Biến đổi biểu thức \(\dfrac{{1 + \dfrac{1}{x}}}{{x - \dfrac{1}{x}}}\) thành biểu thức đại số
-
A
\(\dfrac{1}{{x + 1}}\).
-
B
\(x + 1\).
-
C
\(x - 1\).
-
D
\(\dfrac{1}{{x - 1}}\).
Đáp án của giáo viên lời giải hay : D
Ta sử dụng các quy tắc cộng, trừ, nhân, chia các phân thức để biến đổi một biểu thức hữu tỉ thành phân thức.
Ta có \(\dfrac{{1 + \dfrac{1}{x}}}{{x - \dfrac{1}{x}}}\)\( = \dfrac{{\dfrac{{x + 1}}{x}}}{{\dfrac{{{x^2} - 1}}{x}}}\) \( = \dfrac{{x + 1}}{x}:\dfrac{{{x^2} - 1}}{x} = \dfrac{{x + 1}}{x}.\dfrac{x}{{{x^2} - 1}} = \dfrac{{x + 1}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}} = \dfrac{1}{{x - 1}}\) .
Biểu thức \(\dfrac{{x + \dfrac{1}{{{x^2}}}}}{{1 - \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{{{x^2}}}}}\) được biến đổi thành phân thức đại số là
-
A
\(\dfrac{1}{{x + 1}}\).
-
B
\(x + 1\).
-
C
\(x - 1\).
-
D
\(\dfrac{1}{{x - 1}}\).
Đáp án của giáo viên lời giải hay : B
Ta sử dụng các quy tắc cộng, trừ, nhân, chia các phân thức để biến đổi một biểu thức hữu tỉ thành phân thức.
Ta có \(\dfrac{{x + \dfrac{1}{{{x^2}}}}}{{1 - \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{{{x^2}}}}}\)\( = \dfrac{{\dfrac{{{x^3}}}{{{x^2}}} + \dfrac{1}{{{x^2}}}}}{{\dfrac{{{x^2}}}{{{x^2}}} - \dfrac{x}{{{x^2}}} + \dfrac{1}{{{x^2}}}}} = \dfrac{{\dfrac{{{x^3} + 1}}{{{x^2}}}}}{{\dfrac{{{x^2} - x + 1}}{{{x^2}}}}}\) \( = \dfrac{{{x^3} + 1}}{{{x^2}}}:\dfrac{{{x^2} - x + 1}}{{{x^2}}} = \dfrac{{{x^3} + 1}}{{{x^2}}}.\dfrac{{{x^2}}}{{{x^2} - x + 1}}\)
\( = \dfrac{{\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} - x + 1} \right)}}{{{x^2} - x + 1}} = x + 1\) .
Chọn khẳng định đúng.
-
A
\(\left( {\dfrac{1}{{{x^2} + 4x + 4}} - \dfrac{1}{{{x^2} - 4x + 4}}} \right):\left( {\dfrac{1}{{x + 2}} + \dfrac{1}{{x - 2}}} \right)\)\( = \dfrac{{ - 4}}{{{x^2} - 4}}\)
-
B
\(\left( {\dfrac{1}{{{x^2} + 4x + 4}} - \dfrac{1}{{{x^2} - 4x + 4}}} \right):\left( {\dfrac{1}{{x + 2}} + \dfrac{1}{{x - 2}}} \right) = \dfrac{4}{{{x^2} - 4}}\).
-
C
\(\left( {\dfrac{1}{{{x^2} + 4x + 4}} - \dfrac{1}{{{x^2} - 4x + 4}}} \right):\left( {\dfrac{1}{{x + 2}} + \dfrac{1}{{x - 2}}} \right) = \dfrac{8}{{{x^2} - 4}}\).
-
D
\(\left( {\dfrac{1}{{{x^2} + 4x + 4}} - \dfrac{1}{{{x^2} - 4x + 4}}} \right):\left( {\dfrac{1}{{x + 2}} + \dfrac{1}{{x - 2}}} \right) = \dfrac{{ - 8}}{{{x^2} - 4}}\).
Đáp án của giáo viên lời giải hay : A
Ta sử dụng các quy tắc cộng, trừ, nhân, chia các phân thức để rút gọn biểu thức.
Ta có \(\left( {\dfrac{1}{{{x^2} + 4x + 4}} - \dfrac{1}{{{x^2} - 4x + 4}}} \right):\left( {\dfrac{1}{{x + 2}} + \dfrac{1}{{x - 2}}} \right)\)\( = \left( {\dfrac{1}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} - \dfrac{1}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}} \right):\left( {\dfrac{{x - 2 + x + 2}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}} \right)\)
$ = \dfrac{{{x^2} - 4x + 4 - \left( {{x^2} + 4x + 4} \right)}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}.\dfrac{{\left( {x + 2} \right)\left( {x - 2} \right)}}{{2x}}$\( = \dfrac{{ - 8x}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}.\dfrac{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}{{2x}} = \dfrac{{ - 4}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {x - 2} \right)}} = \dfrac{{ - 4}}{{{x^2} - 4}}\)
Biết \(A = \left( {\dfrac{1}{{{x^2} + x}} - \dfrac{{2 - x}}{{x + 1}}} \right):\left( {\dfrac{1}{x} + x - 2} \right) = \dfrac{{...}}{{x + 1}}\) . Điền biểu thức thích hợp vào chỗ trống
-
A
\(\dfrac{1}{{x + 1}}\).
-
B
\(x + 1\).
-
C
\(x\).
-
D
\(1\).
Đáp án của giáo viên lời giải hay : D
Ta sử dụng các quy tắc cộng, trừ, nhân, chia các phân thức để để rút gọn biểu thức.
Ta có \(A = \left( {\dfrac{1}{{{x^2} + x}} - \dfrac{{2 - x}}{{x + 1}}} \right):\left( {\dfrac{1}{x} + x - 2} \right)\)\( = \left( {\dfrac{1}{{x\left( {x + 1} \right)}} - \dfrac{{x\left( {2 - x} \right)}}{{x\left( {x + 1} \right)}}} \right):\left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{{{x^2}}}{x} - \dfrac{{2x}}{x}} \right)\) \( = \dfrac{{1 - 2x + {x^2}}}{{x\left( {x + 1} \right)}}:\dfrac{{1 + {x^2} - 2x}}{x}\)
\( = \dfrac{{{x^2} - 2x + 1}}{{x\left( {x + 1} \right)}}.\dfrac{x}{{{x^2} - 2x + 1}} = \dfrac{1}{{x + 1}}\) .
Vậy số cần điền là \(1\) .
Cho phân thức \(\dfrac{{{x^2} - 4x + 4}}{{x - 2}}\)
Tìm điều kiện của \(x\) để phân thức xác định.
-
A
\(x = 2\).
-
B
\(x \ne 2\).
-
C
\(x > 2\).
-
D
\(x < 2\).
Đáp án của giáo viên lời giải hay : B
Phân thức \(\dfrac{A}{B}\) xác định khi \(B \ne 0\) .
Phân thức \(\dfrac{{{x^2} - 4x + 4}}{{x - 2}}\) xác định khi \(x - 2 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne 2\) .
Tính giá trị biểu thức khi \(x = 2020\) .
-
A
\(2018\).
-
B
\(2022\).
-
C
\(2016\).
-
D
\(2024\).
Đáp án của giáo viên lời giải hay : A
Bước 1: Rút gọn biểu thức
Bước 2: Thay \(x = 2020\) vào biểu thức rồi tính.
Ta có \(\dfrac{{{x^2} - 4x + 4}}{{x - 2}}\)\( = \dfrac{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}{{x - 2}} = x - 2\)
Thay \(x = 2020\) (thỏa mãn điều kiện \(x \ne 2\) ) vào biểu thức \(x - 2\) ta được \(2020 - 2 = 2018\) .
Vậy với \(x = 2020\) thì giá trị biểu thức là \(2018\) .
Cho biểu thức \(B = \left( {\dfrac{1}{{x - 2}} - \dfrac{{2x}}{{4 - {x^2}}} + \dfrac{1}{{2 + x}}} \right).\left( {\dfrac{2}{x} - 1} \right)\)
Với giá trị nào của \(x\) thì \(B\) xác định.
-
A
\(x \ne \left\{ {0;2} \right\}\).
-
B
\(x \ne \left\{ { - 2;0;2} \right\}\).
-
C
\(x \ne \left\{ { - 2;2} \right\}\).
-
D
\(x \ne \left\{ {0; - 2} \right\}\).
Đáp án của giáo viên lời giải hay : B
Phân thức \(\dfrac{A}{B}\) xác định khi \(B \ne 0\) .
Phân thức \(B = \left( {\dfrac{1}{{x - 2}} - \dfrac{{2x}}{{4 - {x^2}}} + \dfrac{1}{{2 + x}}} \right):\left( {\dfrac{2}{x} - 1} \right)\) xác định khi
\(\left\{ \begin{array}{l}x - 2 \ne 0\\4 - {x^2} \ne 0\\2 + x \ne 0\\x \ne 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne 2\\x \ne - 2\\x \ne 0\\{x^2} \ne 4\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne 2\\x \ne - 2\\x \ne 0\end{array} \right.\) .
Rút gọn \(B\) ta được:
-
A
\(B = \dfrac{{ - 1}}{{x + 2}}\).
-
B
\(B = \dfrac{1}{{x + 2}}\).
-
C
\(B = \dfrac{4}{{x + 2}}\).
-
D
\(B = \dfrac{{ - 4}}{{x + 2}}\).
Đáp án của giáo viên lời giải hay : D
Ta sử dụng các quy tắc cộng, trừ, nhân, chia các phân thức và các hằng đẳng thức để rút gọn biểu thức.
Phân thức \(B = \left( {\dfrac{1}{{x - 2}} - \dfrac{{2x}}{{4 - {x^2}}} + \dfrac{1}{{2 + x}}} \right).\left( {\dfrac{2}{x} - 1} \right)\)
\( = \left( {\dfrac{1}{{x - 2}} + \dfrac{{2x}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} + \dfrac{1}{{x + 2}}} \right).\left( {\dfrac{{2 - x}}{x}} \right)\)
$ = \left( {\dfrac{{x + 2}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} + \dfrac{{2x}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} + \dfrac{{x - 2}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}} \right).\left[ {\dfrac{{ - \left( {x - 2} \right)}}{x}} \right]$
\( = \dfrac{{x + 2 + 2x + x - 2}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}.\dfrac{{\left[ { - \left( {x - 2} \right)} \right]}}{x}\)
$ = \dfrac{{4x}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}.\dfrac{{\left[ { - \left( {x - 2} \right)} \right]}}{x} = \dfrac{{ - 4}}{{x + 2}}$
Vậy \(B = \dfrac{{ - 4}}{{x + 2}}\) .
Tìm \(x\) để \(B = \dfrac{1}{2}\) .
-
A
\(x = 10\).
-
B
\(x = - 10\).
-
C
\(x = - 6\).
-
D
\(x = 6\).
Đáp án của giáo viên lời giải hay : B
Bước 1: Sử dụng kết quả câu trước \(B = \dfrac{{ - 4}}{{x + 2}}\) sau đó cho \(B = \dfrac{1}{2}\) , quy đồng mẫu rồi tìm \(x\) .
Bước 2: So sánh điều kiện xác định rồi kết luận.
Theo câu trước ta có \(B = \dfrac{{ - 4}}{{x + 2}}\) với \(x \ne \left\{ { - 2;0;2} \right\}\).
Ta có \(B = \dfrac{1}{2}\) \( \Leftrightarrow \) \(\dfrac{{ - 4}}{{x + 2}} = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow \dfrac{{ - 8}}{{2\left( {x + 2} \right)}} = \dfrac{{x + 2}}{{2\left( {x + 2} \right)}} \Rightarrow x + 2 = - 8 \Leftrightarrow x = - 10\,\left( {TM} \right)\).
Vậy \(x = - 10\) .
Tìm \(x\) để \(B\) dương.
-
A
\(x = 2\).
-
B
\(x < - 2\).
-
C
\(x > - 2\).
-
D
\(x < 2\).
Đáp án của giáo viên lời giải hay : B
Bước 1: Sử dụng kết quả các câu trước ta có \(B = \dfrac{{ - 4}}{{x + 2}}\). Đánh giá tử số rồi suy ra điều kiện của mẫu số để \(B > 0\) , từ đó tìm \(x\) .
Bước 2: Kết hợp điều kiện rồi kết luận
Theo các câu trước ta có \(B = \dfrac{{ - 4}}{{x + 2}}\) với \(x \ne \left\{ { - 2;0;2} \right\}\).
Để \(B > 0 \Leftrightarrow \dfrac{{ - 4}}{{x + 2}} > 0\) mà \( - 4 < 0 \Rightarrow x + 2 < 0 \Leftrightarrow x < - 2\) .
Kết hợp điều kiện \(x \ne \left\{ { - 2;0;2} \right\}\) ta có \(x < - 2\) .
Cho \(C = \left( {\dfrac{{21}}{{{x^2} - 9}} - \dfrac{{x - 4}}{{3 - x}} - \dfrac{{x - 1}}{{3 + x}}} \right):\left( {1 - \dfrac{1}{{x + 3}}} \right)\) .
Rút gọn \(C\) ta được
-
A
\(C = \dfrac{3}{{x - 3}}\).
-
B
\(C = \dfrac{{ - 3}}{{x - 3}}\).
-
C
\(C = \dfrac{3}{{x + 3}}\).
-
D
\(C = - \dfrac{3}{{x + 3}}\).
Đáp án của giáo viên lời giải hay : A
Ta sử dụng các quy tắc cộng, trừ, nhân, chia các phân thức và các hằng đẳng thức để rút gọn biểu thức.
Ta có \(C = \left( {\dfrac{{21}}{{{x^2} - 9}} - \dfrac{{x - 4}}{{3 - x}} - \dfrac{{x - 1}}{{3 + x}}} \right):\left( {1 - \dfrac{1}{{x + 3}}} \right)\)
\( = \left[ {\dfrac{{21}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}} + \dfrac{{\left( {x - 4} \right)\left( {x + 3} \right)}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}} - \dfrac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 3} \right)}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}}} \right]:\left( {\dfrac{{x + 3 - 1}}{{x + 3}}} \right)\) Điều kiện: \(x \ne \pm 3\)
\( = \dfrac{{21 + {x^2} - x - 12 - {x^2} + 4x - 3}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}}:\dfrac{{x + 2}}{{x + 3}}\)
\( = \dfrac{{3x + 6}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}}.\dfrac{{x + 3}}{{x + 2}} = \dfrac{{3\left( {x + 2} \right)}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}}.\dfrac{{x + 3}}{{x + 2}}\)
\( = \dfrac{3}{{x - 3}}\). Vậy \(C = \dfrac{3}{{x - 3}}\) .
Tính giá trị biểu thức \(C\) tại \(x\) thỏa mãn \(\left| {2x + 1} \right| = 5\) .
-
A
\(C = - \dfrac{1}{2}\).
-
B
\(C = 3\).
-
C
\(C = - 3\).
-
D
\(C = 0\).
Đáp án của giáo viên lời giải hay : C
Bước 1: Từ điều kiện của giả thiết ta tìm \(x\) . So sánh với điều kiện để loại giá trị \(x\) không thỏa mãn điều kiện.
Bước 2: Thay \(x\) tìm được vào \(C = \dfrac{3}{{x - 3}}\) rồi tính.
Ta có \(\left| {2x + 1} \right| = 5\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x + 1 = 5\\2x + 1 = - 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = 4\\2x = - 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\left( {TM} \right)\\x = - 3\,\left( L \right)\end{array} \right.\)
Thay \(x = 2\) vào \(C = \dfrac{3}{{x - 3}}\) ta được \(C = \dfrac{3}{{2 - 3}} = - 3\) .
Cho \(P = \left( {\dfrac{x}{{x + 2}} - \dfrac{{{x^3} - 8}}{{{x^3} + 8}}.\dfrac{{{x^2} - 2x + 4}}{{{x^2} - 4}}} \right):\dfrac{4}{{x + 2}}\) .
Biểu thức rút gọn của \(P\) là
-
A
$P = \dfrac{{ - 1}}{{x + 2}}$.
-
B
$P = \dfrac{1}{{x + 2}}$.
-
C
$P = \dfrac{{ - 4}}{{x + 2}}$.
-
D
$P = \dfrac{4}{{x + 2}}$.
Đáp án của giáo viên lời giải hay : A
Ta sử dụng các quy tắc cộng, trừ, nhân, chia các phân thức và các hằng đẳng thức để rút gọn biểu thức.
Ta có \(P = \left( {\dfrac{x}{{x + 2}} - \dfrac{{{x^3} - 8}}{{{x^3} + 8}}.\dfrac{{{x^2} - 2x + 4}}{{{x^2} - 4}}} \right):\dfrac{4}{{x + 2}}\)
\( = \left( {\dfrac{x}{{x + 2}} - \dfrac{{\left( {x - 2} \right)\left( {{x^2} + 2x + 4} \right)}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {{x^2} - 2x + 4} \right)}}.\dfrac{{{x^2} - 2x + 4}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}} \right).\dfrac{{x + 2}}{4}\) ĐK: \(x \ne \pm 2\)
\( = \left( {\dfrac{x}{{x + 2}} - \dfrac{{{x^2} + 2x + 4}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}} \right).\dfrac{{x + 2}}{4}\) \( = \left[ {\dfrac{{x\left( {x + 2} \right) - {x^2} - 2x - 4}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}} \right].\dfrac{{x + 2}}{4}\)
\( = \dfrac{{ - 4}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}.\dfrac{{x + 2}}{4}\) \( = \dfrac{{ - 1}}{{x + 2}}\) .
Vậy $P = \dfrac{{ - 1}}{{x + 2}}$ .
Tìm \(x\) để \(P = \dfrac{1}{x}\) .
-
A
\(x = 2\).
-
B
\(x = 1\).
-
C
\(x = - 1\).
-
D
\(x = - 2\).
Đáp án của giáo viên lời giải hay : C
Bước 1: Sử dụng kết quả đã rút gọn $P$ ở câu trước. Cho \(P = \dfrac{1}{x}\) , quy đồng mẫu rồi tìm \(x\) .
Bước 2: So sánh điều kiện xác định rồi kết luận
Theo câu trước ta có $P = \dfrac{{ - 1}}{{x + 2}}$ với \(\left( {x \ne \pm 2;\,x \ne 0} \right)\)
Để \(P = \dfrac{1}{x}\)$ \Leftrightarrow \dfrac{{ - 1}}{{x + 2}} = \dfrac{1}{x}$ \(\left( {x \ne \pm 2;\,x \ne 0} \right)\)
\( \Leftrightarrow \dfrac{{ - x}}{{x\left( {x + 2} \right)}} = \dfrac{{x + 2}}{{x\left( {x + 2} \right)}}\) \( \Rightarrow - x = x + 2 \Leftrightarrow 2x = - 2 \Leftrightarrow x = - 1\,\left( {TM} \right).\)
Vậy \(x = - 1\) .
Cho \(M = \left( {\dfrac{{x + 1}}{{x - 1}} - \dfrac{{x - 1}}{{x + 1}}} \right):\dfrac{{4x}}{{3x - 3}}\) .
Rút gọn \(M\) ta được
-
A
\(M = \dfrac{{12}}{{x + 1}}\).
-
B
\(M = \dfrac{3}{{x + 1}}\).
-
C
\(M = \dfrac{{ - 3}}{{x + 1}}\).
-
D
\(M = \dfrac{3}{{x - 1}}\).
Đáp án của giáo viên lời giải hay : B
Ta sử dụng các quy tắc cộng, trừ, nhân, chia các phân thức và các hằng đẳng thức để rút gọn biểu thức.
Ta có \(M = \left( {\dfrac{{x + 1}}{{x - 1}} - \dfrac{{x - 1}}{{x + 1}}} \right):\dfrac{{4x}}{{3x - 3}}\) ĐK: \(x \ne \pm 1\)
\( = \left[ {\dfrac{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} - \dfrac{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}} \right]:\dfrac{{4x}}{{3\left( {x - 1} \right)}}\) \( = \dfrac{{{x^2} + 2x + 1 - {x^2} + 2x - 1}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}.\dfrac{{3\left( {x - 1} \right)}}{{4x}}\) \( = \dfrac{{4x}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}.\dfrac{{3\left( {x - 1} \right)}}{{4x}} = \dfrac{3}{{x + 1}}\) .
Vậy \(M = \dfrac{3}{{x + 1}}\) .
Tính \(M\) khi \(x = \dfrac{1}{2}\) .
-
A
\(M = 2\).
-
B
\(M = \dfrac{1}{2}\).
-
C
\(M = 3\).
-
D
\(M = \dfrac{1}{6}\).
Đáp án của giáo viên lời giải hay : A
Thay \(x = \dfrac{1}{2}\) vào \(M\) rồi tính.
Thay \(x = \dfrac{1}{2}\) (TMĐK) vào \(M = \dfrac{3}{{x + 1}}\) ta được \(M = \dfrac{3}{{\dfrac{1}{2} + 1}} = \dfrac{3}{{\dfrac{3}{2}}} = 3:\dfrac{3}{2} = 3.\dfrac{2}{3} = 2\) . Vậy với \(x = \dfrac{1}{2}\) thì \(M = 2\) .
Để \(M = - 1\) thì giá trị của \(x\) là
-
A
\(x = 2\).
-
B
\(x = 4\).
-
C
\(x = - 4\).
-
D
\(x = - 2\).
Đáp án của giáo viên lời giải hay : C
Bước 1: Cho \(M = - 1\) , quy đồng mẫu rồi tìm \(x\) .
Bước 2: So sánh điều kiện xác định rồi kết luận
Để \(M = - 1\) thì \(\dfrac{3}{{x + 1}} = - 1 \Leftrightarrow \dfrac{3}{{x + 1}} = \dfrac{{ - x - 1}}{{x + 1}} \Rightarrow - x - 1 = 3 \Leftrightarrow x = - 4\,\left( {TM} \right)\) .
Vậy \(x = - 4\) .
Có bao nhiêu \(x\) nguyên để \(M\) có giá trị nguyên.
-
A
\(2\)
-
B
\(3\)
-
C
\(4\)
-
D
\(1\)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : C
Bước 1: Để \(M = \dfrac{a}{B}\) có giá trị nguyên thì \(B \in \) Ư\(\left( a \right)\) . Từ đó tìm được $x$ .
Bước 2: So sánh điều kiện \(x \ne \pm 1\) rồi kết luận.
ĐK: \(x \ne \pm 1\)
\(M\) có giá trị nguyên nghĩa là \(\dfrac{3}{{x + 1}}\) có giá trị nguyên
Suy ra \(3 \vdots \left( {x + 1} \right) \Rightarrow \left( {x + 1} \right) \in \) Ư\(\left( 3 \right) = \left\{ { - 1;1; - 3;3} \right\}\) .
+ \(x + 1 = 1 \Leftrightarrow x = 0\,\left( {TM} \right)\)
+ \(x + 1 = - 1 \Leftrightarrow x = - 2\,\left( {TM} \right)\)
+ \(x + 1 = 3 \Leftrightarrow x = 2\,\left( {TM} \right)\)
+ \(x + 1 = - 3 \Leftrightarrow x = - 4\,\left( {TM} \right)\)
Vậy \(x \in \left\{ { - 4; - 2;2;0} \right\}\)
Cho \(E = \dfrac{{x{{\left( {1 - x} \right)}^2}}}{{1 + {x^2}}}:\left[ {\left( {\dfrac{{1 - {x^3}}}{{1 - x}} + x} \right).\left( {\dfrac{{1 + {x^3}}}{{1 + x}} - x} \right)} \right]\) . Chọn câu đúng.
-
A
\(E > 0\) với mọi \(x \pm 1\) .
-
B
\(E > 0\) với mọi \(x > 0;\,x \ne 1\)
-
C
\(E > 0\) với mọi \(x < 0\)
-
D
\(E < 0\) với mọi \(x > 0;\,x \ne 1\)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : B
Bước 1: Ta sử dụng các quy tắc cộng, trừ, nhân, chia các phân thức và các hằng đẳng thức để rút gọn biểu thức.
Bước 2: Đánh giá \(E\) để kết luận.
ĐK: \(x \pm 1\)
Ta có \(E = \dfrac{{x{{\left( {1 - x} \right)}^2}}}{{1 + {x^2}}}:\left[ {\left( {\dfrac{{1 - {x^3}}}{{1 - x}} + x} \right).\left( {\dfrac{{1 + {x^3}}}{{1 + x}} - x} \right)} \right]\)
\( = \dfrac{{x{{\left( {1 - x} \right)}^2}}}{{1 + {x^2}}}:\left[ {\left( {\dfrac{{\left( {1 - x} \right)\left( {1 + x + {x^2}} \right)}}{{1 - x}} + x} \right).\left( {\dfrac{{\left( {1 + x} \right)\left( {1 - x + {x^2}} \right)}}{{1 + x}} - x} \right)} \right]\)
\( = \dfrac{{x{{\left( {1 - x} \right)}^2}}}{{1 + {x^2}}}:\left[ {\left( {1 + 2x + {x^2}} \right).\left( {1 - 2x + {x^2}} \right)} \right]\)
\( = \dfrac{{x{{\left( {1 - x} \right)}^2}}}{{1 + {x^2}}}:\left[ {{{\left( {1 + x} \right)}^2}.{{\left( {1 - x} \right)}^2}} \right]\) \( = \dfrac{x}{{\left( {1 + {x^2}} \right){{\left( {1 + x} \right)}^2}}}\) .
Suy ra \(E = \dfrac{x}{{\left( {1 + {x^2}} \right){{\left( {1 +x} \right)}^2}}}\)
Ta thấy với \(x \pm 1\) thì \(1 + {x^2} \ge 1 > 0\) và \({\left( {1 + x} \right)^2} > 0\) nên \(\left( {1 + {x^2}} \right){\left( {1 + x} \right)^2} > 0\) .
Suy ra \(E = \dfrac{x}{{\left( {1 + {x^2}} \right){{\left( {1 + x} \right)}^2}}} > 0 \Rightarrow x > 0\) nên B đúng, A, C sai.
\(E = \dfrac{x}{{\left( {1 + {x^2}} \right){{\left( {1 + x} \right)}^2}}} < 0 \Rightarrow x < 0\) nên D sai.
Cho \(B = \dfrac{{x - 1}}{{x - 2}}\). Số giá trị của \(x \in Z\) để \(B \in \mathbb{Z}\) là:
-
A
3
-
B
0
-
C
2
-
D
-2
Đáp án của giáo viên lời giải hay : C
Sử dụng kiến thức biến đổi biểu thức hữu tỉ; tìm điều kiện để biểu thức có giá trị nguyên.
+) Tìm ĐKXĐ của B.
+) Tách B về dạng \(B = a + \dfrac{b}{{MS}},\,\,a,\,\,b \in Z.\)
+) Đề \(B \in Z\) thì \(\dfrac{b}{{MS}} \in Z \Leftrightarrow MS \in Ư\left( b \right).\)
+) Tìm Ư(b) sau đó lập bảng, giải phương trình tìm x.
+) Xét xem các giá trị của x có thỏa mãn ĐKXĐ của bài toán hay không rồi kết luận x.
ĐKXĐ: \(x \ne 2.\)
Ta có: \(B = \dfrac{{x - 1}}{{x - 2}} = 1 + \dfrac{1}{{x - 2}}\)
\(B = 1 + \dfrac{1}{{x - 2}} \in Z \Leftrightarrow \dfrac{1}{{x - 2}} \in Z \Leftrightarrow x - 2 \in Ư(1) = \left\{ { \pm 1} \right\}\).
Cho \(Q = \left[ {\dfrac{{{{(x - 1)}^2}}}{{3x + {{(x - 1)}^2}}} - \dfrac{{1 - 2{x^2} + 4x}}{{{x^3} - 1}} + \dfrac{1}{{x - 1}}} \right]:\dfrac{{3x}}{{{x^3} + x}}\).
Rút gọn \(Q\) ta được:
-
A
\(Q = \dfrac{{x + 1}}{3}\)
-
B
\(Q = \dfrac{{{x^2} + 1}}{{ - 3}}\)
-
C
\(Q = \dfrac{{{x^2} - 1}}{3}\)
-
D
\(Q = \dfrac{{{x^2} + 1}}{3}\)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : D
+) Tìm ĐKXĐ của biểu thức.
+) Sử dụng các bước biến đổi phân thức đã được học để rút gọn biểu thức.
ĐK: \(\left\{ \begin{array}{l}3x + {\left( {x - 1} \right)^2} \ne 0\\{x^3} - 1 \ne 0\\{x^3} + x \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne \pm 1\\x \ne 0\end{array} \right..\)
\(Q = \left[ {\dfrac{{{{(x - 1)}^2}}}{{3x + {{(x - 1)}^2}}} - \dfrac{{1 - 2{x^2} + 4x}}{{{x^3} - 1}} + \dfrac{1}{{x - 1}}} \right]:\dfrac{{3x}}{{{x^3} + x}}\)
\(= \left[ {\dfrac{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}{{3x + {x^2} - 2x + 1}} - \dfrac{{1 - 2{x^2} + 4x}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}} + \dfrac{1}{{x - 1}}} \right]:\dfrac{{3x}}{{x\left( {{x^2} + 1} \right)}}\)
\( = \left[ {\dfrac{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}{{{x^2} + x + 1}} + \dfrac{{2{x^2} - 4x - 1}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}} + \dfrac{1}{{x - 1}}} \right].\dfrac{{x({x^2} + 1)}}{{3x}}\)
\( = \dfrac{{{{(x - 1)}^3} + 2{x^2} - 4x - 1 + {x^2} + x + 1}}{{{x^3} - 1}}.\dfrac{{{x^2} + 1}}{3}\)\( = \dfrac{{{x^3} - 3x{}^2 + 3x - 1 + 2{x^2} - 4x - 1 + {x^2} + x + 1}}{{{x^3} - 1}}.\dfrac{{{x^2} + 1}}{3}\)\( = \dfrac{{{x^3} - 1}}{{{x^3} - 1}}.\dfrac{{{x^2} + 1}}{3} = \dfrac{{{x^2} + 1}}{3}\)
Vậy \(Q = \dfrac{{{x^2} + 1}}{3}\) với \(x \ne \pm 1;x \ne 0\).
Giá trị nhỏ nhất của \(Q\) với \(x \ge 2\) là:
-
A
\(\dfrac{4}{3}\)
-
B
\(\dfrac{1}{2}\)
-
C
\(\dfrac{5}{3}\)
-
D
\(1\)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : C
Sử dụng kết quả câu trước.
Đánh giá \({A^2} + m \ge m,\,\forall A\) , dấu “=” xảy ra khi \(A = 0.\)
Ta có: Q = \(\dfrac{{{x^2} + 1}}{3}\) với \(x \ne 0;x \ne \pm 1\).
Ta có: \({x^2} \ge 4\,\,\forall x \ge 2 \Rightarrow {x^2} + 1 \ge 5\,\,\forall x \ge 2\)\( \Rightarrow \dfrac{{{x^2} + 1}}{3} \ge \dfrac{5}{3} \,\,\forall x \ge 2\).
Dấu “=” xảy ra khi \(x = 2\left( {tm} \right)\).
Vậy \(Min\,\,Q = \dfrac{5}{3} \Leftrightarrow x = 2\).
Cho \(x;y;z \ne 0\) thỏa mãn \(x + y + z = 0\). Tính giá trị biểu thức:
\(A = \dfrac{{xy}}{{{x^2} + {y^2} - {z^2}}} + \dfrac{{yz}}{{{y^2} + {z^2} - {x^2}}} + \dfrac{{zx}}{{{z^2} + {x^2} - {y^2}}}\)
-
A
\(A = \dfrac{1}{2}.\)
-
B
\(A = - \dfrac{1}{2}.\)
-
C
\(A = - \dfrac{3}{2}.\)
-
D
\(A = \dfrac{3}{2}.\)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : C
Phát hiện tính quy luật của biểu thức. Từ đó đưa bài toán ban đầu về bài toán đơn gian hơn. Và sử dụng kỹ năng tính toán thường gặp.
Từ \(x + y + z = 0 \Rightarrow x + y = - z \Rightarrow {x^2} + 2xy + {y^2} = {z^2} \Rightarrow {x^2} + {y^2} - {z^2} = - 2xy\).
Tương tự ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{y^2} + {z^2} - {x^2} = - 2yz\\{z^2} + {x^2} - {y^2} = - 2zx\end{array} \right.\)
Do đó: \(A = \dfrac{{xy}}{{ - 2xy}} + \dfrac{{yz}}{{ - 2yz}} + \dfrac{{zx}}{{ - 2zx}} = - \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2} = - \dfrac{3}{2}\).
Vậy \(A = - \dfrac{3}{2}.\)