Cho tam giác $MNP$ vuông tại $N$. Hệ thức nào sau đây là đúng?
-
A
$MN = MP.\sin P$
-
B
$MN = MP.\cos P$
-
C
$MN = MP.\tan P$
-
D
$MN = MP.\cot P$
Đáp án của giáo viên lời giải hay : A
Ta có $\sin P = \dfrac{{MN}}{{MP}} \Rightarrow MN = MP.\sin P$.
Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có \(BC = a,AC = b,AB = c.\) Chọn khẳng định sai?
-
A
\(b = a.\sin B = a.\cos C\)
-
B
$a = c.\tan B = c.\cot C$
-
C
${a^2} = {b^2} + {c^2}$
-
D
\(c = a.\sin C = a.\cos B\)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : B
Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có \(BC = a,AC = b,AB = c.\) Ta có :
+) Theo định lý Py-ta-go ta có ${a^2} = {b^2} + {c^2}$ nên C đúng
+) Theo hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông ta có
\(b = a.\sin B = a.\cos C\); \(c = a.\sin C = a.\cos B\); \(b = c.\tan B = c.\cot C\); \(c = b.\tan C = b.\cot B\).
Nên A,D đúng.
Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có \(AC = 10\,cm,\widehat C = 30^\circ .\) Tính $AB;BC$
-
A
$AB = \dfrac{{5\sqrt 3 }}{3};BC = \dfrac{{20\sqrt 3 }}{3}$
-
B
$AB = \dfrac{{10\sqrt 3 }}{3};BC = \dfrac{{14\sqrt 3 }}{3}$
-
C
$AB = \dfrac{{10\sqrt 3 }}{3};BC = 20\sqrt 3 $
-
D
$AB = \dfrac{{10\sqrt 3 }}{3};BC = \dfrac{{20\sqrt 3 }}{3}$
Đáp án của giáo viên lời giải hay : D
Xét tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có
$\tan C = \dfrac{{AB}}{{AC}} \Rightarrow AB = AC.\tan C = 10.\tan 30^\circ = \dfrac{{10\sqrt 3 }}{3}$; $\cos C = \dfrac{{AC}}{{BC}} \Rightarrow BC = \dfrac{{AC}}{{\cos C}} = \dfrac{{10}}{{\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}}} = \dfrac{{20\sqrt 3 }}{3}$
Vậy $AB = \dfrac{{10\sqrt 3 }}{3};BC = \dfrac{{20\sqrt 3 }}{3}$.
Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có \(BC = 12\,cm,\widehat B = 40^\circ .\) Tính $AC;\widehat C$ . (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai)
-
A
$AC \approx 7,71;\widehat C = 40^\circ $
-
B
$AC \approx 7,72;\widehat C = 50^\circ $
-
C
$AC \approx 7,71;\widehat C = 50^\circ $
-
D
$AC \approx 7,73;\widehat C = 50^\circ $
Đáp án của giáo viên lời giải hay : C
+Tính góc còn lại theo định lý về tổng ba góc trong tam giác
+) Sử dụng hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông để tìm các cạnh .
Xét tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có
+) $\sin B = \dfrac{{AC}}{{BC}} \Rightarrow AC = BC.\sin B = 12.\sin 40^\circ \approx 7,71$
+) $\widehat A + \widehat B + \widehat C = 180^\circ \Rightarrow \widehat C = 180^\circ - 40^\circ - 90^\circ = 50^\circ $
Vậy $AC \approx 7,71;\widehat C = 50^\circ $.
Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có \(BC = 15\,cm,AB = 12\,cm\) . Tính $AC;\widehat B$ .
-
A
$AC = 8 (cm);\widehat B \approx 36^\circ 52'$
-
B
$AC = 9(cm);\widehat B \approx 36^\circ 52'$
-
C
$AC = 9(cm);\widehat B \approx 37^\circ 52'$
-
D
$AC = 9(cm);\widehat B \approx 36^\circ 55'$
Đáp án của giáo viên lời giải hay : B
+Tính cạnh còn lại theo định lý Py-ta-go
+) Tìm tỉ số lượng giác của góc từ đó suy ra góc.
Xét tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có
+) $B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} \Rightarrow AC = \sqrt {B{C^2} - A{B^2}} = \sqrt {{{15}^2} - {{12}^2}} = 9 (cm)$
+) $\sin B = \dfrac{{AC}}{{BC}} = \dfrac{9}{{15}} = \dfrac{3}{5}$
$\Rightarrow \widehat B \approx 36^\circ 52'$
Vậy $AC = 9 (cm);\widehat B \approx 36^\circ 52'$.
Cho tam giác \(ABC\) có \(AB = 16,AC = 14\) và \(\widehat B = {60^0}\). Tính $BC$
-
A
$BC = 10$
-
B
$BC = 11$
-
C
$BC = 9$
-
D
$BC = 12$
Đáp án của giáo viên lời giải hay : A
+) Kẻ đường cao $AH$
+) Sử dụng hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác vuông thích hợp và định lý Py-ta-go để tính cạnh.
Kẻ đường cao \(AH\).
Xét tam giác vuông \(ABH\), ta có: \(BH = AB.\cos B = AB.\cos {60^0} = 16.\dfrac{1}{2} = 8\)\(AH = AB.\sin B = AB.\sin {60^0} = 16.\dfrac{{\sqrt 3 }}{2} = 8\sqrt 3 \).
Áp dụng định lý Pythago vào tam giác vuông \(AHC\) ta có:
\(H{C^2} = A{C^2} - A{H^2} = {14^2} - {\left( {8\sqrt 3 } \right)^2} = 196 - 192 = 4\). Suy ra \(HC = 2\). Vậy \(BC = CH + HB = 2 + 8 = 10\).
Cho tam giác $ABC$ có $\widehat B = {60^0},\widehat C = {50^0},AC = 3,5cm.$ Diện tích tam giác $ABC$ gần nhất với giá trị nào dưới đây?
-
A
$4$
-
B
$5$
-
C
$7$
-
D
$8$
Đáp án của giáo viên lời giải hay : B
+) Kẻ đường cao $AD$
+) Sử dụng hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác vuông thích hợp và định lý Py-ta-go để tính cạnh.
+) Sử dụng công thức tính diện tích tam giác.
Kẻ đường cao \(AD\).
Xét tam giác vuông \(ACD\), có $AD = AC.\sin C = 3,5.\sin 50^\circ \approx 2,68\,cm$; $CD = AC.\cos C = 3,5.\cos 50^\circ \approx 2,25\,\,cm$
Xét tam giác vuông \(ABD\), có $BD = AD.\cot B \approx 2,68.\cot 60^\circ \approx 1,55\,\,cm$
Suy ra $BC = BD + CD = 3,8$
Do đó ${S_{ABC}} = \dfrac{{AD.BC}}{2} \approx 5,09$$c{m^2}$.
Cho tứ giác $ABCD$ có $\widehat A = \widehat D = {90^0},\widehat C = {40^0},AB = 4cm,AD = 3cm.$ Tính diện tích tứ giác $ABCD.$ (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai)
-
A
$17,36\,\,c{m^2}$
-
B
$17,4\,\,c{m^2}$
-
C
$17,58\,\,c{m^2}$
-
D
$17,54\,\,c{m^2}$
Đáp án của giáo viên lời giải hay : A
+) Kẻ đường cao $BE$
+) Sử dụng hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác vuông thích hợp để tính $EC$.
+) Sử dụng công thức tính diện tích hình thang
Vì $\widehat A = \widehat D = {90^0} \Rightarrow AD{\rm{//}}BC$ hay $ABCD$ là hình thang vuông tại $A,D$
Kẻ $BE \bot DC$ tại $E$.
Tứ giác $ABED$ có ba góc vuông $\widehat A = \widehat D = \widehat E = 90^\circ $ nên $ABED$ là hình chữ nhật
Suy ra $DE = AB = 4\,\,cm;BE = AD = 3\,cm$
Xét tam giác $BEC$ vuông tại $E$ có $EC = BE.\cot 40^\circ=3.\cot40^0 $ $\Rightarrow DC = DE + EC =4+3.\cot40^0$
Do đó ${S_{ABCD}} = \dfrac{{\left( {AB + CD} \right).AD}}{2}$\(=\dfrac{(4+4+3.\cot40^0).3}{2}\)
$\approx 17,36\,\,c{m^2}$.
Cho tam giác \(DEF\) có \(DE = 7cm;\angle D = {40^0};\angle F = {58^0}\). Kẻ đường cao \(EI\) của tam giác đó.
Hãy tính: (Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ 1)
Đường cao \(EI\)
-
A
\(EI = 4,5cm\)
-
B
\(EI = 5,4cm\)
-
C
\(EI = 5,9cm\)
-
D
\(EI = 5,6cm\)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : A
Sử dụng hệ thức liên hệ giữa cạnh và góc trong tam giác vuông.
Xét \(\Delta DEI\) vuông tại \(I\) ta có: \(EI = ED.\sin D = 7.\sin {40^0}\)\( \approx 4,5\,\,cm.\)
Cạnh \(EF\)
-
A
\(EF = 4,5cm\)
-
B
\(EF = 5,3cm\)
-
C
\(EF = 5,9cm\)
-
D
\(EF = 6,2cm\)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : B
Sử dụng hệ thức liên hệ giữa cạnh và góc trong tam giác vuông.
Xét \(\Delta EIF\) vuông tại \(I\) ta có:
\(EI = EF.\sin F \Leftrightarrow EF = \dfrac{{EI}}{{\sin F}} \approx \dfrac{{4,5}}{{\sin {{58}^0}}} \approx 5,3\,cm.\)
Cho tam giác $ABC$ có $BC = 11cm,\widehat {ABC} = 40^\circ $ và $\widehat {ACB} = {30^0}.$ Gọi $N$ là chân đường vuông góc hạ từ $A$ xuống cạnh $BC$.
Độ dài $AN$ gần nhất với giá trị nào dưới đây ?
-
A
$5$
-
B
$4$
-
C
$6$
-
D
$7$
Đáp án của giáo viên lời giải hay : B
Đặt $BN = x\,\left( {0 < x < 11} \right)$$ \Rightarrow NC = 11 - x$
Xét tam giác $ABN$ vuông tại $N$ có $AN = BN.\tan B = x.\tan 40^\circ $
Xét tam giác $ACN$ vuông tại $N$ có $AN = CN.\tan C = \left( {11 - x} \right).\tan 30^\circ $
Nên $x\tan 40^\circ = \left( {11 - x} \right)\tan 30^\circ $
$\Rightarrow x \approx 4,48 $ (thoả mãn)
Khi đó $AN = BN.\tan B = 4,48.\tan 40^\circ \approx 3,76(cm).$
Độ dài $AC$ gần nhất với giá trị nào dưới đây ?
-
A
$7$
-
B
$6$
-
C
$5$
-
D
$4$
Đáp án của giáo viên lời giải hay : A
Theo câu trước ta có $AN \approx 3,76$;
Xét tam giác $ACN$ vuông tại $N$ có $\sin C = \dfrac{{AN}}{{AC}} \Rightarrow AC = \dfrac{{AN}}{{\sin C}} = 7,52$
Diện tích tam giác $ABC$ gần với giá trị nào dưới đây ?
-
A
$27$
-
B
$23$
-
C
$22$
-
D
$21$
Đáp án của giáo viên lời giải hay : D
+) Sử dụng công thức diện tích tam giác $S = \dfrac{{ah}}{2}$ với $h$ là chiều cao ứng với cạnh đáy $a$.
Theo kết quả các câu trước ta có $AN \approx 3,76$ nên ${S_{ABC}} = \dfrac{{AN.BC}}{2} = 20,68\,c{m^2}$.
Cho tam giác \(ABC\) cân tại \(A,\,\,\angle B = {65^0},\) đường cao \(CH = 3,6\). Hãy giải tam giác \(ABC\).
-
A
\(\angle A = {50^0}\,\,;\,\,\,\angle C = {65^0}\,\,;\,\,AB = AC = 5,6\,\,;\,\,BC = 8,52\)
-
B
\(\angle A = {50^0}\,\,;\,\,\,\angle C = {65^0}\,\,;\,\,AB = AC = 5,6\,\,;\,\,BC = 4,42\)
-
C
\(\angle A = {50^0}\,\,;\,\,\,\angle C = {65^0}\,\,;\,\,AB = AC = 4,7\,\,;\,\,BC = 4,24\)
-
D
\(\angle A = {50^0}\,\,;\,\,\,\angle C = {65^0}\,\,;\,\,AB = AC = 4,7\,\,;\,\,BC = 3,97\)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : D
Áp dụng hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông.
Sử dụng tính chất tam giác cân.
Sử dụng định lý tổng ba góc trong một tam giác.
Vì \(\Delta ABC\) là tam giác cân tại \(A\)\( \Rightarrow \angle C = \angle B = {65^0}\)
Ta có \(\angle A + \angle B + \angle C = {180^0}\)(định lý tổng ba góc trong một tam giác)
\( \Rightarrow \angle A = {180^0} - 2\angle C = {180^0} - {2.65^0} = {50^0}\)
Xét \(\Delta ACH\) vuông tại \(H\) ta có:
\(\sin A = \dfrac{{CH}}{{AC}}\) \( \Leftrightarrow \sin {50^0} = \dfrac{{3,6}}{{AC}}\)\( \Rightarrow AC = \dfrac{{3,6}}{{\sin {{50}^0}}} \approx 4,7\)
Vì \(\Delta ABC\) là tam giác cân tại \(A\)\( \Rightarrow AC = AB \approx 4,7\)
Xét \(\Delta BCH\) vuông tại \(H\) ta có:
\(\sin B = \dfrac{{CH}}{{BC}} \Leftrightarrow \sin {65^0} = \dfrac{{3,6}}{{BC}} \)\(\Rightarrow BC = \dfrac{{3,6}}{{\sin {{65}^0}}} \approx 3,97\)
Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), đường cao \(AH\), biết \(HB = 9;HC = 16\). Tính góc \(B\) và góc \(C.\)
-
A
\(\angle B = {53^0}8'\,\,\,;\,\,\,\angle C = {36^0}52'\)
-
B
\(\angle B = {36^0}52'\,\,\,;\,\,\,\angle C = {53^0}8'\)
-
C
\(\angle B = {48^0}35'\,\,\,;\,\,\,\angle C = {41^0}25'\)
-
D
\(\angle B = {41^0}25'\,\,\,;\,\,\,\angle C = {48^0}35'\)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : A
Áp dụng hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông
Từ tỉ số lượng giác suy ra số đo góc
Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông: \(A{B^2} = BH.BC\); \(A{C^2} = CH.BC\)
Ta có: \(BC = BH + CH = 9 + 16 = 25\)
Áp dụng hệ thức lượng cho \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) có đường cao \(AH\) ta có:
\(A{B^2} = BH.BC\)\( \Leftrightarrow A{B^2} = 9.25 \Rightarrow AB = 15\)
\(A{C^2} = CH.BC\)\( \Leftrightarrow A{C^2} = 16.25 \Rightarrow AC = 20\)
Xét \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) ta có
\(\sin B = \dfrac{{AC}}{{BC}} = \dfrac{{20}}{{25}} = \dfrac{4}{5} \Rightarrow \angle B \approx {53^0}8'\)
\(\sin C = \dfrac{{AB}}{{BC}} = \dfrac{{15}}{{25}} = \dfrac{3}{5} \Rightarrow \angle C \approx {36^0}52'\)
Một tam giác cân có đường cao ứng với đáy đúng bằng độ dài đáy. Tính các góc của tam giác đó.
-
A
\(\angle A = {45^0}\,\,;\,\,\,\angle B = \angle C = {67^0}30'\)
-
B
\(\angle A = {30^0}\,\,;\,\,\,\angle B = \angle C = {75^0}\)
-
C
\(\angle A = {48^0}6'\,\,;\,\,\,\angle B = \angle C = {65^0}57'\)
-
D
\(\angle A = {53^0}8'\,\,;\,\,\,\angle B = \angle C = {63^0}26'\)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : D
Áp dụng hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông.
Tính chất tam giác cân.
Sử dụng định lý tổng ba góc trong một tam giác.
Giả sử \(BC = AH = a.\)
Vì \(\Delta ABC\) là tam giác cân nên \(AH\) là đường cao đồng thời là đường trung tuyến
\( \Rightarrow H\) là trung điểm \(BC\) \( \Rightarrow HB = HC = \dfrac{{BC}}{2} = \dfrac{a}{2}\)
Xét \(\Delta ABH\) vuông tại \(H\) ta có: \(tan\angle B = \dfrac{{AH}}{{BH}} = \dfrac{a}{{\dfrac{a}{2}}} = 2\) \( \Rightarrow \angle B \approx {63^0}26'\)
Vì \(\Delta ABC\) là tam giác cân\( \Rightarrow \angle C = \angle B \approx {63^0}26'\)
Ta có \(\angle A + \angle B + \angle C = {180^0}\) (định lý tổng ba góc trong một tam giác)
\( \Rightarrow \angle A = {180^0} - 2\angle C \approx {180^0} - {2.63^0}26' \approx {53^0}8'\)
Cho tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(A\left( {AB = AC = a} \right)\) . Phân giác của góc \(B\) cắt \(AC\) tại \(D\).
Tính \(DA;DC\) theo \(a\).
-
A
\(AD = a.\cos 22,{5^0}\,\,;\,\,DC = a - a.\cos 22,{5^0}\)
-
B
\(AD = a.\sin 22,{5^0}\,\,;\,\,DC = a - a.\sin 22,{5^0}\)
-
C
\(AD = a.\tan 22,{5^0}\,\,;\,\,DC = a - a.\tan 22,{5^0}\)
-
D
\(AD = a.\cot 22,{5^0}\,\,;\,\,DC = a - a.cot22,{5^0}\)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : C
Áp dụng hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông
Sử dụng tính chất tam giác vuông cân và tia phân giác.
Vì tam giác \(ABC\) vuông cân tại \( \Rightarrow \angle B = \angle C = {45^0}\)
Vì \(BD\) là tia phân giác \(B\)
\( \Rightarrow \angle ABD = \angle DBC = \dfrac{1}{2}\angle B = \dfrac{{{{45}^0}}}{2} = 22,{5^0}\)
Xét \(\Delta ABD\) vuông tại \(A\) ta có
\(AD = AB.\tan \angle ABD = a.\tan 22,{5^0}\)
Ta có: \(AD + DC = AC\)\( \Rightarrow DC = AC - AD = a - a\tan 22,{5^0}\)
Cho hình thang \(ABCD\) vuông tại \(A\) và \(D;\)\(\angle C = {50^0}\). Biết \(AB = 2;AD = 1,2\). Tính diện tích hình thang \(ABCD.\)
-
A
\({S_{ABCD}} = 2\,\,\,\left( {đvdt} \right)\)
-
B
\({S_{ABCD}} = 3\,\,\,\left( {đvdt} \right)\)
-
C
\({S_{ABCD}} = 4\,\,\,\left( {đvdt} \right)\)
-
D
\({S_{ABCD}} = \dfrac{5}{2}\,\,\,\left( {đvdt} \right)\)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : B
Áp dụng hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông.
Sử dụng tính chất hình chữ nhật.
Công thức tính diện tích hình thang vuông: \({S_{ABCD}} = \dfrac{{\left( {AB + CD} \right).AD}}{2}.\)
Kẻ \(BE \bot DC,\,\,\,E \in CD.\)
Xét tứ giác \(ABED\) có \(\angle A = \angle D = \angle E = {90^0}\)
\( \Rightarrow ABED\) là hình chữ nhật \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}AB = ED = 2\\AD = BE = 1,2\end{array} \right.\)
Xét \(\Delta BCE\) vuông tại \(E\) ta có: \(EC = BE.cot\angle C = 1,2.cot{50^0}\)
\( \Rightarrow DC = DE + EC = 2 + 1,2.\cot {50^0}\)
\( \Rightarrow {S_{ABCD}} = \dfrac{{\left( {AB + CD} \right)AD}}{2}\)\( = \dfrac{{\left( {2 + 2 + 1,2.\cot {{50}^0}} \right).1,2}}{2} \approx 3\,\,\,\,\left( {đvdt} \right).\)
Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A,\) đường cao \(AH.\) Biết \(AB = 3cm,\,\,AC = 4cm.\) Tính độ dài đường cao \(AH,\) tính \(\cos \angle ACB\).
-
A
\(AH = 2,8cm\,\,\,;\,\,\,\cos \angle ACB = \dfrac{3}{5}\)
-
B
\(AH = 2,4cm\,\,\,;\,\,\,\cos \angle ACB = \dfrac{4}{5}\)
-
C
\(AH = 2,5cm\,\,\,;\,\,\,\cos \angle ACB = \dfrac{3}{4}\)
-
D
\(AH = 1,8cm\,\,\,;\,\,\,\cos \angle ACB = \dfrac{2}{3}\)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : B
Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông và công thức tỉ số lượng giác để làm bài toán.
Áp dụng định lý Pitago trong \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) ta có: \(B{C^2} = A{C^2} + A{B^2} = {3^2} + {4^2} = {5^2} \Rightarrow BC = 5\,\,cm.\)
Áp dụng hệ thức lượng trong \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) có đường cao \(AH\) ta có:
\(AH.BC = AB.AC \Leftrightarrow AH = \dfrac{{AB.AC}}{{BC}} \)\(= \dfrac{{3.4}}{5} = 2,4cm.\)
Ta có: \(\cos \angle ACB = \dfrac{{AC}}{{BC}} = \dfrac{4}{5}.\)
Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\); \(BC = a\) không đổi, \(\angle C = \alpha \,\,\,\left( {{0^0} < \alpha < {{90}^0}} \right)\)
Lập công thức để tính diện tích tam giác ABC theo \(a\) và \(\alpha\) .
-
A
\(\dfrac{1}{2}{a^2}\sin \alpha .\cos \alpha \)
-
B
\({a^2}\sin \alpha .\cos \alpha \)
-
C
\(2{a^2}\sin \alpha .\cos \alpha \)
-
D
\(3{a^2}\sin \alpha .\cos \alpha \)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : A
Áp dụng hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông.
Sử dụng công thức tính diện tích tam giác \({S_{ABC}} = \dfrac{1}{2}AB.AC.\)
Xét \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}AB = BC.\sin \alpha = a.\sin \alpha \\AC = BC.cos\alpha = a.cos\alpha \end{array} \right.\)
\({S_{ABC}} = \dfrac{1}{2}.AB.AC = \dfrac{1}{2}a.\sin \alpha .a.cos\alpha \)\(= \dfrac{1}{2}{a^2}.\sin \alpha .cos\alpha \)
Tìm góc để diện tích tam giác ABC là lớn nhất. Tính giá trị lớn nhất ấy.
-
A
\(\alpha = {45^0}\,\,;\,\,\max {S_{\Delta ABC}} = \dfrac{1}{2}{a^2}\)
-
B
\(\alpha = {30^0}\,\,;\,\,\max {S_{\Delta ABC}} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{4}{a^2}\)
-
C
\(\alpha = {60^0}\,\,;\,\,\max {S_{\Delta ABC}} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{4}{a^2}\)
-
D
\(\alpha = {45^0}\,\,;\,\,\max {S_{\Delta ABC}} = \dfrac{1}{4}{a^2}\)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : D
Sử dụng định lý Pytago.
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có:
\({S_{ABC}} = \dfrac{1}{2}.AB.AC \le \dfrac{1}{2}.\dfrac{{\left( {A{B^2} + A{C^2}} \right)}}{2}\)\( = \dfrac{1}{4}.\left( {A{B^2} + A{C^2}} \right)\)
Áp dụng định lý Pitago cho \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) ta có: \(A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}\)
\( \Rightarrow {S_{ABC}} = \dfrac{1}{2}.AB.AC \le \dfrac{1}{4}.\left( {A{B^2} + A{C^2}} \right) = \dfrac{1}{4}B{C^2} = \dfrac{1}{4}{a^2}\)
Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow AC = AB\)\( \Leftrightarrow \Delta ABC\) vuông cân \( \Rightarrow \angle B = \angle C = {45^0}\) hay \(\alpha = {45^0}\).
Vậy \({S_{ABCmax}} = \dfrac{1}{4}{a^2}\) khi \(\alpha = {45^0}.\)