Cho \(\Delta ABC\), em hãy chọn đáp án sai trong các đáp án sau:
-
A
\(AB + BC > AC\)
-
B
\(BC - AB < AC\)
-
C
\(BC - AB < AC < BC + AB\)
-
D
\(AB - AC > BC\).
Đáp án của giáo viên lời giải hay : D
Áp dụng bất đẳng thức tam giác.
Vì trong một tam giác tổng độ dài hai cạnh bất kì lớn hơn độ dài cạnh còn lại và hiệu độ dài hai cạnh bất kì nhỏ hơn độ dài cạnh còn lại nên các đáp án A, B, C đều đúng, đáp án D sai.
Dựa vào bất đẳng thức tam giác, kiểm tra xem bộ ba nào trong các bộ ba đoạn thẳng có độ dài cho sau đây không thể là ba cạnh của một tam giác.
-
A
$3cm,5cm,7cm$
-
B
$4cm,5cm,6cm$
-
C
$2cm,5cm,7cm$
-
D
$3cm,6cm,5cm.$
Đáp án của giáo viên lời giải hay : C
Ta kiểm tra tổng độ dài 2 đoạn thẳng ngắn hơn có lớn hơn độ dài đoạn thẳng dài nhất hay không. Nếu thỏa mãn thì 3 đoạn thẳng đã cho ghép được thành 1 tam giác.
+ Xét bộ ba: $3cm,5cm,7cm.$ Ta có: \(3 + 5 = 8 > 7\) (thỏa mãn bất đẳng thức tam giác) nên bộ ba $3cm,5cm,7cm$ lập thành một tam giác. Loại đáp án A.
+ Xét bộ ba: $4cm,5cm,6cm$. Ta có: \(4 + 5 = 9 > 6\) (thỏa mãn bất đẳng thức tam giác) nên bộ ba $4cm,5cm,6cm$ lập thành một tam giác. Loại đáp án B.
+ Xét bộ ba: $2cm,5cm,7cm.$ Ta có: \(2 + 5 = 7\) (không thỏa mãn bất đẳng thức tam giác) nên bộ ba $2cm,5cm,7cm$ không lập thành một tam giác. Chọn đáp án C.
+ Xét bộ ba: $3cm,5cm,6cm.$ Ta có: \(3 + 5 = 8 > 6\) (thỏa mãn bất đẳng thức tam giác) nên bộ ba $3cm,5cm,6cm$ lập thành một tam giác. Loại đáp án D.
Cho \(\Delta ABC\) có cạnh $AB = 2cm$ và cạnh \(BC = 6cm\). Tính độ dài cạnh $AC$ biết độ dài cạnh $AC$ là một số tự nhiên chẵn.
-
A
$2cm$
-
B
$3cm$
-
C
$4cm$
-
D
$6cm.$
Đáp án của giáo viên lời giải hay : D
Sử dụng bất đẳng thức tam giác: Trong một tam giác, độ dài của một cạnh luôn nhỏ hơn tổng độ dài hai cạnh còn lại và lớn hơn hiệu độ dài 2 cạnh còn lại: b – c < a < b + c ( với a, b, c là độ dài 3 cạnh của tam giác)
Kết hợp điều kiện độ dài cạnh CA là số nguyên chẵn
Theo bất đẳng thức tam giác ta có:
\(6 - 2 < AC< 6 + 2 \Leftrightarrow 4 < AC < 8\). Vì độ dài $AC$ là số tự nhiên chẵn nên $AC = 6cm.$
Vậy độ dài cạnh $AC = 6cm.$
Cho \(\Delta ABC\) cân tại \(A\) có một cạnh bằng $5cm.$ Tính cạnh $BC$ của tam giác đó biết chu vi của tam giác là $17cm.$
-
A
\(BC = 7\,cm\) hoặc \(BC = 5\,cm.\)
-
B
\(BC = 7\,cm\)
-
C
\(BC = 5\,cm.\)
-
D
$BC = 6\,cm.$
Đáp án của giáo viên lời giải hay : A
- Áp dụng tính chất tam giác cân.
- Áp dụng bất đẳng thức tam giác: Trong một tam giác, tổng độ dài hai cạnh bất kì lớn hơn độ dài cạnh còn lại.
Giả sử \(\Delta ABC\) cân tại $A.$
- Trường hợp 1:
\(AB = AC = 5cm \Rightarrow BC = 17 - 5 - 5 = 7cm.\)
Ta có: \(AB + AC = 5 + 5 = 10 > BC = 7cm\) (thỏa mãn bất đẳng thức tam giác)
- Trường hợp 2: \(BC = 5cm \Rightarrow AB = AC = \left( {17 - 5} \right):2 = 6cm\)
Ta có: \(AB + BC = 5 + 6 = 11 > AC = 6cm\) (thỏa mãn bất đẳng thức tam giác)
Vậy nếu \(\Delta ABC\) cân tại A có \(\left[ \begin{array}{l}AB = AC = 5cm \Rightarrow BC = 7cm\\BC = 5cm \Rightarrow AB = AC = 6cm\end{array} \right.\)
Vậy \(BC = 7\,cm\) hoặc \(BC = 5\,cm.\)
Cho \(\Delta ABC\) cân tại \(A\) có một cạnh bằng $5cm.$ Tính cạnh $BC$ của tam giác đó biết chu vi của tam giác là $17cm.$
-
A
\(BC = 7\,cm\) hoặc \(BC = 5\,cm.\)
-
B
\(BC = 7\,cm\)
-
C
\(BC = 5\,cm.\)
-
D
$BC = 6\,cm.$
Đáp án của giáo viên lời giải hay : A
- Áp dụng tính chất tam giác cân.
- Áp dụng bất đẳng thức tam giác: Trong một tam giác, tổng độ dài hai cạnh bất kì lớn hơn độ dài cạnh còn lại.
Giả sử \(\Delta ABC\) cân tại $A.$
- Trường hợp 1:
\(AB = AC = 5cm \Rightarrow BC = 17 - 5 - 5 = 7cm.\)
Ta có: \(AB + AC = 5 + 5 = 10 > BC = 7cm\) (thỏa mãn bất đẳng thức tam giác)
- Trường hợp 2: \(BC = 5cm \Rightarrow AB = AC = \left( {17 - 5} \right):2 = 6cm\)
Ta có: \(AB + BC = 5 + 6 = 11 > AC = 6cm\) (thỏa mãn bất đẳng thức tam giác)
Vậy nếu \(\Delta ABC\) cân tại A có \(\left[ \begin{array}{l}AB = AC = 5cm \Rightarrow BC = 7cm\\BC = 5cm \Rightarrow AB = AC = 6cm\end{array} \right.\)
Vậy \(BC = 7\,cm\) hoặc \(BC = 5\,cm.\)
Cho \(\Delta ABC\) có $M$ là trung điểm $BC.$ So sánh $AB + AC$ và $2AM.$
-
A
\(AB + AC < 2AM\)
-
B
\(AB + AC > 2AM\)
-
C
\(AB + AC = 2AM\)
-
D
\(AB + AC \le 2AM\).
Đáp án của giáo viên lời giải hay : B
- Trên tia đối của tia $MA$ lấy điểm $N$ sao cho $MN = MA.$
- Áp dụng bất đẳng thức tam giác: Trong một tam giác, tổng độ dài hai cạnh bất kì lớn hơn độ dài cạnh còn lại.
Trên tia đối của tia $MA$ lấy điểm $N$ sao cho $MN = MA.$
Vì $M$ là trung điểm của $BC$ (gt) \( \Rightarrow MB = MC\) (tính chất trung điểm)
Xét \(\Delta MAB\) và \(\Delta MNC\) có:
\(MB = MC\left( {cmt} \right)\)
\(\widehat {AMB} = \widehat {NMC}\) (đối đỉnh)
\(AM = MN\left( {gt} \right)\)
\( \Rightarrow \Delta MAB = \Delta MNC\left( {c - g - c} \right)\) \( \Rightarrow NC = AB\left( 1 \right)\) (2 cạnh tương ứng)
Xét \(\Delta ACN\) có: \(AN < AC + CN\left( 2 \right)\) (bất đẳng thức tam giác)
Từ \(\left( 1 \right)\left( 2 \right) \Rightarrow AN < AC + AB\).
Mặt khác, \(AN = 2AM\left( {gt} \right) \Rightarrow 2AM < AB + AC.\)
Cho \(\Delta ABC\) có điểm $O$ là một điểm bất kì nằm trong tam giác. So sánh \(OA + OC\) và \(AB + BC\).
-
A
\(OA + OC < BA + BC\)
-
B
\(OA + OC > BA + BC\)
-
C
\(OA + OC = BA + BC\)
-
D
\(OA + OC \ge BA + BC\).
Đáp án của giáo viên lời giải hay : A
- Gọi giao điểm của $AO$ và $BC$ là $D.$
- Áp dụng bất đẳng thức tam giác: Trong một tam giác, tổng độ dài hai cạnh bất kì lớn hơn độ dài cạnh còn lại.
Gọi giao điểm của $AO$ và $BC$ là $D.$ Do $O$ nằm trong \(\Delta ABC\) nên $D$ nằm giữa $B$ và $C$\( \Rightarrow BC = BD + DC\left( * \right)\)
Xét \(\Delta ABD\) có: \(AD < AB + BD\) (bất đẳng thức tam giác)
\( \Rightarrow OA + OD < AB + BD\left( 1 \right)\)
Xét \(\Delta OCD\) có: \(OC < OD + DC\left( 2 \right)\) (bất đẳng thức tam giác)
Cộng vế với vế của \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) ta được:
\(OA + OD + OC < AB + BD + OD + DC\) \( \Rightarrow OA + OC < AB + BD + DC\left( {**} \right)\)
Từ \(\left( * \right)\) và \(\left( {**} \right)\) ta có: \(OA + OC < AB + BC.\)
Cho hình vẽ dưới đây. Chọn câu đúng.
-
A
$AB + BC + CD + DA < AC + BD$
-
B
$AB + BC + CD + DA < 2\left( {AC + BD} \right)$
-
C
$AB + BC + CD + DA > 2\left( {AC + BD} \right)$
-
D
$AB + BC + CD + DA = 2\left( {AC + BD} \right)$
Đáp án của giáo viên lời giải hay : B
Sử dụng quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác: Trong một tam giác, độ dài của một cạnh bao giờ cũng lớn hơn hiệu và nhỏ hơn tổng các độ dài của hai cạnh kia.
Áp dụng quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác:
Xét tam giác \(AED\) có \(AE + ED > AD\,\,\,\left( 1 \right)\)
Xét tam giác \(ECD\) có \(CE + DE > CD\,\,\left( 2 \right)\)
Xét tam giác \(EBC\) có \(EB + EC > BC\,\left( 3 \right)\)
Xét tam giác \(ABE\) có \(AE + EB > AB\,\,\,\left( 4 \right)\)
Từ \(\left( 1 \right);\left( 2 \right);\left( 3 \right);\left( 4 \right)\) ta có \(AE + DE + CE + DE + BE + CE + AE + BE > AD + CD + BC + AB\)
Mà \(AE + EC = AC;\,DE + BE = BD\) nên \(2\left( {AC + BD} \right) > AB + BC + CD + DA\) .
Cho tam giác \(ABC\) điểm \(M\) nằm trong tam giác. Chọn câu đúng.
-
A
$MA + MB < AC + BC$
-
B
$MA + MB > AC + BC$
-
C
$MA + MB = AC + BC$
-
D
$MA + MB < \dfrac{{AC + BC}}{2}$
Đáp án của giáo viên lời giải hay : A
+ Kéo dài \(BM\) cắt \(AC\) tại \(E\) .
+ Sử dụng quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác: Trong một tam giác, độ dài của một cạnh bao giờ cũng lớn hơn hiệu và nhỏ hơn tổng các độ dài của hai cạnh kia.
Từ đó suy ra mối quan hệ cần tìm.
Kéo dài \(BM\) cắt \(AC\) tại \(E\) .
Xét tam giác \(BEC\) có \(BE < EC + BC\) và xét tam giác \(AME\) có \(MA < ME + EA\) (quan hệ giữa các cạnh trong tam giác)
Suy ra \(MA + MB < ME + MB + EA\)\( < BE + EA < EC + BC + EA\) mà $EC+EA=AC$
nên \(MA + MB < AC + CB\) .
Cho \(\Delta ABC\) có \(D\) là trung điểm của \(BC\). Trong các khẳng định sau khẳng định nào đúng?
-
A
\(AD\) bằng nửa chu vi của tam giác \(ABC\).
-
B
\(AD\) nhỏ hơn nửa chu vi của tam giác \(ABC\).
-
C
\(AD\) lớn hơn chu vi của tam giác \(ABC\).
-
D
\(AD\) lớn hơn nửa chu vi của tam giác \(ABC\).
Đáp án của giáo viên lời giải hay : B
- Nối đoạn thẳng AD.
- Áp dụng bất đẳng thức tam giác chứng minh: \(AD < AC + CD\), \(AD < AB + DB\). Từ đó lập luận suy ra điều phải chứng minh.
Nối đoạn thẳng AD.
Xét \(\Delta ADC\) có: \(AD < AC + CD\) (bất đẳng thức tam giác) (1)
Xét \(\Delta ADB\) có: \(AD < AB + DB\) (bất đẳng thức tam giác) (2)
Vì \(D\) là trung điểm của \(BC\) (gt) nên \(D\) nằm giữa \(B\) và \(C\) ta có: \(CD + DB = BC.\)
Cộng vế với vế của (1) và (2), ta được:
\(\begin{array}{l}AD + AD < AC + CD + AB + DB\\ \Rightarrow 2AD < AB + \left( {CD + DB} \right) + AC\\ \Rightarrow 2AD < AB + BC + AC\\ \Rightarrow AD < \dfrac{{AB + BC + AC}}{2}\end{array}\)
Do đó \(AD\) nhỏ hơn nửa chu vi của tam giác \(ABC\).