Đa giác đều là đa giác
-
A
Có tất cả các cạnh bằng nhau
-
B
Có tất cả các góc bằng nhau
-
C
Có tất cả các cạnh bằng nhau và các góc bằng nhau
-
D
Cả ba câu trên đều đúng
Đáp án của giáo viên lời giải hay : C
Theo định nghĩa: Đa giác đều là đa giác có tất cả các cạnh bằng nhau và các góc bằng nhau
Hãy chọn câu đúng:
-
A
Diện tích tam giác vuông bằng nửa tích hai cạnh góc vuông
-
B
Diện tích hình chữ nhật bằng nửa tích hai kích thước của nó
-
C
Diện tích hình vuông có cạnh \(a\) là $2a$
-
D
Tất cả các đáp án trên đều đúng
Đáp án của giáo viên lời giải hay : A
Dựa vào công thức tính diện tích hình chữ nhật, hình vuông, tam giác vuông
+) Diện tích hình chữ nhật bằng tích hai kích thước của nó.
+) Diện tích hình vuông có cạnh a là \({a^2}.\)
+) Diện tích tam giác vuông bằng nửa tích hai cạnh góc vuông của tam giác vuông đó.
Một đa giác lồi \(10\) cạnh thì có số đường chéo là:
-
A
\(35\)
-
B
\(30\)
-
C
\(70\)
-
D
\(27\)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : A
Sử dụng công tính tính số đường chéo của hình n cạnh: \(\dfrac{{n\left( {n - 3} \right)}}{2}\)
Số đường chéo của hình \(10\) cạnh là: \(\dfrac{{10\left( {10 - 3} \right)}}{2} = 35\) đường.
Số đo mỗi góc của hình \(9\) cạnh đều là:
-
A
\(120^\circ \)
-
B
\(60^\circ \)
-
C
\(140^\circ \)
-
D
\(135^\circ \)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : C
Sử dụng công thức tính số đo góc của đa giác đều n cạnh: \(\dfrac{{\left( {n - 2} \right).180^\circ }}{n}\)
Số đo góc của đa giác đều 9 cạnh:\(\dfrac{{\left( {9 - 2} \right).180^\circ }}{9} = 140^\circ \)
Một tam giác có độ dài ba cạnh là $12cm,{\rm{ 5}}cm,{\rm{ 13}}cm.$ Diện tích tam giác đó là
-
A
\(60c{m^2}\)
-
B
\(30c{m^2}\)
-
C
\(45c{m^2}\)
-
D
\(32,5c{m^2}\)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : B
Với kích thước đã cho chứng minh được tam giác này vuông nên diện tích tam giác bằng một nửa tích hai cạnh góc vuông.
Ta có: \({5^2} + {12^2} = 169;\,{13^2} = 169 \Rightarrow {5^2} + {12^2} = {13^2}\)
Do đó đây tam giác đã cho là tam giác vuông có hai cạnh góc vuông là \(5cm\) và \(12cm.\)
Diện tích của nó là: \(\dfrac{1}{2}.12.5 = 30\left( {c{m^2}} \right)\)
Tổng số đo các góc của hình đa giác \(n\) cạnh là \(900^\circ \) thì
-
A
\(n = 7\)
-
B
\(n = 8\)
-
C
\(n = 9\)
-
D
\(n = 6\)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : A
Tổng số đo các góc trong đa giác n cạnh là : \(\left( {n - 2} \right){.180^0}\) (với $n \ge 3$)
Áp dụng công thức tính tổng số đo các góc trong đa giác n cạnh là : \(\left( {n - 2} \right){.180^0}\) (với $n \ge 3$), ta có:
\(\begin{array}{l}\left( {n - 2} \right){.180^0} = 900^\circ \\ \Rightarrow n - 2 = 900^\circ :{180^0}\\ \Rightarrow n - 2 = 5\\ \Rightarrow n = 7\end{array}\)
Hình chữ nhật có chiều dài tăng 4 lần, chiều rộng giảm 2 lần, khi đó diện tích hình chữ nhật
-
A
không thay đổi
-
B
tăng \(4\) lần
-
C
giảm \(2\) lần
-
D
tăng \(2\) lần
Đáp án của giáo viên lời giải hay : D
Sử dụng công thức tính diện tích hình chữ nhật bằng tích chiều dài nhân chiều rộng.
Theo công thức tính diện tích hình chữ nhật \(S = a.b\) thì diện tích hình chữ nhật tỉ lệ thuận với chiều dài và chiều rộng của nó
Nếu \(a' = 4a;\,\,\,b' = \dfrac{1}{2}b;\,\) thì \(S' = a'.b' = 4a.\dfrac{1}{2}b = \dfrac{4}{2}ab = 2S\)
Do đó diện tích mới bằng \(2\) lần diện tích đã cho.
Hình chữ nhật có diện tích là \(240c{m^2}\) , chiều rộng là 8cm. Chu vi hình chữ nhật đó là:
-
A
\(38cm\)
-
B
\(76cm\)
-
C
\(19cm\)
-
D
\(152cm\)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : B
Tính chiều dài hình chữ nhật từ công thức tính diện tích hình chữ nhật: \(S = ab\), rồi tính chu vi hình chữ nhật theo công thức: \(C = 2\left( {a + b} \right)\).
Chiều dài hình chữ nhật là: \(240:8 = 30(cm)\)
Chu vi hình chữ nhật là: \(2.\left( {30 + 8} \right) = 76(cm)\)
Cho tam giác $ABC$ với ba đường cao $AA';\,BB';\,CC'$ . Gọi $H$ là trực tâm của tam giác đó. Chọn câu đúng.
-
A
$\dfrac{{HA'}}{{AA'}} + \dfrac{{HB'}}{{BB'}} + \dfrac{{HC'}}{{CC'}} = 1$
-
B
\(\dfrac{{HA'}}{{AA'}} + \dfrac{{HB'}}{{BB'}} + \dfrac{{HC'}}{{CC'}} = 2\)
-
C
\(\dfrac{{HA'}}{{AA'}} + \dfrac{{HB'}}{{BB'}} + \dfrac{{HC'}}{{CC'}} = 3\)
-
D
\(\dfrac{{HA'}}{{AA'}} + \dfrac{{HB'}}{{BB'}} + \dfrac{{HC'}}{{CC'}} = 4\)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : A
Lập công thức tính diện tích tam giác ABC theo tổng diện tích của ba tam giác HBC; HAC; HAB. Từ đó biến đổi để dẫn đến hệ thức cần tìm.
Ta có:
\(\begin{array}{l}{S_{HBC}} + {S_{HAC}} + {S_{HAB}} = {S_{ABC}}\\ \Rightarrow \dfrac{{{S_{HBC}}}}{{{S_{ABC}}}} + \dfrac{{{S_{HAC}}}}{{{S_{ABC}}}} + \dfrac{{{S_{HAB}}}}{{{S_{ABC}}}} = 1\\ \Leftrightarrow \dfrac{{HA'.BC}}{{AA'.BC}} + \dfrac{{HB'.AC}}{{BB'.AC}} + \dfrac{{HC'.BA}}{{CC'.BA}} = 1\\ \Leftrightarrow \dfrac{{HA'}}{{AA'}} + \dfrac{{HB'}}{{BB'}} + \dfrac{{HC'}}{{CC'}} = 1\,\,\,\,\left( {đpcm} \right).\end{array}\)
Cho hình thang $ABCD{\rm{ }},{\rm{ }}AB$ song song với $CD,$ đường cao $AH.$ Biết \(AB = 7cm;\,CD = 10cm\) , diện tích của $ABCD$ là \(25,5c{m^2}\) thì độ dài $AH$ là:
-
A
2,5cm
-
B
3cm
-
C
3,5cm
-
D
5cm
Đáp án của giáo viên lời giải hay : B
Từ công thức tính diện tích hình thang bằng nửa tổng hai đáy nhân với đường cao, ta suy ra độ dài đường cao.
Ta có:
\(\begin{array}{l}{S_{ABCD}} = \dfrac{{\left( {AB + CD} \right).AH}}{2}\\ \Rightarrow AH = \dfrac{{2{S_{ABCD}}}}{{AB + CD}} = \dfrac{{2.25,5}}{{7 + 10}} = 3(cm)\end{array}\)
Cho hình bình hành $ABCD,$ đường cao ứng với cạnh $DC$ là \(AH = 6cm\); cạnh \(DC = 12cm\) . Diện tích của hình bình hành $ABCD$ là:
-
A
\(72c{m^2}\)
-
B
\(82c{m^2}\)
-
C
\(92c{m^2}\)
-
D
\(102c{m^2}\)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : A
Sử dụng công thức tính diện tích hình bình hành bằng tích của một cạnh với chiều cao tương ứng với cạnh đó
Ta có: \({S_{ABCD}} = AH.CD = 6.12 = 72\left( {c{m^2}} \right)\)
Tính diện tích của tam giác đều \(ABC\) biết chu vi tam giác \(ABC\) bằng $18cm.$
-
A
\(9\left( {c{m^2}} \right)\)
-
B
\(18\sqrt 3 \left( {c{m^2}} \right)\)
-
C
\(9\sqrt 3 \left( {c{m^2}} \right)\)
-
D
\(27\sqrt 3 \left( {c{m^2}} \right)\)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : C
Tính độ dài đường cao hạ từ đỉnh $A.$
Sử dụng công thức tính diện tích tam giác bằng nửa tích chiều cao với cạnh đáy tương ứng.
Cạnh của tam giác đều là: \(AB = BC = CA = 18:3 = 6(cm)\)
Gọi $AH$ là đường cao kẻ từ đỉnh $A$ của tam giác $ABC.$
Khi đó $AH$ vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến của tam giác đều $ABC.$
Suy ra \(BH = HC = \dfrac{1}{2}BC = \dfrac{1}{2}.6 = 3(cm)\)
Áp dụng định lí Py-ta-go trong tam giác vuông $AHB$ ta có:
\(AH = \sqrt {A{B^2} - B{H^2}} = \sqrt {{6^2} - {3^2}} = \sqrt {27} = 3\sqrt 3 (cm)\)
Diện tích tam giác đều là: \({S_{ABC}} = \dfrac{{AH.BC}}{2} = \dfrac{{3\sqrt 3 .6}}{2} = 9\sqrt 3 (c{m^2})\)
Cho hình thoi $ABCD$ có hai đường chéo $AC$ và $BD$ cắt nhau tại $O.$ Biết \(OA = 12cm\), diện tích hình thoi $ABCD$ là \(168c{m^2}\). Cạnh của hình thoi là:
-
A
\(\sqrt {190} (cm)\)
-
B
\(\sqrt {180} (cm)\)
-
C
\(\sqrt {193} (cm)\)
-
D
\(\sqrt {195} (cm)\)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : C
Tính $BO$, áp dụng định lí Py-ta-go trong tam giác vuông $AOB$ để tính cạnh $AB$
Ta có:
\(AC = 2AO = 2.12 = 24cm\)
\(\begin{array}{l}{S_{ABCD}} = \dfrac{1}{2}BD.AC \Rightarrow BD = \dfrac{{2{S_{ABCD}}}}{{AC}} = \dfrac{{2.168}}{{24}} = 14(cm)\\ \Rightarrow BO = \dfrac{1}{2}BD = \dfrac{1}{2}.14 = 7(cm)\end{array}\)
Áp dụng định lí Py-ta-go trong tam giác vuông AOB vuông tại O ta có:
\(AB = \sqrt {A{O^2} + B{O^2}} = \sqrt {{{12}^2} + {7^2}} = \sqrt {193} (cm)\)
Cho tam giác $ABC$ trung tuyến $AM,$ chiều cao \(AH\). Chọn câu đúng
-
A
\({S_{ABM}} = {S_{ACM}} = {S_{ABC}}\)
-
B
\({S_{ABM}} = {S_{ACM}} = \dfrac{1}{2}{S_{ABC}}\)
-
C
\({S_{ABM}} = {S_{ACB}} = \dfrac{1}{2}{S_{AMC}}\)
-
D
\({S_{ABM}} = \dfrac{1}{2}{S_{ACM}} = \dfrac{1}{2}{S_{ABC}}\)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : B
Sử dụng công thức tính diện tích tam giác: \(S = \dfrac{1}{2}ah\) với \(a\) là độ dài đáy, \(h\) là độ dài chiều cao ứng với đáy.
Ta có \({S_{ABM}} = \dfrac{1}{2}AH.BM\) ; \({S_{AMC}} = \dfrac{1}{2}AH.MC\) ; \({S_{ABC}} = \dfrac{1}{2}AH.BC\)
Mà \(M\) là trung điểm của \(BC\) nên \(MB = MC = \dfrac{{BC}}{2}\)
Từ đó ta suy ra \({S_{ABM}} = \dfrac{1}{2}AH.BM = \dfrac{1}{2}AH.CM = \dfrac{1}{2}AH.\dfrac{1}{2}BC = \dfrac{1}{2}\dfrac{{AH.BC}}{2}\)
Hay \({S_{ABM}} = {S_{ACM}} = \dfrac{1}{2}{S_{ABC}}\) .
Cho hình chữ nhật ABCD có \(AD = 8cm,\;AB = 9cm\). Các điểm $M,{\rm{ }}N$ trên đường chéo $BD$ sao cho $BM = MN = ND.$ Tính diện tích tam giác $CMN.$
-
A
\(12c{m^2}\)
-
B
\(24c{m^2}\)
-
C
\(36c{m^2}\)
-
D
\(6c{m^2}\)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : A
+ Tính tỉ số diện tích tam giác \(CMN\) và tam giác \(BCD\)
+ Tính diện tích \(\Delta BCD\) suy ra diện tích tam giác \(CMN.\)
+ Ta có \(CD = AB = 9cm;BC = AD = 8cm\) nên \({S_{BCD}} = \dfrac{1}{2}BC.DC = \dfrac{1}{2}.8.9 = 36\,c{m^2}\)
+ Kẻ \(CH \bot BD\) tại \(H.\)
+ Ta có \({S_{BCD}} = \dfrac{1}{2}CH.BD;{S_{CMN}} = \dfrac{1}{2}CH.MN\) mà \(MN = \dfrac{1}{3}BD \Rightarrow {S_{CMN}} = \dfrac{1}{3}{S_{BCD}} = \dfrac{1}{3}.36 = 12\,c{m^2}\)
Cho hình chữ nhật $ABCD$. Trên cạnh $AB$ lấy M . Tìm vị trí của M để \({S_{MBC}} = \dfrac{1}{4}{S_{ABCD}}\)
-
A
\(M\) là điểm thuộc đoạn \(AB\) sao cho \(AM = \dfrac{1}{2}MB\)
-
B
\(M\) là điểm thuộc đoạn \(AB\) sao cho \(AM = \dfrac{3}{4}AB\)
-
C
\(M\) là trung điểm đoạn \(AB.\)
-
D
$M$ là điểm thuộc đoạn \(AB\) sao cho \(AM = \dfrac{1}{4}AB\)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : C
Sử dụng công thức tính diện tích hình chữ nhật và diện tích tam giác vuông.
Ta có \({S_{ABCD}} = AB.BC\) ; \({S_{MBC}} = \dfrac{1}{2}MB.BC\)
Để \({S_{MBC}} = \dfrac{1}{4}{S_{ABCD}} \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}MB.BC = \dfrac{1}{4}AB.BC\)\( \Leftrightarrow MB = \dfrac{1}{2}AB\)
Mà \(M \in AB\) nên \(M\) là trung điểm đoạn \(AB.\)
Cho hình vuông $MNPQ$ nội tiếp tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$ (hình vẽ). Biết \({S_{MNPQ}} = 484c{m^2}.\;\) Tính \({S_{ABC}}\).
-
A
\(1089c{m^2}\)
-
B
\(1809c{m^2}\)
-
C
\(\dfrac{{1089}}{2}c{m^2}\)
-
D
\(2178c{m^2}\)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : A
+ Sử dụng công thức tính diện tích hình vuông để tính các cạnh của hình vuông \(MNPQ\)
+Chứng minh các tam giác \(CPN;QMB\) vuông cân
+ Kẻ \(AH \bot BC\)
+ Tính cạnh \(BC;AH\) rồi tính diện tích tam giác \(ABC.\)
Ta có
Kẻ \(AH \bot BC \Rightarrow H\) là trung điểm cạnh \(BC\) (vì tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(A\) )
Khi đó \(AH\) là đường trung tuyến nên \(AH = \dfrac{{BC}}{2}\) (tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông)
+ Xét tam giác vuông \(CNP\) có \(\widehat C = 45^\circ \) (do tam giác \(ABC\) vuông cân) nên tam giác \(CNP\) vuông cân tại \(P.\) Suy ra \(CP = PN = 22cm\)
+ Tương tự ta có \(\Delta QMB\) vuông cân tại \(Q \Rightarrow QM = QB = 22cm\)
Từ đó \(BC = PC + PQ + QB = 22 + 22 + 22 = 66cm\)
Mà \(AH = \dfrac{{BC}}{2}\left( {cmt} \right) \Rightarrow AH = \dfrac{{66}}{2} = 33cm\)
Từ đó \({S_{ABC}} = \dfrac{1}{2}AH.BC = \dfrac{1}{2}.33.66 = 1089\,c{m^2}\)
Cho tam giác $ABC$ có diện tích \(12c{m^2}\) . Gọi $N$ là trung điểm của $BC,{\rm{ }}M$ trên $AC$ sao cho \(AM = \dfrac{1}{3}AC\) , $AN$ cắt $BM$ tại $O$ .
Chọn câu đúng.
-
A
\(AO = ON\)
-
B
\(BO = 3OM\)
-
C
\(BO = 2OM\)
-
D
Cả A, B đều đúng.
Đáp án của giáo viên lời giải hay : D
+) Sử dụng tính chất của đường trung bình trong tam giác.
+) Sử dụng tỉ lệ của diện tích các tam giác.
Lấy $P$ là trung điểm của $CM.$ Vì \(AM = \dfrac{1}{3}AC \Rightarrow MC = \dfrac{2}{3}AC \)\(\Rightarrow MP = PC = \dfrac{1}{3}AC = AM\)
Tam giác $BCM$ có: \(\left\{ \begin{array}{l}NB = NC\,\,(gt)\\PC = PM\,\,(gt)\end{array} \right.\)
Suy ra $NP$ là đường trung bình của tam giác $BMC$ (định nghĩa).
Suy ra \(NP//BM\) (tính chất đường trung bình).
Tam giác ANP có \(\left\{ \begin{array}{l}MA = MP\,\,\,(cmt)\\OM//NP\,\,\,(do\,\,NP//BM)\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow AO = ON\) (định lý đảo của đường trung bình).
Theo chứng minh trên ta có OM là đường trung bình của tam giác ANP nên \(OM = \dfrac{1}{2}NP\,\,\,\,(1)\)
NP là đường trung bình của tam giác BCM nên \(NP = \dfrac{1}{2}BM\,\,\,(2)\)
Từ (1) và (2) suy ra \(BM = 4OM \Rightarrow BO = 3OM\) .
Vậy cả A, B đều đúng.
Tính diện tích tam giác $AOM$
-
A
\(4c{m^2}\)
-
B
\(3c{m^2}\)
-
C
\(2c{m^2}\)
-
D
\(1c{m^2}\)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : D
+) Sử dụng công thức tính diện tích tam giác và tỉ lệ của diện tích các tam giác.
Hai tam giác $AOM$ và $ABM$ có chung đường cao hạ từ $A$ nên \(\dfrac{{{S_{AOM}}}}{{{S_{ABM}}}} = \dfrac{{OM}}{{BM}} \)\(= \dfrac{1}{4} \Rightarrow {S_{AOM}} = \dfrac{1}{4}{S_{ABM}}\)
Hai tam giác $ABM$ và $ABC$ có chung đường cao hạ từ $B$ nên \(\dfrac{{{S_{ABM}}}}{{{S_{ABC}}}} = \dfrac{{AM}}{{AC}} = \dfrac{1}{3} \)\(\Rightarrow {S_{ABM}} = \dfrac{1}{3}{S_{ABC}}\)
Vậy \({S_{AOM}} = \dfrac{1}{4}.\dfrac{1}{3}.12 = 1\left( {c{m^2}} \right)\)
Cho tam giác \(ABC,\,\,\widehat A = {90^0},\,\,AB = 6cm,\,\,AC = 8cm.\) Hạ $AH \bot BC,$ qua \(H\) kẻ \(HE \bot AB,\,\,HF \bot AC\) với \(E \in AB;F \in AC\).
Tính $BC$, $EF.$
-
A
\(BC = 10cm;EF = 4,8cm\)
-
B
\(BC = 10cm;EF = 2,4cm\)
-
C
\(BC = 5cm;EF = 4,8cm\)
-
D
\(BC = 12cm;EF = 5,4cm\)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : A
+) Sử dụng định lý Pi-ta-go để tính độ dài cạnh huyền $BC.$
+) Áp dụng định lý Pi-ta-go với các tam giác vuông $AHC$ và $BHC$ để tính cạnh $AH.$
+) Chứng minh tứ giác $AEHF$ là hình chữ nhật, từ đó suy ra hai đường chéo $AH = EF.$
Áp dụng định lý Pi-ta-go trong tam giác $ABC$ vuông tại $A$ ta có:
\(BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}} = \sqrt {{6^2} + {8^2}} = \sqrt {100} = 10\,cm.\)
Áp dụng định lý Pi-ta-go trong tam giác $ABH$ vuông tại $H$ ta có:
\(A{H^2} = A{B^2} - B{H^2} = 36 - B{H^2}.\)
Áp dụng định lý Pi-ta-go trong tam giác $ACH$ vuông tại $H$ ta có:
\(\begin{array}{l}A{H^2} = A{C^2} - H{C^2} = 64 - H{C^2}.\\ \Rightarrow 36 - B{H^2} = 64 - H{C^2}\\ \Leftrightarrow 36 - B{H^2} = 64 - {\left( {10 - BH} \right)^2}\\\left( {do\,\,\,HC + BH = BC = 10} \right)\\ \Leftrightarrow 28 - 100 + 20BH - B{H^2} + B{H^2} = 0\\ \Leftrightarrow 20BH = 72\\ \Leftrightarrow BH = 3,6\,\,\,cm.\\ \Rightarrow AH = \sqrt {36 - B{H^2}} = \sqrt {36 - 3,{6^2}} = 4,8\,\,cm.\end{array}\)
Xét tứ giác $AEHF$ có: \(\widehat A = \widehat E = \widehat F = {90^0}\,\,\,\left( {gt} \right)\)
\( \Rightarrow AEHF\) là hình chữ nhật (dhnb) \( \Rightarrow AH = EF\,\,\,\) (hai đường chéo hình chữ nhật bằng nhau).
\( \Rightarrow EF = AH = 4,8\,\,cm.\)
Gọi \(M,\,\,N\) lần lượt là trung điểm của \(HB\) và \(HC\). Tính diện tích tứ giác $MNFE$ .
-
A
\(18c{m^2}\)
-
B
\(6c{m^2}\)
-
C
\(12c{m^2}\)
-
D
\(24c{m^2}\)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : C
+) Tính diện tích theo mối quan hệ \({S_{MNFE}} = {S_{\Delta MEH}} + {S_{\Delta HEF}} + {S_{\Delta NFH}}\)
Kẻ \(MP \bot EH\,\,\left( {P \in EH} \right),\,\,NQ \bot HF\,\,\left( {Q \in HF} \right)\) ta có: MP và NQ lần lượt là đường trung bình của tam giác HBE và HFC nên \(MP = \dfrac{1}{2}BE,\,\,NQ = \dfrac{1}{2}FC\)
\(\begin{array}{l}{S_{\Delta MEH}} = \dfrac{1}{2}MP.EH = \dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{2}BE.EH = \dfrac{1}{2}{S_{\Delta HBE}}\\{S_{\Delta HNF}} = \dfrac{1}{2}NQ.HF = \dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{2}CF.HF = \dfrac{1}{2}{S_{\Delta HCF}}\\{S_{\Delta H{\rm{EF}}}} = \dfrac{1}{2}{S_{AEHF}}\\ \Rightarrow {S_{EMNF}} = \dfrac{1}{2}\left( {{S_{\Delta HBE}} + {S_{\Delta HCF}} + {S_{AEHF}}} \right) \\= \dfrac{1}{2}{S_{\Delta ABC}} = \dfrac{1}{2}\,.\dfrac{1}{2}.AB.AC = \dfrac{1}{4}.6.8 = 12\,\,\left( {c{m^2}} \right).\end{array}\)
Cho hình bình hành $ABCD$ có \(CD = 4cm\) , đường cao vẽ từ $A$ đến cạnh $CD$ bằng $3cm.$ Gọi $M$ là trung điểm của $AB.$ $DM$ cắt $AC$ tại $N.$
Tính diện tích hình bình hành $ABCD$, diện tích tam giác \(ADM.\)
-
A
\({S_{ABCD}} = 12c{m^2};{S_{ADM}} = 3c{m^2}\)
-
B
\({S_{ABCD}} = 12c{m^2};{S_{ADM}} = 6c{m^2}\)
-
C
\({S_{ABCD}} = 24c{m^2};{S_{ADM}} = 3c{m^2}\)
-
D
\({S_{ABCD}} = 24c{m^2};{S_{ADM}} = 6c{m^2}\)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : A
Sử dụng công thức tính diện tích hình bình hành bằng tích chiều cao với đáy, diện tích tam giác bằng nửa tích chiều cao với cạnh đáy tương ứng.
+) \({S_{ABCD}} = AH.CD = 4.3 = 12\left( {c{m^2}} \right)\)
+) Vì $M$ là trung điểm của $AB$ nên \(AM = \dfrac{1}{2}AB = \dfrac{1}{2}.4 = 2(cm)\)
Ta có chiều cao từ đỉnh $D$ đến cạnh $AM$ của tam giác $ADM$ bằng chiều cao $AH$ của hình bình hành.
\( \Rightarrow {S_{ADM}} = \dfrac{1}{2}AH.AM = \dfrac{1}{2}.3.2 = 3\left( {c{m^2}} \right)\)
Tính diện tích tam giác $AMN.$
-
A
\(4c{m^2}\)
-
B
\(10c{m^2}\)
-
C
\(2c{m^2}\)
-
D
\(1c{m^2}\)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : D
+ Sử dụng tính chất đường trung tuyến của tam giác.
+ Chỉ ra rằng \(NM = \dfrac{{DM}}{3}\) .
+ Tính diện tích tam giác \(AMN\) dựa vào diện tích tam giác \(ADM.\)
Tứ giác $ABCD$ là hình bình hành nên $AC$ và $BD$ cắt nhau tại trung điểm $O$ của mỗi đường.
Xét tam giác $ABD$ ta có: $AO$ và $DM$ là hai đường trung tuyến của tam giác.
Mà \(AO \cap DM = \left\{ N \right\} \Rightarrow \) $N$ là trọng tâm tam giác $ADB.$
\( \Rightarrow AN = \dfrac{2}{3}DM\) (tính chất đường trung tuyến của tam giác)
Suy ra \(NM = \dfrac{{DM}}{3}\) .
+) Hai tam giác $AMN$ và $ADM$ có cùng đường cao hạ từ A nên \(\dfrac{{{S_{AMN}}}}{{{S_{ADM}}}} = \dfrac{{MN}}{{DM}} = \dfrac{1}{3}\)
Mà theo câu trước \({S_{\Delta ADM}} = 3\,c{m^2}\)
\( \Rightarrow {S_{AMN}} = \dfrac{1}{3}{S_{ADM}} = \dfrac{1}{3}.3 = 1\left( {c{m^2}} \right)\)
Cho hình bình hành $ABCD$ có \(\widehat B = {120^0},AB = 2BC.\) Gọi $I$ là trung điểm của $CD,{\rm{ }}K$ là trung điểm của $AB.$ Biết chu vi hình bình hành $ABCD$ bằng $60cm.$ Tính diện tích hình bình hành $ABCD.$
-
A
\(100\sqrt 3 c{m^2}\)
-
B
\(100c{m^2}\)
-
C
\(200\sqrt 3 c{m^2}\)
-
D
\(200c{m^2}\)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : A
+) Kẻ $BH$ là đường cao ứng với cạnh $CD$ của hình bình hành $ABCD$\( \Rightarrow {S_{ABCD}} = BH.CD.\)
Kẻ $BH$ là đường cao ứng với cạnh $CD$ của hình bình hành $ABCD$\( \Rightarrow {S_{ABCD}} = BH.CD.\)
Theo đề bài ta có chu vi hình bình hành $ABCD$ bằng \(60cm.\)
\( \Rightarrow 2\left( {AB + BC} \right) = 60 \Leftrightarrow 2.3BC = 60 \Leftrightarrow BC = 10cm.\)
Xét tứ giác $KICB$ ta có: \(IC = BC = KB = IK = \dfrac{1}{2}AB=10cm\)
\( \Rightarrow IKBC\) là hình thoi. (dấu hiệu nhận biết).
Mà \(\widehat B = {120^0} \Rightarrow \widehat {ICB} = {180^0} - {120^0} = {60^0}.\)
Xét tam giác ICB có: \(\left\{ \begin{array}{l}IC = BC\\\widehat {ICB} = {60^0}\end{array} \right. \Rightarrow ICB\) là tam giác đều. (tam giác cân có góc ở đỉnh bằng \({60^0}\)).
\( \Rightarrow BH\) vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến ứng hay H là trung điểm của IC.
\( \Rightarrow HI = HC = \dfrac{1}{2}BC = 5cm.\)
Áp dụng định lý Pi-ta-go với tam giác vuông HBC ta có:
$BH = \sqrt {B{C^2} - H{C^2}} = \sqrt {{{10}^2} - {5^2}} = \sqrt {75} = 5\sqrt 3 \,cm.$
$ \Rightarrow {S_{ABCD}} = BH.AB = BH.2BC = 5\sqrt 3 .2.10 = 100\sqrt 3 c{m^2}.$
Tam giác $ABC$ có hai trung tuyến $AM$ và $BN$ vuông góc với nhau. Hãy tính diện tích tam giác đó theo hai cạnh $AM$ và $BN.$
-
A
\({S_{ABC}} = AM.BN\)
-
B
\({S_{ABC}} = \dfrac{3}{2}AM.BN\)
-
C
\({S_{ABC}} = \dfrac{1}{2}AM.BN\)
-
D
\({S_{ABC}} = \dfrac{2}{3}AM.BN\)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : D
$ABMN$ là tứ giác có hai đường chéo $AM$ và $BN$ vuông góc nên có diện tích bằng nửa tích hai đường chéo
Tính diện tích tam giác $ABC$ thông qua diện tích của tứ giác $ABMN$
Ta có $ABMN$ là tứ giác có hai đường chéo $AM$ và $BN$ vuông góc nên có diện tích là: \({S_{ABMN}} = \dfrac{1}{2}AB.MN\)
Hai tam giác $AMC$ và $ABC$ có chung đường cao hạ từ $A$ nên \(\dfrac{{{S_{AMC}}}}{{{S_{ABC}}}} = \dfrac{{MC}}{{BC}} = \dfrac{1}{2}\)\( \Rightarrow {S_{AMC}} = \dfrac{1}{2}{S_{ABC}}\,(1)\)
Hai tam giác $AMN$ và $AMC$ có chung đường cao hạ từ $M$ nên \(\dfrac{{{S_{AMN}}}}{{{S_{AMC}}}} = \dfrac{{AN}}{{AC}} = \dfrac{1}{2}\)\( \Rightarrow {S_{AMN}} = \dfrac{1}{2}{S_{AMC}}\,(2)\)
Từ (1) và (2) suy ra \({S_{AMN}} = \dfrac{1}{4}{S_{ABC}}\,\)
Hai tam giác $AMB$ và $ABC$ có chung đường cao hạ từ $A$ nên \(\dfrac{{{S_{AMB}}}}{{{S_{ABC}}}} = \dfrac{{MB}}{{BC}} = \dfrac{1}{2}\)\( \Rightarrow {S_{AMB}} = \dfrac{1}{2}{S_{ABC}}\,\)
Ta có: \({S_{ABMN}} = {S_{AMN}} + {S_{ABM}} = \dfrac{1}{4}{S_{ABC}} + \dfrac{1}{2}{S_{ABC}} = \dfrac{3}{4}{S_{ABC}}\)
\( \Rightarrow {S_{ABC}} = \dfrac{4}{3}{S_{ABMN}} = \dfrac{4}{3}.\dfrac{1}{2}.AM.BN = \dfrac{2}{3}AM.BN\)