đẳng thức lượng giác thích hợp.
Ta có $C = {\sin ^4}\alpha + {\cos ^4}\alpha = {\sin ^4}\alpha + {\cos ^4}\alpha + 2{\sin ^2}\alpha .{\cos ^2}\alpha - 2{\sin ^2}\alpha .{\cos ^2}\alpha $
$ = {\left( {{{\sin }^2}\alpha + {{\cos }^2}\alpha } \right)^2} - 2{\sin ^2}\alpha .{\cos ^2}\alpha = 1 - 2{\sin ^2}\alpha .{\cos ^2}\alpha $ (vì ${\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1$)
Vậy $C = 1 - 2{\sin ^2}\alpha .{\cos ^2}\alpha $.
Cho $\alpha $ là góc nhọn bất kỳ. Rút gọn $P = \left( {1 - {{\sin }^2}\alpha } \right).{\cot ^2}\alpha + 1 - {\cot ^2}\alpha $ ta được
-
A
$P = {\sin ^2}\alpha $
-
B
$P = {\cos ^2}\alpha $
-
C
$P = {\tan ^2}\alpha $
-
D
$P = 2{\sin ^2}\alpha $
Đáp án của giáo viên lời giải hay : A
Biến đổi để sử dụng các đẳng thức lượng giác thích hợp.
Với $\cot \alpha = \dfrac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }};{\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1$.
$A = \left( {1 - {{\sin }^2}\alpha } \right).{\cot ^2}\alpha + 1 - {\cot ^2}\alpha $$ = {\cot ^2}\alpha - {\sin ^2}\alpha .{\cot ^2}\alpha + 1 - {\cot ^2}\alpha $
$ = 1 - {\sin ^2}\alpha .\dfrac{{{{\cos }^2}\alpha }}{{{{\sin }^2}\alpha }} = 1 - {\cos ^2}\alpha = {\sin ^2}\alpha $
Vậy $P = {\sin ^2}\alpha $.
Cho $\alpha $ là góc nhọn bất kỳ. Biểu thức $Q = \dfrac{{1 + {{\sin }^2}\alpha }}{{1 - {{\sin }^2}\alpha }}$ bằng
-
A
$Q = 1 + {\tan ^2}\alpha $
-
B
$Q = 1 + 2{\tan ^2}\alpha $
-
C
$Q = 1 - 2{\tan ^2}\alpha $
-
D
$Q = 2{\tan ^2}\alpha $
Đáp án của giáo viên lời giải hay : B
Biến đổi để sử dụng các đẳng thức lượng giác thích hợp.
Với $\tan \alpha = \dfrac{{sin\alpha }}{{\cos \alpha }};{\cos ^2}\alpha = 1 - {\sin ^2}\alpha $.
$Q = \dfrac{{1 + {{\sin }^2}\alpha }}{{1 - {{\sin }^2}\alpha }}$$ = \dfrac{{1 - {{\sin }^2}\alpha + 2{{\sin }^2}\alpha }}{{1 - {{\sin }^2}\alpha }} = \dfrac{{1 - {{\sin }^2}\alpha }}{{1 - {{\sin }^2}\alpha }} + \dfrac{{2{{\sin }^2}\alpha }}{{{{\cos }^2}\alpha }}$
$ = 1 + 2.{\left( {\dfrac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}} \right)^2} = 1 + 2{\tan ^2}\alpha $
Vậy $Q = 1 + 2{\tan ^2}\alpha $.
Cho $\tan \alpha = 2$. Tính giá trị của biểu thức $G = \dfrac{{2\sin \alpha + \cos \alpha }}{{\cos \alpha - 3\sin \alpha }}$
-
A
$G =1$
-
B
$G = - \dfrac{4}{5}$
-
C
$G = - \dfrac{6}{5}$
-
D
$G = - 1$
Đáp án của giáo viên lời giải hay : D
Biến đổi biểu thức đã cho về tỉ số lượng giác cho trước. (sử dụng công thức $\tan \alpha = \dfrac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}$)
Vì $\tan \alpha = 2$ nên $\cos \alpha \ne 0$
Ta có $G = \dfrac{{2\sin \alpha + \cos \alpha }}{{\cos \alpha - 3\sin \alpha }}$$ = \dfrac{{2\dfrac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} + \dfrac{{\cos \alpha }}{{\cos \alpha }}}}{{\dfrac{{\cos \alpha }}{{\cos \alpha }} - 3.\dfrac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}}}$$ = \dfrac{{2.\tan \alpha + 1}}{{1 - 3\tan \alpha }}$
Thay $\tan \alpha = 2$ ta được $G = \dfrac{{2.2 + 1}}{{1 - 3.2}} = - \dfrac{5}{5}=-1$.
Vậy $G = - 1$.
Cho tam giác nhọn \(ABC\) hai đường cao \(AD\) và \(BE\) cắt nhau tại \(H\). Biết \(HD:HA = 1:2\). Khi đó \(\tan \widehat {ABC}.\tan \widehat {ACB}\) bằng
-
A
$2$
-
B
$3$
-
C
$1$
-
D
$4$
Đáp án của giáo viên lời giải hay : B
Sử dụng định nghĩa tỉ số lượng giác của góc nhọn và tam giác đồng dạng.
Xét tam giác vuông $ABD$ và $ADC$, ta có: \(\tan B = \dfrac{{AD}}{{BD}};tanC = \dfrac{{AD}}{{CD}}\).
Suy ra \(\tan B.\tan C = \dfrac{{A{D^2}}}{{BD.CD}}\) (1)
Lại có \(\widehat {HBD} = \widehat {CAD}\) (cùng phụ với \(\widehat {ACB}\)) và \(\widehat {HDB} = \widehat {ADC} = {90^0}\).
Do đó \(\Delta BDH \backsim \Delta ADC\) (g.g), suy ra \(\dfrac{{DH}}{{DC}} = \dfrac{{BD}}{{AD}}\), do đó \(BD.DC = DH.AD\) (2).
Từ (1) và (2) suy ra \(\tan B.\tan C = \dfrac{{A{D^2}}}{{DH.AD}} = \dfrac{{AD}}{{DH}}\) (3).
Theo giả thiết \(\dfrac{{HD}}{{AH}} = \dfrac{1}{2}\) suy ra \(\dfrac{{HD}}{{AH + HD}} = \dfrac{1}{{2 + 1}}\) hay \(\dfrac{{HD}}{{AD}} = \dfrac{1}{3}\), suy ra \(AD = 3HD\).
Thay vào (3) ta được: \(\tan B.\tan C = \dfrac{{3HD}}{{DH}} = 3\).
Cho $ \alpha $ là góc nhọn. Tính \(\cot \alpha \) biết \(\sin \alpha = \dfrac{5}{{13}}\).
-
A
$\cot \alpha = \dfrac{{12}}{5}$
-
B
$\cot \alpha = \dfrac{{11}}{5}$
-
C
$\cot \alpha = \dfrac{5}{{12}}$
-
D
$\cot \alpha = \dfrac{{13}}{5}$
Đáp án của giáo viên lời giải hay : A
Sử dụng các hệ thức lượng giác thích hợp
+ Nếu \(\alpha \) là một góc nhọn bất kỳ thì
\(0 < \sin \alpha < 1;0 < \cos \alpha < 1\), \(\tan \alpha > 0;\cot \alpha > 0\), \({\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1\); $\cot \alpha = \dfrac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }}$
Ta có \(\sin \alpha = \dfrac{5}{{13}}\) suy ra \({\sin ^2}\alpha = \dfrac{{25}}{{169}}\), mà \({\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1\), do đó \({\cos ^2}\alpha = 1 - {\sin ^2}\alpha = 1 - \dfrac{{25}}{{169}} = \dfrac{{144}}{{169}}\)
Suy ra \(\cos \alpha = \dfrac{{12}}{{13}}\).
Do đó \(\cot \alpha = \dfrac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }} = \dfrac{{12}}{{13}}:\dfrac{5}{{13}} = \dfrac{{12}}{{13}}.\dfrac{{13}}{5} = \dfrac{{12}}{5}\).
Tính giá trị biểu thức $B = \tan 1^\circ .\tan 2^\circ .\tan 3^\circ .....\tan88^\circ .\tan89^\circ $
-
A
$B = 44$
-
B
$B = 1$
-
C
$B = 45$
-
D
$B = 2$
Đáp án của giáo viên lời giải hay : B
Bước 1 : Đưa các tỉ số lượng giác về cùng một góc hoặc cùng loại (sử dụng tính chất "Nếu hai góc phụ nhau thì sin góc này bằng côsin góc kia, tang góc này bằng côtang góc kia")
Bước 2 : Sử dụng đẳng thức lượng giác $\tan \alpha .\cot\alpha = 1$.
Ta có $\tan 89^\circ = \cot1^\circ ;\tan 88^\circ = \cot2^\circ ;..;\tan 46^\circ = \cot44^\circ $ và $\tan \alpha .\cot\alpha = 1$
Nên $B = \left( {\tan 1^\circ .\tan 89^\circ } \right).\left( {\tan 2^\circ .\tan 88^\circ } \right)....\left( {\tan 46^\circ .\tan 44^\circ } \right).\tan 45^\circ $
$ = \left( {\tan 1^\circ .\cot 1^\circ } \right).\left( {\tan 2^\circ .\cot 2^\circ } \right).\left( {\tan 3^\circ .\cot 3^\circ } \right)....\left( {\tan 44^\circ .\cot 44^\circ } \right).\tan 45^\circ $
$ = 1.1.1....1.1 = 1$
Vậy $B = 1$.
Chọn kết luận đúng về giá trị biểu thức \(B = \dfrac{{{{\cos }^2}\alpha - 3{{\sin }^2}\alpha }}{{3 - {{\sin }^2}\alpha }}\) biết \(\tan \alpha = 3.\)
-
A
\(B > 0\)
-
B
\(B < 0\)
-
C
\(0 < B < 1\)
-
D
\(B = 1\)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : B
Chia cả tử và mẫu cho \({\cos ^2}\alpha \) rồi sử dung công thức \(\tan \alpha = \dfrac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }};\,1 + {\tan ^2}\alpha = \dfrac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}\) đề biến đổi và tính toán
Vì \(\tan \alpha = 3 \ne 0 \Rightarrow \cos \alpha \ne 0.\) Chia cả tử và mẫu của \(B\) cho \({\cos ^2}\alpha \) ta được
\(B = \dfrac{{\dfrac{{{{\cos }^2}\alpha }}{{{{\cos }^2}\alpha }} - 3\dfrac{{{{\sin }^2}\alpha }}{{{{\cos }^2}\alpha }}}}{{\dfrac{3}{{{{\cos }^2}\alpha }} - \dfrac{{{{\sin }^2}\alpha }}{{{{\cos }^2}\alpha }}}} = \dfrac{{1 - 3{{\tan }^2}\alpha }}{{3.\dfrac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }} - {{\tan }^2}\alpha }}\)
\( = \dfrac{{1 - 3{{\tan }^2}\alpha }}{{3\left( {1 + {{\tan }^2}\alpha } \right) - {{\tan }^2}\alpha }} = \dfrac{{1 - 3{{\tan }^2}\alpha }}{{3 + 2{{\tan }^2}\alpha }}\)
\( = \dfrac{{1 - 3.9}}{{3 + 2.9}} = - \dfrac{{26}}{{21}}\)
Hay \(B = - \dfrac{{26}}{{21}} < 0\)
Cho tam giác \(ABC\) cân tại \(A\) có \(AB = AC = 13cm\); \(BC = 10cm\). Tính \(sinA\).
-
A
\(\sin A = \dfrac{{120}}{{169}}\)
-
B
\(\sin A = \dfrac{{60}}{{169}}\)
-
C
\(\sin A = \dfrac{5}{6}\)
-
D
\(\sin A = \dfrac{{10}}{{13}}\)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : A
Sử dụng định nghĩa tỉ số lượng giác
Tính chất tam giác cân.
Công thức tính diện tích tam giác
Vì tam giác \(ABC\) cân tại\(A\) nên là \(AE\) đường cao đồng thời là đường trung tuyến
\( \Rightarrow E\) là trung điểm \(BC \Rightarrow EB = EC = 5\)
Xét \(\Delta ABE\) vuông tại \(E\) có:
\(A{E^2} + E{B^2} = A{B^2}\) (Định lý Py-ta-go)
\(A{E^2} + {5^2} = {13^2} \Rightarrow AE = 12\)
\( \Rightarrow {S_{ABC}} = \dfrac{{AE.BC}}{2} = \dfrac{{12.10}}{2} = 60\)
Mặt khác: \({S_{ABC}} = \dfrac{{AC.BH}}{2} \Leftrightarrow 60 = \dfrac{{13.BH}}{2}\)\( \Rightarrow BH = \dfrac{{120}}{{13}}\)
Xét \(\Delta ABH\) vuông tại \(H\) có: \(sinA = \dfrac{{BH}}{{BA}} = \dfrac{{120}}{{13}}:13 = \dfrac{{120}}{{169}}.\)
Tính diện tích hình bình hành \(ABCD\) biết \(AD = 12cm;DC = 15cm;\angle ADC = {70^0}\).
-
A
\(169,1c{m^2}\)
-
B
\(129,6c{m^2}\)
-
C
\(116,5c{m^2}\)
-
D
\(115,8c{m^2}\)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : A
Sử dụng định nghĩa tỉ số lượng giác
Công thức tính diện tích hình bình hành.
Xét \(\Delta ADE\) vuông tại \(E\) có:
\(sinD = \dfrac{{AE}}{{AD}} \Leftrightarrow sin{70^0} = \dfrac{{AE}}{{12}} \Rightarrow AE = 12.sin{70^0}\)
\( \Rightarrow {S_{ABCD}} = AE.DC = 12.\sin {70^0}.15 \approx 169,1\,cm^2\)
Tính số đo góc nhọn \(\alpha \) biết \(10{\sin ^2}\alpha + 6{\cos ^2}\alpha = 8\).
-
A
\(\alpha = {30^0}.\)
-
B
\(\alpha = {45^0}.\)
-
C
\(\alpha = {60^0}.\)
-
D
\(\alpha = {120^0}.\)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : B
- Sử dụng công thức \({\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1\) với mọi \( \alpha \).
- Tính \(\sin \alpha \), từ đo suy ra số đo góc \(\alpha \).
Ta có: \(10{\sin ^2}\alpha + 6{\cos ^2}\alpha = 8\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 4{\sin ^2}\alpha + 6\left( {{{\sin }^2}\alpha + {{\cos }^2}\alpha } \right) = 8\\ \Leftrightarrow 4{\sin ^2}\alpha + 6 = 8\\ \Leftrightarrow {\sin ^2}\alpha = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow \sin \alpha = \pm \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\end{array}\)
\(Do\,\,\alpha < {90^0} \Rightarrow \sin \alpha > 0 \Leftrightarrow \sin \alpha = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}.\)
Vậy \(\alpha = {45^0}.\)
Tính giá trị của các biểu thức sau:
\(A = {\sin ^2}{15^0} + {\sin ^2}{25^0} + {\sin ^2}{35^0} + {\sin ^2}{45^0} + {\sin ^2}{55^0} + {\sin ^2}{65^0} + {\sin ^2}{75^0}\)
-
A
\(A=0\)
-
B
\(A = \dfrac{7}{2}\)
-
C
\(A = -\dfrac{7}{2}\)
-
D
\(A = \dfrac{5}{2}\)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : B
Sử dụng các công thức đặc biệt: \(\left\{ \begin{array}{l}\sin \alpha = \cos \left( {{{90}^0} - \alpha } \right)\\\tan \alpha = \cot \left( {{{90}^0} - \alpha } \right)\\{\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1\\\tan \alpha .\cot \alpha = 1\end{array} \right..\)
\(\,\,A = {\sin ^2}{15^0} + {\sin ^2}{25^0} + {\sin ^2}{35^0} + {\sin ^2}{45^0} + {\sin ^2}55 + {\sin ^2}{65^0} + {\sin ^2}{75^0}\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}A = {\sin ^2}{15^0} + {\sin ^2}{25^0} + {\sin ^2}{35^0} + {\sin ^2}{45^0} + {\sin ^2}55 + {\sin ^2}{65^0} + {\sin ^2}{75^0}\\\,\,\,\,\, = {\sin ^2}{15^0} + {\sin ^2}{25^0} + {\sin ^2}{35^0} + {\sin ^2}{45^0} + {\cos ^2}{35^0} + {\cos ^2}{25^0} + {\cos ^2}{15^0}\\\,\,\,\,\, = \left( {{{\sin }^2}{{15}^0} + {{\cos }^2}{{15}^0}} \right) + \left( {{{\sin }^2}{{25}^0} + {{\cos }^2}25} \right) + \left( {{{\sin }^2}{{35}^0} + {{\cos }^2}{{35}^0}} \right) + {\sin ^2}{45^0}\\\,\,\,\, = 1 + 1 + 1 + {\left( {\dfrac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)^2} = 3 + \dfrac{1}{2} = \dfrac{7}{2}.\end{array}\)
\(B = \tan {10^0}.\tan {80^0} - \tan {20^0}.\tan {70^0}.\)
-
A
\(B=0\)
-
B
\(B=1\)
-
C
\(B = \dfrac{7}{2}\)
-
D
\(B =- \dfrac{7}{2}\)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : A
Sử dụng các công thức đặc biệt: \(\left\{ \begin{array}{l}\sin \alpha = \cos \left( {{{90}^0} - \alpha } \right)\\\tan \alpha = \cot \left( {{{90}^0} - \alpha } \right)\\{\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1\\\tan \alpha .\cot \alpha = 1\end{array} \right..\)
\(\,\,B = \tan {10^0}.\tan {80^0} - \tan {20^0}.\tan {70^0}.\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}\,B = \tan {10^0}.\tan {80^0} - \tan {20^0}.\tan {70^0}\\\,\,\,\,\, = \tan {10^0}.\cot{10^0} - \tan {20^0}.\cot {20^0}\\\,\,\,\,\, = 1 - 1 = 0.\end{array}\)
Biết \({0^0} < \alpha < {90^0}\). Giá trị bủa biểu thức \(\left[ {\sin \alpha + 3\,\cos \left( {{{90}^0} - \alpha } \right)} \right]:\left[ {\sin \alpha - 2\cos \left( {{{90}^0} - \alpha } \right)} \right]\) bằng:
-
A
\( - 4\)
-
B
\(4\)
-
C
\(\dfrac{{ - 3}}{2}\)
-
D
\(\dfrac{3}{2}\).
Đáp án của giáo viên lời giải hay : A
Áp dụng tính chất: \(\sin \alpha = \cos \left( {{{90}^0} - \alpha } \right);\,\,\,\,\cos \alpha = \sin \left( {{{90}^0} - \alpha } \right).\)
\(\begin{array}{l}\left[ {\sin \alpha + 3\,\cos \left( {{{90}^0} - \alpha } \right)} \right]:\left[ {\sin \alpha - 2\cos \left( {{{90}^0} - \alpha } \right)} \right] \\= \left( {\sin \alpha + 3\sin \alpha } \right):\left( {\sin \alpha - 2\sin \alpha } \right)\\ = \left( {4\sin \alpha } \right):\left( { - \sin \alpha } \right) \\= - 4.\end{array}\)
Cho hai tam giác vuông \(OAB\) và \(OCD\) như hình vẽ. Biết \(OB = CD = a\), \(AB = OD = b.\) Tính \(\cos \angle AOC\) theo \(a\) và \(b\).
-
A
\(\dfrac{{2ab}}{{{a^2} + {b^2}}}\).
-
B
\(\dfrac{{{b^2} - {a^2}}}{{{a^2} + {b^2}}}\).
-
C
\(1\).
-
D
\(\dfrac{{{a^2} - {b^2}}}{{{a^2} + {b^2}}}\).
Đáp án của giáo viên lời giải hay : A
Tách \(\angle AOC = \angle AOB - \angle COD\). Áp dụng công thức cộng lượng giác và Pitago để tính \(\cos \angle AOC\)
Xét \(\Delta OAB\) và \(\Delta COD\) có:
\(\begin{array}{l}\angle OBA = \angle CDO = {90^o}\,\,\,\,\left( {gt} \right)\\OB = CD\,\,\,\left( {gt} \right)\\AB = OD\,\,\,\,\left( {gt} \right)\\ \Rightarrow \Delta OAB = \Delta COD\,\,\,\left( {c - g - c} \right)\end{array}\)
\( \Rightarrow OA = OC\) (2 cạnh tương ứng)
\( \Rightarrow OA.OC = O{A^2} = O{B^2} + A{B^2} = {a^2} + {b^2}\) (Định lý Pytago)
\(\begin{array}{l}\cos \angle AOC = \cos \left( {\angle AOB - \angle COD} \right) = \cos \angle AOB\cos \angle COD + \sin \angle AOB\sin \angle COD\\ = \dfrac{{OB}}{{OA}}.\dfrac{{OD}}{{OC}} + \dfrac{{AB}}{{OA}}.\dfrac{{CD}}{{OC}} = \dfrac{{OB.OD + AB.CD}}{{OA.OC}} = \dfrac{{ab + ab}}{{{a^2} + {b^2}}} = \dfrac{{2ab}}{{{a^2} + {b^2}}}.\end{array}\)