Hãy chọn câu đúng:
-
A
Diện tích tam giác vuông bằng nửa tích hai cạnh góc vuông
-
B
Diện tích hình chữ nhật bằng nửa tích hai kích thước của nó
-
C
Diện tích hình vuông có cạnh $a$ là $2a$
-
D
Tất cả các đáp án trên đều đúng
Đáp án của giáo viên lời giải hay : A
Sử dụng các công thức tính diện tích hình chữ nhật, hình vuông, tam giác vuông.
+ Diện tích hình chữ nhật bằng tích hai kích thước của nó: \(S = a.b\) .
+ Diện tích vuông bằng bình phương cạnh của nó: \(S = {a^2}\) .
+ Diện tích tam giác vuông bằng nửa tích hai cạnh góc vuông nên A đúng.
Hình chữ nhật có chiều dài tăng $4$ lần, chiều rộng giảm $2$ lần, khi đó diện tích hình chữ nhật
-
A
Không thay đổi
-
B
Tăng $2$ lần
-
C
Giảm $2$ lần
-
D
Tăng \(\dfrac{4}{3}\) lần
Đáp án của giáo viên lời giải hay : B
Sử dụng công thức tính diện tích hình chữ nhật bằng tích chiều dài nhân chiều rộng.
Theo công thức tính diện tích hình chữ nhật \(S = a.b\) thì diện tích hình chữ nhật tỉ lệ thuận với chiều dài và chiều rộng của nó
Nếu \(a' = 4a;\,\,\,b' = \dfrac{1}{2}b;\,\) thì \(S' = a'.b' = 4a.\dfrac{1}{2}b = \dfrac{4}{2}ab = \dfrac{4}{2}S = 2S.\)
Do đó diện tích tăng \(2\) lần so với diện tích đã cho.
Hình chữ nhật có chiều dài giảm đi $5$ lần và chiều rộng tăng lên \(5\) lần, khi đó diện tích của hình chữ nhật
-
A
Không thay đổi.
-
B
Tăng \(5\) lần.
-
C
Giảm \(5\) lần.
-
D
Giảm \(3\) lần.
Đáp án của giáo viên lời giải hay : A
Sử dụng công thức tính diện tích hình chữ nhật bằng tích chiều dài nhân chiều rộng.
Gọi \(a;b\) lần lượt là chiều dài và chều rộng của hình chữ nhật ban đầu.
Diện tích hình chữ nhật ban đầu là \(S=a.b\)
Nếu giảm chiều dài đi 5 lần thì chiều dài mới là \(a' = \dfrac{1}{5}a \)
Nếu tăng chiều rộng 5 lần thì chiều rộng mới là \(b' = 5b\)
Lúc này, diện tích của hình chữ nhật mới là \(S' = a'.b' = \dfrac{1}{5}a.5b = ab = S\)
Do đó diện tích hình chữ nhật không thay đổi.
Cho tam giác \(ABC\), biết diện tích tam giác là \(16\,c{m^2}\) và cạnh \(BC = 8cm\). Đường cao ứng với cạnh $BC$ là:
-
A
\(5\,cm\).
-
B
\(8\,cm\)
-
C
\(6\,cm\).
-
D
\(4\,cm\).
Đáp án của giáo viên lời giải hay : D
Sử dụng công thức: Diện tích tam giác bằng nửa tích một cạnh với chiều cao ứng với cạnh đó: \(S = \dfrac{1}{2}ah\) .
Gọi \(AH\) là đường cao ứng với cạnh \(BC\) . Theo công thức tính diện tích tam giác ta có \(S = \dfrac{1}{2}AH.BC \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}AH.8 = 16 \Leftrightarrow AH = 4\,cm\) .
Cho tam giác \(ABC\), đường cao \(AH = 9\,cm\), cạnh \(BC = 12\,cm\). Diện tích tam giác là:
-
A
\(108c{m^2}\).
-
B
\(72\,c{m^2}\).
-
C
\(54\,c{m^2}\).
-
D
\(216\,c{m^2}\).
Đáp án của giáo viên lời giải hay : C
Sử dụng công thức: Diện tích tam giác bằng nửa tích một cạnh với chiều cao ứng với cạnh đó: \(S = \dfrac{1}{2}ah\) .
Từ công thức tính diện tích tam giác ta có \({S_{ABC}} = \dfrac{1}{2}AH.BC = \dfrac{1}{2}.9.12 = 54\,c{m^2}\) .
Cho tam giác \(ABC\), lấy \(M\) thuộc \(BC\) sao cho \(BM = 3CM\). Hãy chọn câu sai:
-
A
\({S_{ABM}} = \dfrac{3}{4}{S_{ABC}}\).
-
B
\({S_{ABM}} = 3{S_{AMC}}\).
-
C
\({S_{AMC}} = \dfrac{1}{3}{S_{ABC}}\).
-
D
\({S_{ABC}} = 4{S_{AMC}}\).
Đáp án của giáo viên lời giải hay : C
Bước 1: Sử dụng công thức: Diện tích tam giác bằng nửa tích một cạnh với chiều cao ứng với cạnh đó: \(S = \dfrac{1}{2}ah\)
Bước 2: Từ đó dựa vào dữ kiện \(BM = 3CM\) ta tìm được mối quan hệ diện tích giữa các tam giác.
Kẻ \(AH \bot BC\) tại \(H\) .
Mà \(BM = 3CM\)\( \Rightarrow BM = \dfrac{3}{4}BC;\,CM = \dfrac{1}{4}BC;\,\)
Khi đó ta có
\(\begin{array}{l}{S_{ABM}} = \dfrac{1}{2}.\,AH.BM = \dfrac{1}{2}AH.\dfrac{3}{4}BC\\ = \dfrac{3}{4}.\left( {\dfrac{1}{2}AH.BC} \right) = \dfrac{3}{4}{S_{ABC}}\end{array}\)
Suy ra A đúng.
\(\begin{array}{l}{S_{AMB}} = \dfrac{1}{2}.\,AH.MB = \dfrac{1}{2}AH.3MC\\ = 3.\left( {\dfrac{1}{2}AH.MC} \right) = 3{S_{AMC}}\end{array}\)
Suy ra B đúng.
\(\begin{array}{l}{S_{ABC}} = \dfrac{1}{2}.\,AH.BC = \dfrac{1}{2}AH.4MC = 4{S_{AMC}}\\ \Rightarrow {S_{ABC}} = 4{S_{AMC}} \Leftrightarrow {S_{AMC}} = \dfrac{1}{4}{S_{ABC}}\end{array}\)
suy ra D đúng, C sai.
Cho tam giác \(ABC\), \(AM\) là đường trung tuyến. Biết diện tích của \(\Delta ABC\) bằng \(60\,c{m^2}\). Diện tích của tam giác \(AMC\) là:
-
A
\({S_{AMC}} = 30\,c{m^2}\).
-
B
\({S_{AMC}} = 120\,c{m^2}\).
-
C
\({S_{AMC}} = 15\,c{m^2}\).
-
D
\({S_{AMC}} = 40\,c{m^2}\).
Đáp án của giáo viên lời giải hay : A
Bước 1: Sử dụng công thức: Diện tích tam giác bằng nửa tích một cạnh với chiều cao ứng với cạnh đó: \(S = \dfrac{1}{2}ah\)
Bước 2: Dựa vào dữ kiện \(M\) là trung điểm của \(BC\) ta tìm được mối quan hệ diện tích giữa \(\Delta ABC\) và \(\Delta AMC\) và suy ra diện tích \(\Delta AMC\).
Kẻ \(AH \bot BC\) tại \(H\) .
Ta có \({S_{ABC}} = \dfrac{1}{2}AH.BC;\,{S_{AMC}} = \dfrac{1}{2}AH.MC\)
Mà \(AM\) là đường trung tuyến nên \(M\) là trung điểm của \(BC\)\( \Rightarrow BC = 2AM\)
Từ đó \({S_{ABC}} = \dfrac{1}{2}AH.BC = \dfrac{1}{2}AH.2MC = 2{S_{AMC}}\)
Suy ra \({S_{AMC}} = \dfrac{1}{2}{S_{ABC}} = \dfrac{1}{2}.60 = 30\,c{m^2}\) .
Vậy \({S_{AMC}} = 30\,c{m^2}\) .
Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ , biết \(BC = 5\,cm;AC = 3cm\). Diện tích tam giác \(ABC\) là:
-
A
\(15\,c{m^2}\).
-
B
\(5\,c{m^2}\).
-
C
\(6\,c{m^2}\).
-
D
\(7,5\,c{m^2}\).
Đáp án của giáo viên lời giải hay : C
+ Bước 1: Tính cạnh \(AB\) dựa vào định lý Pytago.
+ Bước 2: Sử dụng công thức: Diện tích tam giác vuông bằng nửa tích hai cạnh góc vuông: \(S = \dfrac{{ab}}{2}\)
+ Áp dụng định lý Pytago cho tam giác vuông \(ABC\) ta có
\(\begin{array}{l}B{C^2} = A{C^2} + A{B^2}\\ \Rightarrow A{B^2} = {5^2} - {3^2}\\ \Rightarrow A{B^2} = 16 \Rightarrow AB = 4\,cm\end{array}\)
+ Suy ra \({S_{ABC}} = \dfrac{{AC.AB}}{2} = \dfrac{{3.4}}{2} = 6\,c{m^2}\) .
Tam giác $ABC$ vuông tại $A$ , vẽ hình chữ nhật $ABDC$ . Biết diện tích của tam giác vuông là \(140\,c{m^2}\). Diện tích hình chữ nhật $ABDC$ là:
-
A
\(70\,c{m^2}\).
-
B
\(280\,c{m^2}\).
-
C
\(300\,c{m^2}\).
-
D
\(80\,c{m^2}\).
Đáp án của giáo viên lời giải hay : B
Dựa vào công thức tính diện tích hình chữ nhật và tam giác vuông để suy ra mối liên hệ \({S_{ABDC}} = 2{S_{ABC}}\) .
Từ đó tính ra được diện tích \(ABDC\) .
Vì \(ABDC\) là hình chữ nhật nên \({S_{ABDC}} = AC.AB\) mà \({S_{ABC}} = \dfrac{{AC.AB}}{2}\)
Nên \({S_{ABDC}} = 2{S_{ABC}} = 2.140 = 280\,c{m^2}\) .
Cho tứ giác$ABCD$ có hai đường chéo vuông góc với nhau. Gọi $E,F,G,H$ lần lượt là trung điểm các cạnh$AB,BC,CD,DA$ . Biết diện tích của tứ giác $ABCD$ là \(18\,{m^2}\) thì diện tích của tứ giác $EFGH$ là:
-
A
\(9{m^2}\).
-
B
\(5\,{m^2}\).
-
C
\(6\,c{m^2}\).
-
D
\(7,5\,c{m^2}\).
Đáp án của giáo viên lời giải hay : A
Bước 1: Chứng minh \(EFGH\) là hình chữ nhật theo dấu hiệu hình bình hành có một góc vuông.
Bước 2: Dựa vào công thức tính diện tích hình chữ nhật và dữ kiện \({S_{ABCD}} = 18\,{m^2}\) để tính \({S_{EFGH}}\) .
+ Vì $E,F,G,H$ lần lượt là trung điểm các cạnh$AB,BC,CD,DA$ nên \(EF;\,FG;\,GH;\,HE\) lần lượt là đường trung bình của các tam giác \(ABC;\,BCD;\,ADC;\,ADB\)
nên \(EF{\rm{//}}HG\) (vì cùng song song với \(AC\) ); \(HE{\rm{//}}FG\,\)( vì cùng song song với \(BD\) )
Suy ra tứ giác \(EFGH\) là hình bình hành, mà \(AC \bot BD\,\left( {gt} \right) \Rightarrow EFGH\) là hình chữ nhật.
Do đó \({S_{EFGH}} = HE.EF\) , mà \(EF = \dfrac{1}{2}AC;\,HE = \dfrac{1}{2}BD\) (tính chất đường trung bình)
Nên \({S_{EFGH}} = \dfrac{1}{2}AC.\dfrac{1}{2}BD \)\(= \dfrac{1}{4}AC.BD.\)
+ Gọi \(K\) là giao của \(AC\) và \(BD\).
Khi đó
\(\begin{array}{l}{S_{ABCD}} = {S_{ABC}} + {S_{ACD}}\\ = \dfrac{1}{2}BK.AC + \dfrac{1}{2}DK.AC\\ = \dfrac{1}{2}AC\left( {BK + DK} \right)\\ = \dfrac{1}{2}AC.BD\end{array}\)
Mà \({S_{ABCD}} = 18\,{m^2} \Rightarrow \dfrac{1}{2}AC.BD = 18 \Rightarrow AC.BD = 36\,{m^2}.\)
Suy ra \({S_{EFGH}} = \dfrac{1}{4}AC.BD \)\(= \dfrac{1}{4}.36 = 9\,{m^2}.\)
Một hình chữ nhật có diện tích là $24\,c{m^2}$, chiều dài là $8\,cm$. Chu vi hình chữ nhật đó là
-
A
\(11\,cm\).
-
B
\(20\,cm\).
-
C
\(22\,cm\).
-
D
\(16\,cm\).
Đáp án của giáo viên lời giải hay : C
Bước 1: Sử dụng công thức diện tích hình chữ nhật bằng tích chiều dài với chiều rộng để tính chiều rộng
Bước 2: Sử dụng công thức chu vi hình chữ nhật bằng hai lần tổng chiều dài và chiều rộng.
Gọi chiều rộng hình chữ nhật là \(a\) , ta có $S = a.8 \Leftrightarrow 8a = 24 \Leftrightarrow a = 3\,cm$ .
Chu vi hình chữ nhật là \(S = \left( {3 + 8} \right).2 = 22\,cm\) .
Cho tam giác $ABC$ có diện tích \(12\,c{m^2}\) . Gọi $N$ là trung điểm của$BC$ , $M$ trên $AC$ sao cho \(AM = \dfrac{1}{3}AC\) , $AN$ cắt $BM$ tại $O$ .
Khẳng định nào sau đây là đúng nhất?
-
A
\(AO = ON\).
-
B
\(BO = 3OM\).
-
C
\(BO < 3OM\).
-
D
Cả A, B đều đúng.
Đáp án của giáo viên lời giải hay : D
Sử dụng tính chất của đường trung bình trong tam giác để so sánh các đoạn thẳng.
+ Lấy $P$ là trung điểm của$CM$ .
Tam giác BCM có: \(\left\{ \begin{array}{l}NB = NC\,\,(gt)\\PC = PM\,\,(gt)\end{array} \right.\)
Suy ra $NP$ là đường trung bình của tam giác $BMC$ (định nghĩa).
Suy ra \(NP{\rm{//}}BM\) (tính chất đường trung bình).
Tam giác $ANP$ có \(\left\{ \begin{array}{l}MA = MP\,\,\,(gt)\\OM{\rm{//}}NP\,\,\,({\rm{do}}\,\,NP{\rm{//}}BM)\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow AO = ON\) (định lý đảo của đường trung bình) .
+ Ta có $OM$ là đường trung bình của tam giác $ANP$ (cmt) nên \(OM = \dfrac{1}{2}NP\,\,\,\,(1)\)
$NP$ là đường trung bình của tam giác $BCM$ nên \(NP = \dfrac{1}{2}BM\,\,\,(2)\)
Từ (1) và (2) suy ra \(BM = 4OM \Rightarrow BO = 3OM\) .
Vậy \(AO = ON;\,BO = 3OM\) .
Tính diện tích tam giác AOM
-
A
\(2\,c{m^2}\).
-
B
\(1\,c{m^2}\).
-
C
\(3\,c{m^2}\).
-
D
\(6\,c{m^2}\).
Đáp án của giáo viên lời giải hay : B
Sử dụng tỉ lệ của diện tích các tam giác.
Hai tam giác $AOM$ và $ABM$ có chung đường cao hạ từ $A$ nên \(\dfrac{{{S_{AOM}}}}{{{S_{ABM}}}} = \dfrac{{OM}}{{BM}} = \dfrac{1}{4} \Rightarrow {S_{AOM}} = \dfrac{1}{4}{S_{ABM}}\)
Hai tam giác $ABM$ và $ABC$ có chung đường cao hạ từ $B$ nên \(\dfrac{{{S_{ABM}}}}{{{S_{ABC}}}} = \dfrac{{AM}}{{AC}} = \dfrac{1}{3} \Rightarrow {S_{ABM}} = \dfrac{1}{3}{S_{ABC}}\)
Vậy \({S_{AOM}} = \dfrac{1}{4}.\dfrac{1}{3}.12 = 1\left( {c{m^2}} \right)\)
Cho hình bình hành ABCD. Đường phân giác của các góc A và C cắt đường chéo BD tại E và F.
-
A
\({S_{ABCFE}} = 2{S_{ADCFE}}\)
-
B
\({S_{ABCFE}} < {S_{ADCFE}}\)
-
C
\({S_{ABCFE}} = {S_{ADCFE}}\)
-
D
\({S_{ABCFE}} > {S_{ADCFE}}\)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : C
Chứng minh diện tích hai tam giác bằng nhau thông qua chứng minh hai tam giác bằng nhau.
Áp dụng cộng diện tích để suy ra mối quan hệ diện tích giữa các hình.
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{S_{ABCFE}} = {S_{ABE}} + {S_{BFC}}\\{S_{ADCFE}} = {S_{DFC}} + {S_{DAE}}\end{array} \right.\)
Xét hình hình hành ABCD có AE và CF lần lượt là phân giác cảu các góc A và C nên suy ra:
\(\widehat {BAE} = \widehat {DAE} = \widehat {BCF} = \widehat {DCF}\).
Xét \(\Delta ABE\) và \(\Delta CDF\) có:
\(\begin{array}{l}AB = CD\,\,(gt)\\\widehat {ABE} = \widehat {CDF}\,\,\,(slt)\\\widehat {BAE} = \widehat {DCF}\,\,(cmt)\\ \Rightarrow \Delta ABE = \Delta CDF\,\,(g.c.g)\\ \Rightarrow {S_{ABE}} = {S_{CDF}} \,\,(1)\end{array}\).
Xét \(\Delta BCF\) và \(\Delta DAE\) có:
\(\begin{array}{l}AD = BC\,\,(gt)\\\widehat {ADE} = \widehat {CBF\,\,}(slt)\\\widehat {DAE} = \widehat {BCF}\,\,(cmt)\end{array}\).
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \Delta BCF = \Delta DAE\,\,(g.c.g)\\ \Rightarrow {S_{BCF}} = {S_{DAE}} \,\,(2)\end{array}\).
Từ (1) và (2) suy ra:
\({S_{ABE}} + {S_{BCF}} = {S_{CDF}} + {S_{DAE}} \Rightarrow {S_{ABCFE}} = {S_{ADCFE}}\).
Cho tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(A.\) Dựng về phía ngoài tam giác các hình vuông \(ABMN,ACDE,\,BCHK\). Chọn câu đúng.
-
A
\({S_{ABMN}} = {S_{DCHK}} + {S_{ABMN}}\)
-
B
\({S_{ACDE}} = {S_{DCHK}} + {S_{ABMN}}\)
-
C
\({S_{DCHK}} = {S_{ACDE}} - {S_{ABMN}}\)
-
D
\({S_{DCHK}} = {S_{ACDE}} + {S_{ABMN}}\)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : D
Sử dụng công thức tính diện tích hình vuông để tính diện tích các hình vuông được tạo thành bởi các cạnh của tam giác vuông cân ABC.
Giả sử tam giác ABC vuông cân tại A có \(AB = AC = a.\)
Áp dụng định lý Pi-ta-go ta có: \(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} = {a^2} + {a^2} = 2{a^2}\).
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{S_{ABCD}} = A{C^2} = {a^2}\\{S_{ABMN}} = A{B^2} = {a^2}\\{S_{BCHK}} = B{C^2} = 2{a^2}\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow {S_{DCHK}} = {S_{ACDE}} + {S_{ABMN}}.\)
Trong các hình chữ nhật có cùng chu vi \(100cm,\) hình có diện tích lớn nhất là bao nhiêu?
-
A
\(2500\,c{m^2}\)
-
B
\(625\,c{m^2}\)
-
C
\(500\,c{m^2}\)
-
D
\(1250\,c{m^2}\)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : B
Sử dụng công thức tính diện tích hình chữ nhật bằng tích chiều dài với chiều rộng.
Sử dụng đánh giá \(m - {A^2} \le m\), dấu “=” xảy ra khi \(A = 0.\)
Nửa chu vi của hình chữ nhật là \(100:2 = 50cm\).
Gọi một kích thước của hình chữ nhật là \(x\,\,\left( {cm;x > 0} \right)\) thì kích thước còn lại là \(50 - x\,\,\left( {cm} \right)\).
Diện tích hình chữ nhật bằng \(x\left( {50 - x} \right) = - {x^2} + 50x = - \left( {{x^2} - 50x + 625} \right) + 625\)\( = 625 - {\left( {x - 25} \right)^2}\).
Ta có: \({\left( {x - 25} \right)^2} \ge 0;\forall x \Leftrightarrow 625 - {\left( {x - 25} \right)^2} \le 625;\,\forall x\).
Dấu “=” xảy ra khi \(x = 25\).
Vậy hình chữ nhật có diện tích lớn nhất là \(625\,c{m^2}.\)
Tính chu vi một tam giác vuông có cạnh huyền bằng \(26\,cm\), hiệu hai cạnh góc vuông bằng \(14\,cm.\)
-
A
\(98\,cm\)
-
B
\(30\,cm\)
-
C
\(60\,cm\)
-
D
\(120\,cm\)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : C
Sử dụng công thức tính diện tích hình tam giác vuông bằng nửa tích hai cạnh góc vuông.
Sử dụng định lý Pytago: Trong tam giác vuông, bình phương cạnh huyền bằng tổng bình phương hai cạnh góc vuông.
Gọi 1 cạnh góc vuông là \(x\left( {cm;x > 0} \right)\).
Thì cạnh góc vuông còn lại là \(\left( {x + 14} \right)\,cm\).
Theo định lý Pytago ta có: \({x^2} + {\left( {x + 14} \right)^2} = {26^2}\).
\( \Leftrightarrow {x^2} + {x^2} + 28x + {14^2} = {26^2}\).
\( \Leftrightarrow 2{x^2} + 28x - 480 = 0\)
\( \Leftrightarrow {x^2} + 14x - 240 = 0\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {x^2} + 24x - 10x - 240 = 0\\ \Leftrightarrow x\left( {x + 24} \right) - 10\left( {x + 24} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 10} \right)\left( {x + 24} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 10 = 0\\x + 24 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 10\left( {tm} \right)\\x = - 24\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\end{array}\).
Suy ra hai cạnh góc vuông của tam giác là \(10\,cm;\,10 + 14 = 24\,cm\).
Chu vi tam giác vuông là \(10 + 24 + 26 = 60\,cm\).