Câu hỏi 1 :

Biến đổi biểu thức \(\dfrac{{1 + \dfrac{1}{x}}}{{x - \dfrac{1}{x}}}\) thành biểu thức đại số

  • A

     \(\dfrac{1}{{x + 1}}\).

  • B

    \(x + 1\).

  • C

    \(x - 1\).

  • D

    \(\dfrac{1}{{x - 1}}\).

Đáp án của giáo viên lời giải hay : D

Phương pháp giải :

Ta sử dụng các quy tắc cộng, trừ, nhân, chia các phân thức để biến đổi một biểu thức hữu tỉ thành phân thức.

Lời giải chi tiết :

Ta có \(\dfrac{{1 + \dfrac{1}{x}}}{{x - \dfrac{1}{x}}}\)\( = \dfrac{{\dfrac{{x + 1}}{x}}}{{\dfrac{{{x^2} - 1}}{x}}}\) \( = \dfrac{{x + 1}}{x}:\dfrac{{{x^2} - 1}}{x} = \dfrac{{x + 1}}{x}.\dfrac{x}{{{x^2} - 1}} = \dfrac{{x + 1}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}} = \dfrac{1}{{x - 1}}\) .

Câu hỏi 2 :

Biểu thức \(\dfrac{{x + \dfrac{1}{{{x^2}}}}}{{1 - \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{{{x^2}}}}}\) được biến đổi thành phân thức đại số là

  • A

    \(\dfrac{1}{{x + 1}}\).

  • B

    \(x + 1\).

  • C

    \(x - 1\).

  • D

    \(\dfrac{1}{{x - 1}}\).

Đáp án của giáo viên lời giải hay : B

Phương pháp giải :

Ta sử dụng các quy tắc cộng, trừ, nhân, chia các phân thức để biến đổi một biểu thức hữu tỉ thành phân thức.

Lời giải chi tiết :

Ta có \(\dfrac{{x + \dfrac{1}{{{x^2}}}}}{{1 - \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{{{x^2}}}}}\)\( = \dfrac{{\dfrac{{{x^3}}}{{{x^2}}} + \dfrac{1}{{{x^2}}}}}{{\dfrac{{{x^2}}}{{{x^2}}} - \dfrac{x}{{{x^2}}} + \dfrac{1}{{{x^2}}}}} = \dfrac{{\dfrac{{{x^3} + 1}}{{{x^2}}}}}{{\dfrac{{{x^2} - x + 1}}{{{x^2}}}}}\) \( = \dfrac{{{x^3} + 1}}{{{x^2}}}:\dfrac{{{x^2} - x + 1}}{{{x^2}}} = \dfrac{{{x^3} + 1}}{{{x^2}}}.\dfrac{{{x^2}}}{{{x^2} - x + 1}}\)

\( = \dfrac{{\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} - x + 1} \right)}}{{{x^2} - x + 1}} = x + 1\) .

Câu hỏi 3 :

Chọn khẳng định đúng.

  • A

    \(\left( {\dfrac{1}{{{x^2} + 4x + 4}} - \dfrac{1}{{{x^2} - 4x + 4}}} \right):\left( {\dfrac{1}{{x + 2}} + \dfrac{1}{{x - 2}}} \right)\)\( = \dfrac{{ - 4}}{{{x^2} - 4}}\)

  • B

    \(\left( {\dfrac{1}{{{x^2} + 4x + 4}} - \dfrac{1}{{{x^2} - 4x + 4}}} \right):\left( {\dfrac{1}{{x + 2}} + \dfrac{1}{{x - 2}}} \right) = \dfrac{4}{{{x^2} - 4}}\).

  • C

    \(\left( {\dfrac{1}{{{x^2} + 4x + 4}} - \dfrac{1}{{{x^2} - 4x + 4}}} \right):\left( {\dfrac{1}{{x + 2}} + \dfrac{1}{{x - 2}}} \right) = \dfrac{8}{{{x^2} - 4}}\).

  • D

    \(\left( {\dfrac{1}{{{x^2} + 4x + 4}} - \dfrac{1}{{{x^2} - 4x + 4}}} \right):\left( {\dfrac{1}{{x + 2}} + \dfrac{1}{{x - 2}}} \right) = \dfrac{{ - 8}}{{{x^2} - 4}}\).

Đáp án của giáo viên lời giải hay : A

Phương pháp giải :

Ta sử dụng các quy tắc cộng, trừ, nhân, chia các phân thức để rút gọn biểu thức.

Lời giải chi tiết :

Ta có \(\left( {\dfrac{1}{{{x^2} + 4x + 4}} - \dfrac{1}{{{x^2} - 4x + 4}}} \right):\left( {\dfrac{1}{{x + 2}} + \dfrac{1}{{x - 2}}} \right)\)\( = \left( {\dfrac{1}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} - \dfrac{1}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}} \right):\left( {\dfrac{{x - 2 + x + 2}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}} \right)\)

$ = \dfrac{{{x^2} - 4x + 4 - \left( {{x^2} + 4x + 4} \right)}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}.\dfrac{{\left( {x + 2} \right)\left( {x - 2} \right)}}{{2x}}$\( = \dfrac{{ - 8x}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}.\dfrac{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}{{2x}} = \dfrac{{ - 4}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {x - 2} \right)}} = \dfrac{{ - 4}}{{{x^2} - 4}}\)

Câu hỏi 4 :

Biết \(A = \left( {\dfrac{1}{{{x^2} + x}} - \dfrac{{2 - x}}{{x + 1}}} \right):\left( {\dfrac{1}{x} + x - 2} \right) = \dfrac{{...}}{{x + 1}}\) . Điền biểu thức thích hợp vào chỗ trống

  • A

    \(\dfrac{1}{{x + 1}}\).

  • B

    \(x + 1\).

  • C

    \(x\).

  • D

    \(1\).

Đáp án của giáo viên lời giải hay : D

Phương pháp giải :

Ta sử dụng các quy tắc cộng, trừ, nhân, chia các phân thức để để rút gọn biểu thức.

Lời giải chi tiết :

Ta có \(A = \left( {\dfrac{1}{{{x^2} + x}} - \dfrac{{2 - x}}{{x + 1}}} \right):\left( {\dfrac{1}{x} + x - 2} \right)\)\( = \left( {\dfrac{1}{{x\left( {x + 1} \right)}} - \dfrac{{x\left( {2 - x} \right)}}{{x\left( {x + 1} \right)}}} \right):\left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{{{x^2}}}{x} - \dfrac{{2x}}{x}} \right)\) \( = \dfrac{{1 - 2x + {x^2}}}{{x\left( {x + 1} \right)}}:\dfrac{{1 + {x^2} - 2x}}{x}\)

\( = \dfrac{{{x^2} - 2x + 1}}{{x\left( {x + 1} \right)}}.\dfrac{x}{{{x^2} - 2x + 1}} = \dfrac{1}{{x + 1}}\) .

Vậy số cần điền là \(1\) .

Câu hỏi 5 :

Cho phân thức \(\dfrac{{{x^2} - 4x + 4}}{{x - 2}}\)

Câu 5.1

Tìm điều kiện của \(x\) để phân thức xác định.

  • A

    \(x = 2\).

  • B

    \(x \ne 2\).

  • C

    \(x > 2\).

  • D

    \(x < 2\).

Đáp án của giáo viên lời giải hay : B

Phương pháp giải :

Phân thức \(\dfrac{A}{B}\) xác định khi \(B \ne 0\) .

Lời giải chi tiết :

Phân thức \(\dfrac{{{x^2} - 4x + 4}}{{x - 2}}\) xác định khi \(x - 2 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne 2\) .

Câu 5.2

Tính giá trị biểu thức khi \(x = 2020\) .

  • A

    \(2018\).

  • B

    \(2022\).

  • C

    \(2016\).

  • D

    \(2024\).

Đáp án của giáo viên lời giải hay : A

Phương pháp giải :

Bước 1: Rút gọn biểu thức

Bước 2: Thay \(x = 2020\) vào biểu thức rồi tính.

Lời giải chi tiết :

Ta có \(\dfrac{{{x^2} - 4x + 4}}{{x - 2}}\)\( = \dfrac{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}{{x - 2}} = x - 2\)

Thay \(x = 2020\) (thỏa mãn điều kiện \(x \ne 2\) ) vào biểu thức \(x - 2\) ta được \(2020 - 2 = 2018\) .

Vậy với  \(x = 2020\) thì giá trị biểu thức là \(2018\) .

Câu hỏi 6 :

Cho biểu thức \(B = \left( {\dfrac{1}{{x - 2}} - \dfrac{{2x}}{{4 - {x^2}}} + \dfrac{1}{{2 + x}}} \right).\left( {\dfrac{2}{x} - 1} \right)\)

Câu 6.1

Với giá trị nào của \(x\) thì \(B\) xác định.

  • A

    \(x \ne \left\{ {0;2} \right\}\).

  • B

    \(x \ne \left\{ { - 2;0;2} \right\}\).

  • C

    \(x \ne \left\{ { - 2;2} \right\}\).

  • D

    \(x \ne \left\{ {0; - 2} \right\}\).

Đáp án của giáo viên lời giải hay : B

Phương pháp giải :

Phân thức \(\dfrac{A}{B}\) xác định khi \(B \ne 0\) .

Lời giải chi tiết :

Phân thức \(B = \left( {\dfrac{1}{{x - 2}} - \dfrac{{2x}}{{4 - {x^2}}} + \dfrac{1}{{2 + x}}} \right):\left( {\dfrac{2}{x} - 1} \right)\) xác định khi

\(\left\{ \begin{array}{l}x - 2 \ne 0\\4 - {x^2} \ne 0\\2 + x \ne 0\\x \ne 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne 2\\x \ne  - 2\\x \ne 0\\{x^2} \ne 4\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne 2\\x \ne  - 2\\x \ne 0\end{array} \right.\)  .

Câu 6.2

Rút gọn \(B\) ta được:

  • A

    \(B = \dfrac{{ - 1}}{{x + 2}}\).

  • B

    \(B = \dfrac{1}{{x + 2}}\).

  • C

    \(B = \dfrac{4}{{x + 2}}\).

  • D

    \(B = \dfrac{{ - 4}}{{x + 2}}\).

Đáp án của giáo viên lời giải hay : D

Phương pháp giải :

Ta sử dụng các quy tắc cộng, trừ, nhân, chia các phân thức và các hằng đẳng thức để rút gọn biểu thức.

Lời giải chi tiết :

Phân thức \(B = \left( {\dfrac{1}{{x - 2}} - \dfrac{{2x}}{{4 - {x^2}}} + \dfrac{1}{{2 + x}}} \right).\left( {\dfrac{2}{x} - 1} \right)\)

\( = \left( {\dfrac{1}{{x - 2}} + \dfrac{{2x}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} + \dfrac{1}{{x + 2}}} \right).\left( {\dfrac{{2 - x}}{x}} \right)\)

$ = \left( {\dfrac{{x + 2}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} + \dfrac{{2x}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} + \dfrac{{x - 2}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}} \right).\left[ {\dfrac{{ - \left( {x - 2} \right)}}{x}} \right]$

\( = \dfrac{{x + 2 + 2x + x - 2}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}.\dfrac{{\left[ { - \left( {x - 2} \right)} \right]}}{x}\)

$ = \dfrac{{4x}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}.\dfrac{{\left[ { - \left( {x - 2} \right)} \right]}}{x} = \dfrac{{ - 4}}{{x + 2}}$

Vậy \(B = \dfrac{{ - 4}}{{x + 2}}\) .

Câu 6.3

Tìm \(x\) để \(B = \dfrac{1}{2}\) .

  • A

    \(x = 10\).

  • B

    \(x =  - 10\).

  • C

    \(x =  - 6\).

  • D

    \(x = 6\).

Đáp án của giáo viên lời giải hay : B

Phương pháp giải :

Bước 1: Sử dụng kết quả câu trước \(B = \dfrac{{ - 4}}{{x + 2}}\) sau đó cho \(B = \dfrac{1}{2}\) , quy đồng mẫu rồi tìm \(x\) .

Bước 2: So sánh điều kiện xác định rồi kết luận.

Lời giải chi tiết :

Theo câu trước ta có  \(B = \dfrac{{ - 4}}{{x + 2}}\) với \(x \ne \left\{ { - 2;0;2} \right\}\).

Ta có \(B = \dfrac{1}{2}\) \( \Leftrightarrow \) \(\dfrac{{ - 4}}{{x + 2}} = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow \dfrac{{ - 8}}{{2\left( {x + 2} \right)}} = \dfrac{{x + 2}}{{2\left( {x + 2} \right)}} \Rightarrow x + 2 =  - 8 \Leftrightarrow x =  - 10\,\left( {TM} \right)\).

Vậy \(x =  - 10\) .

Câu 6.4

Tìm \(x\) để \(B\) dương.

  • A

    \(x = 2\).

  • B

    \(x <  - 2\).

  • C

    \(x >  - 2\).

  • D

    \(x < 2\).

Đáp án của giáo viên lời giải hay : B

Phương pháp giải :

Bước 1: Sử dụng kết quả các câu trước ta có  \(B = \dfrac{{ - 4}}{{x + 2}}\). Đánh giá tử số rồi suy ra điều kiện của mẫu  số để \(B > 0\) , từ đó tìm \(x\) .

Bước 2: Kết hợp điều kiện rồi kết luận

Lời giải chi tiết :

Theo các câu trước ta có  \(B = \dfrac{{ - 4}}{{x + 2}}\) với \(x \ne \left\{ { - 2;0;2} \right\}\).

Để \(B > 0 \Leftrightarrow \dfrac{{ - 4}}{{x + 2}} > 0\) mà \( - 4 < 0 \Rightarrow x + 2 < 0 \Leftrightarrow x <  - 2\) .

Kết hợp điều kiện \(x \ne \left\{ { - 2;0;2} \right\}\) ta có \(x <  - 2\) .

Câu hỏi 7 :

Cho \(C = \left( {\dfrac{{21}}{{{x^2} - 9}} - \dfrac{{x - 4}}{{3 - x}} - \dfrac{{x - 1}}{{3 + x}}} \right):\left( {1 - \dfrac{1}{{x + 3}}} \right)\) .

Câu 7.1

Rút gọn \(C\) ta được

  • A

    \(C = \dfrac{3}{{x - 3}}\).

  • B

    \(C = \dfrac{{ - 3}}{{x - 3}}\).

  • C

    \(C = \dfrac{3}{{x + 3}}\).

  • D

    \(C =  - \dfrac{3}{{x + 3}}\).

Đáp án của giáo viên lời giải hay : A

Phương pháp giải :

Ta sử dụng các quy tắc cộng, trừ, nhân, chia các phân thức và các hằng đẳng thức để rút gọn biểu thức.

Lời giải chi tiết :

Ta có  \(C = \left( {\dfrac{{21}}{{{x^2} - 9}} - \dfrac{{x - 4}}{{3 - x}} - \dfrac{{x - 1}}{{3 + x}}} \right):\left( {1 - \dfrac{1}{{x + 3}}} \right)\)

\( = \left[ {\dfrac{{21}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}} + \dfrac{{\left( {x - 4} \right)\left( {x + 3} \right)}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}} - \dfrac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 3} \right)}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}}} \right]:\left( {\dfrac{{x + 3 - 1}}{{x + 3}}} \right)\)   Điều kiện: \(x \ne  \pm 3\)

\( = \dfrac{{21 + {x^2} - x - 12 - {x^2} + 4x - 3}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}}:\dfrac{{x + 2}}{{x + 3}}\)

\( = \dfrac{{3x + 6}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}}.\dfrac{{x + 3}}{{x + 2}} = \dfrac{{3\left( {x + 2} \right)}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}}.\dfrac{{x + 3}}{{x + 2}}\)

\( = \dfrac{3}{{x - 3}}\). Vậy \(C = \dfrac{3}{{x - 3}}\) .

Câu 7.2

Tính giá trị biểu thức \(C\) tại \(x\) thỏa mãn \(\left| {2x + 1} \right| = 5\) .

  • A

    \(C =  - \dfrac{1}{2}\).

  • B

    \(C =  3\).

  • C

    \(C =  - 3\).

  • D

    \(C = 0\).

Đáp án của giáo viên lời giải hay : C

Phương pháp giải :

Bước 1: Từ điều kiện của giả thiết ta tìm \(x\) . So sánh với điều kiện để loại giá trị \(x\) không thỏa mãn điều kiện.

Bước 2: Thay \(x\) tìm được vào \(C = \dfrac{3}{{x - 3}}\) rồi tính.

Lời giải chi tiết :

Ta có \(\left| {2x + 1} \right| = 5\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x + 1 = 5\\2x + 1 =  - 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = 4\\2x =  - 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\left( {TM} \right)\\x =  - 3\,\left( L \right)\end{array} \right.\)

Thay \(x = 2\) vào \(C = \dfrac{3}{{x - 3}}\) ta được \(C = \dfrac{3}{{2 - 3}} =  - 3\) .

Câu hỏi 8 :

Cho \(P = \left( {\dfrac{x}{{x + 2}} - \dfrac{{{x^3} - 8}}{{{x^3} + 8}}.\dfrac{{{x^2} - 2x + 4}}{{{x^2} - 4}}} \right):\dfrac{4}{{x + 2}}\) .

Câu 8.1

Biểu thức rút gọn của \(P\) là

  • A

    $P = \dfrac{{ - 1}}{{x + 2}}$.

  • B

    $P = \dfrac{1}{{x + 2}}$.

  • C

    $P = \dfrac{{ - 4}}{{x + 2}}$.

  • D

    $P = \dfrac{4}{{x + 2}}$.

Đáp án của giáo viên lời giải hay : A

Phương pháp giải :

Ta sử dụng các quy tắc cộng, trừ, nhân, chia các phân thức và các hằng đẳng thức để rút gọn biểu thức.

Lời giải chi tiết :

Ta có  \(P = \left( {\dfrac{x}{{x + 2}} - \dfrac{{{x^3} - 8}}{{{x^3} + 8}}.\dfrac{{{x^2} - 2x + 4}}{{{x^2} - 4}}} \right):\dfrac{4}{{x + 2}}\)

\( = \left( {\dfrac{x}{{x + 2}} - \dfrac{{\left( {x - 2} \right)\left( {{x^2} + 2x + 4} \right)}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {{x^2} - 2x + 4} \right)}}.\dfrac{{{x^2} - 2x + 4}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}} \right).\dfrac{{x + 2}}{4}\)      ĐK: \(x \ne  \pm 2\)

\( = \left( {\dfrac{x}{{x + 2}} - \dfrac{{{x^2} + 2x + 4}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}} \right).\dfrac{{x + 2}}{4}\) \( = \left[ {\dfrac{{x\left( {x + 2} \right) - {x^2} - 2x - 4}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}} \right].\dfrac{{x + 2}}{4}\)

\( = \dfrac{{ - 4}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}.\dfrac{{x + 2}}{4}\) \( = \dfrac{{ - 1}}{{x + 2}}\) .

Vậy $P = \dfrac{{ - 1}}{{x + 2}}$ .

Câu 8.2

Tìm \(x\) để \(P = \dfrac{1}{x}\) .

  • A

    \(x = 2\).

  • B

    \(x = 1\).

  • C

    \(x =  - 1\).

  • D

    \(x =  - 2\).

Đáp án của giáo viên lời giải hay : C

Phương pháp giải :

Bước 1: Sử dụng kết quả đã rút gọn $P$ ở câu trước. Cho \(P = \dfrac{1}{x}\) , quy đồng mẫu rồi tìm \(x\) .

Bước 2: So sánh điều kiện xác định rồi kết luận

Lời giải chi tiết :

Theo câu trước ta có  $P = \dfrac{{ - 1}}{{x + 2}}$ với \(\left( {x \ne  \pm 2;\,x \ne 0} \right)\)

Để \(P = \dfrac{1}{x}\)$ \Leftrightarrow \dfrac{{ - 1}}{{x + 2}} = \dfrac{1}{x}$  \(\left( {x \ne  \pm 2;\,x \ne 0} \right)\)

\( \Leftrightarrow \dfrac{{ - x}}{{x\left( {x + 2} \right)}} = \dfrac{{x + 2}}{{x\left( {x + 2} \right)}}\) \( \Rightarrow  - x = x + 2 \Leftrightarrow 2x =  - 2 \Leftrightarrow x =  - 1\,\left( {TM} \right).\) 

Vậy \(x =  - 1\) .

Câu hỏi 9 :

Cho \(M = \left( {\dfrac{{x + 1}}{{x - 1}} - \dfrac{{x - 1}}{{x + 1}}} \right):\dfrac{{4x}}{{3x - 3}}\) .

Câu 9.1

Rút gọn \(M\) ta được

  • A

    \(M = \dfrac{{12}}{{x + 1}}\).

  • B

    \(M = \dfrac{3}{{x + 1}}\).

  • C

    \(M = \dfrac{{ - 3}}{{x + 1}}\).

  • D

    \(M = \dfrac{3}{{x - 1}}\).

Đáp án của giáo viên lời giải hay : B

Phương pháp giải :

Ta sử dụng các quy tắc cộng, trừ, nhân, chia các phân thức và các hằng đẳng thức để rút gọn biểu thức.

Lời giải chi tiết :

Ta có \(M = \left( {\dfrac{{x + 1}}{{x - 1}} - \dfrac{{x - 1}}{{x + 1}}} \right):\dfrac{{4x}}{{3x - 3}}\)   ĐK: \(x \ne  \pm 1\)

\( = \left[ {\dfrac{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} - \dfrac{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}} \right]:\dfrac{{4x}}{{3\left( {x - 1} \right)}}\) \( = \dfrac{{{x^2} + 2x + 1 - {x^2} + 2x - 1}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}.\dfrac{{3\left( {x - 1} \right)}}{{4x}}\) \( = \dfrac{{4x}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}.\dfrac{{3\left( {x - 1} \right)}}{{4x}} = \dfrac{3}{{x + 1}}\) .

Vậy \(M = \dfrac{3}{{x + 1}}\) .

Câu 9.2

Tính \(M\) khi \(x = \dfrac{1}{2}\) .

  • A

    \(M = 2\).

  • B

    \(M = \dfrac{1}{2}\).

  • C

    \(M = 3\).

  • D

    \(M = \dfrac{1}{6}\).

Đáp án của giáo viên lời giải hay : A

Phương pháp giải :

Thay \(x = \dfrac{1}{2}\) vào \(M\) rồi tính.

Lời giải chi tiết :

Thay \(x = \dfrac{1}{2}\) (TMĐK) vào \(M = \dfrac{3}{{x + 1}}\) ta được \(M = \dfrac{3}{{\dfrac{1}{2} + 1}} = \dfrac{3}{{\dfrac{3}{2}}} = 3:\dfrac{3}{2} = 3.\dfrac{2}{3} = 2\) . Vậy với \(x = \dfrac{1}{2}\) thì \(M = 2\) .

Câu 9.3

Để \(M =  - 1\) thì giá trị của \(x\) là

  • A

    \(x = 2\).

  • B

    \(x = 4\).

  • C

    \(x =  - 4\).

  • D

    \(x =  - 2\).

Đáp án của giáo viên lời giải hay : C

Phương pháp giải :

Bước 1: Cho \(M =  - 1\) , quy đồng mẫu rồi tìm \(x\) .

Bước 2: So sánh điều kiện xác định rồi kết luận

Lời giải chi tiết :

Để \(M =  - 1\) thì  \(\dfrac{3}{{x + 1}} =  - 1 \Leftrightarrow \dfrac{3}{{x + 1}} = \dfrac{{ - x - 1}}{{x + 1}} \Rightarrow  - x - 1 = 3 \Leftrightarrow x =  - 4\,\left( {TM} \right)\) .

Vậy \(x =  - 4\) .

Câu 9.4

Có bao nhiêu \(x\) nguyên để \(M\) có giá trị nguyên.

  • A

    \(2\)

  • B

    \(3\)

  • C

    \(4\)

  • D

    \(1\)

Đáp án của giáo viên lời giải hay : C

Phương pháp giải :

Bước 1: Để \(M = \dfrac{a}{B}\) có giá trị nguyên thì \(B \in \) Ư\(\left( a \right)\) . Từ đó tìm được $x$ .

Bước 2: So sánh điều kiện \(x \ne  \pm 1\) rồi kết luận.

Lời giải chi tiết :

ĐK: \(x \ne  \pm 1\)

\(M\) có giá trị nguyên nghĩa là \(\dfrac{3}{{x + 1}}\) có giá trị nguyên

Suy ra \(3 \vdots \left( {x + 1} \right) \Rightarrow \left( {x + 1} \right) \in \) Ư\(\left( 3 \right) = \left\{ { - 1;1; - 3;3} \right\}\) .

+ \(x + 1 = 1 \Leftrightarrow x = 0\,\left( {TM} \right)\)

+ \(x + 1 =  - 1 \Leftrightarrow x =  - 2\,\left( {TM} \right)\)

+ \(x + 1 = 3 \Leftrightarrow x = 2\,\left( {TM} \right)\)

+ \(x + 1 =  - 3 \Leftrightarrow x =  - 4\,\left( {TM} \right)\)

Vậy \(x \in \left\{ { - 4; - 2;2;0} \right\}\)

Câu hỏi 10 :

Cho \(E = \dfrac{{x{{\left( {1 - x} \right)}^2}}}{{1 + {x^2}}}:\left[ {\left( {\dfrac{{1 - {x^3}}}{{1 - x}} + x} \right).\left( {\dfrac{{1 + {x^3}}}{{1 + x}} - x} \right)} \right]\) . Chọn câu đúng.

  • A

    \(E > 0\) với mọi \(x \pm 1\) .

  • B

    \(E > 0\) với mọi \(x > 0;\,x \ne 1\)

  • C

     \(E > 0\) với mọi \(x < 0\)

  • D

    \(E < 0\) với mọi \(x > 0;\,x \ne 1\)

Đáp án của giáo viên lời giải hay : B

Phương pháp giải :

Bước 1: Ta sử dụng các quy tắc cộng, trừ, nhân, chia các phân thức và các hằng đẳng thức để rút gọn biểu thức.

Bước 2: Đánh giá \(E\) để kết luận.

Lời giải chi tiết :

ĐK: \(x \pm 1\)

Ta có \(E = \dfrac{{x{{\left( {1 - x} \right)}^2}}}{{1 + {x^2}}}:\left[ {\left( {\dfrac{{1 - {x^3}}}{{1 - x}} + x} \right).\left( {\dfrac{{1 + {x^3}}}{{1 + x}} - x} \right)} \right]\)

\( = \dfrac{{x{{\left( {1 - x} \right)}^2}}}{{1 + {x^2}}}:\left[ {\left( {\dfrac{{\left( {1 - x} \right)\left( {1 + x + {x^2}} \right)}}{{1 - x}} + x} \right).\left( {\dfrac{{\left( {1 + x} \right)\left( {1 - x + {x^2}} \right)}}{{1 + x}} - x} \right)} \right]\)

\( = \dfrac{{x{{\left( {1 - x} \right)}^2}}}{{1 + {x^2}}}:\left[ {\left( {1 + 2x + {x^2}} \right).\left( {1 - 2x + {x^2}} \right)} \right]\)

\( = \dfrac{{x{{\left( {1 - x} \right)}^2}}}{{1 + {x^2}}}:\left[ {{{\left( {1 + x} \right)}^2}.{{\left( {1 - x} \right)}^2}} \right]\) \( = \dfrac{x}{{\left( {1 + {x^2}} \right){{\left( {1 + x} \right)}^2}}}\) .

Suy ra \(E = \dfrac{x}{{\left( {1 + {x^2}} \right){{\left( {1 +x} \right)}^2}}}\)

Ta thấy với \(x \pm 1\) thì \(1 + {x^2} \ge 1 > 0\) và \({\left( {1 + x} \right)^2} > 0\) nên \(\left( {1 + {x^2}} \right){\left( {1 + x} \right)^2} > 0\) .

Suy ra \(E = \dfrac{x}{{\left( {1 + {x^2}} \right){{\left( {1 + x} \right)}^2}}} > 0 \Rightarrow x > 0\) nên B đúng, A, C sai.

\(E = \dfrac{x}{{\left( {1 + {x^2}} \right){{\left( {1 + x} \right)}^2}}} < 0 \Rightarrow x < 0\) nên D sai.

Câu hỏi 11 :

Cho \(B = \dfrac{{x - 1}}{{x - 2}}\). Số giá trị của \(x \in Z\)  để \(B \in \mathbb{Z}\) là:

  • A

    3

  • B

    0

  • C

    2

  • D

    -2

Đáp án của giáo viên lời giải hay : C

Phương pháp giải :

Sử dụng kiến thức biến đổi biểu thức hữu tỉ; tìm điều kiện để biểu thức có giá trị nguyên.

+) Tìm ĐKXĐ của B.

+) Tách B về dạng \(B = a + \dfrac{b}{{MS}},\,\,a,\,\,b \in Z.\)

+) Đề \(B \in Z\) thì \(\dfrac{b}{{MS}} \in Z \Leftrightarrow MS \in Ư\left( b \right).\)

+) Tìm Ư(b) sau đó lập bảng, giải phương trình tìm x.

+) Xét xem các giá trị của x có thỏa mãn ĐKXĐ của bài toán hay không rồi kết luận x.

Lời giải chi tiết :

ĐKXĐ: \(x \ne 2.\)

Ta có: \(B = \dfrac{{x - 1}}{{x - 2}} = 1 + \dfrac{1}{{x - 2}}\)

\(B = 1 + \dfrac{1}{{x - 2}} \in Z \Leftrightarrow \dfrac{1}{{x - 2}} \in Z \Leftrightarrow x - 2 \in Ư(1) = \left\{ { \pm 1} \right\}\).

Câu hỏi 12 :

Cho \(Q = \left[ {\dfrac{{{{(x - 1)}^2}}}{{3x + {{(x - 1)}^2}}} - \dfrac{{1 - 2{x^2} + 4x}}{{{x^3} - 1}} + \dfrac{1}{{x - 1}}} \right]:\dfrac{{3x}}{{{x^3} + x}}\).

Câu 12.1

Rút gọn \(Q\) ta được:

  • A

    \(Q = \dfrac{{x + 1}}{3}\)

  • B

    \(Q = \dfrac{{{x^2} + 1}}{{ - 3}}\)

  • C

    \(Q = \dfrac{{{x^2} - 1}}{3}\)

  • D

    \(Q = \dfrac{{{x^2} + 1}}{3}\)

Đáp án của giáo viên lời giải hay : D

Phương pháp giải :

+) Tìm ĐKXĐ của biểu thức.

+) Sử dụng các bước biến đổi phân thức đã được học để rút gọn biểu thức.

Lời giải chi tiết :

ĐK: \(\left\{ \begin{array}{l}3x + {\left( {x - 1} \right)^2} \ne 0\\{x^3} - 1 \ne 0\\{x^3} + x \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne  \pm 1\\x \ne 0\end{array} \right..\)

\(Q = \left[ {\dfrac{{{{(x - 1)}^2}}}{{3x + {{(x - 1)}^2}}} - \dfrac{{1 - 2{x^2} + 4x}}{{{x^3} - 1}} + \dfrac{1}{{x - 1}}} \right]:\dfrac{{3x}}{{{x^3} + x}}\)

\(= \left[ {\dfrac{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}{{3x + {x^2} - 2x + 1}} - \dfrac{{1 - 2{x^2} + 4x}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}} + \dfrac{1}{{x - 1}}} \right]:\dfrac{{3x}}{{x\left( {{x^2} + 1} \right)}}\)

\( = \left[ {\dfrac{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}{{{x^2} + x + 1}} + \dfrac{{2{x^2} - 4x - 1}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}} + \dfrac{1}{{x - 1}}} \right].\dfrac{{x({x^2} + 1)}}{{3x}}\)

\( = \dfrac{{{{(x - 1)}^3} + 2{x^2} - 4x - 1 + {x^2} + x + 1}}{{{x^3} - 1}}.\dfrac{{{x^2} + 1}}{3}\)\( = \dfrac{{{x^3} - 3x{}^2 + 3x - 1 + 2{x^2} - 4x - 1 + {x^2} + x + 1}}{{{x^3} - 1}}.\dfrac{{{x^2} + 1}}{3}\)\( = \dfrac{{{x^3} - 1}}{{{x^3} - 1}}.\dfrac{{{x^2} + 1}}{3} = \dfrac{{{x^2} + 1}}{3}\)

Vậy \(Q = \dfrac{{{x^2} + 1}}{3}\)  với \(x \ne  \pm 1;x \ne 0\).

Câu 12.2

Giá trị nhỏ nhất của \(Q\) với \(x \ge 2\) là:

  • A

    \(\dfrac{4}{3}\)

  • B

    \(\dfrac{1}{2}\)

  • C

    \(\dfrac{5}{3}\)

  • D

    \(1\)

Đáp án của giáo viên lời giải hay : C

Phương pháp giải :

Sử dụng kết quả câu trước.

Đánh giá \({A^2} + m \ge m,\,\forall A\) , dấu “=” xảy ra khi \(A = 0.\)

Lời giải chi tiết :

Ta có: Q = \(\dfrac{{{x^2} + 1}}{3}\)  với \(x \ne 0;x \ne  \pm 1\).

Ta có: \({x^2} \ge 4\,\,\forall x \ge 2 \Rightarrow {x^2} + 1 \ge 5\,\,\forall x \ge 2\)\( \Rightarrow \dfrac{{{x^2} + 1}}{3} \ge \dfrac{5}{3} \,\,\forall x \ge 2\).

Dấu “=” xảy ra khi \(x = 2\left( {tm} \right)\).

Vậy  \(Min\,\,Q = \dfrac{5}{3} \Leftrightarrow x = 2\).

Câu hỏi 13 :

Cho \(x;y;z \ne 0\) thỏa mãn \(x + y + z = 0\). Tính giá trị biểu thức:

\(A = \dfrac{{xy}}{{{x^2} + {y^2} - {z^2}}} + \dfrac{{yz}}{{{y^2} + {z^2} - {x^2}}} + \dfrac{{zx}}{{{z^2} + {x^2} - {y^2}}}\)

  • A

    \(A = \dfrac{1}{2}.\)

  • B

    \(A =  - \dfrac{1}{2}.\)

  • C

    \(A =  - \dfrac{3}{2}.\)

  • D

    \(A = \dfrac{3}{2}.\)

Đáp án của giáo viên lời giải hay : C

Phương pháp giải :

Phát hiện tính quy luật của biểu thức. Từ đó đưa bài toán ban đầu về bài toán đơn gian hơn. Và sử dụng kỹ năng tính toán thường gặp.

Lời giải chi tiết :

Từ \(x + y + z = 0 \Rightarrow x + y =  - z \Rightarrow {x^2} + 2xy + {y^2} = {z^2} \Rightarrow {x^2} + {y^2} - {z^2} =  - 2xy\).

Tương tự ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{y^2} + {z^2} - {x^2} =  - 2yz\\{z^2} + {x^2} - {y^2} =  - 2zx\end{array} \right.\)                           

Do đó: \(A = \dfrac{{xy}}{{ - 2xy}} + \dfrac{{yz}}{{ - 2yz}} + \dfrac{{zx}}{{ - 2zx}} =  - \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2} =  - \dfrac{3}{2}\).

Vậy \(A =  - \dfrac{3}{2}.\)