Câu hỏi 1 :

Phân thức $\dfrac{{5x - 7}}{{3{x^2} + 6x}}$ xác định khi:

  • A

    $x \ne 0$

  • B

    $x \ne  - 2$      

  • C

    $x \ne  - 2;x \ne 0$

  • D

    $x \ne 3;x \ne  - 2;x \ne 0$

Đáp án của giáo viên lời giải hay : C

Phương pháp giải :

ĐKXĐ của phân thức: Mẫu thức khác 0.

Lời giải chi tiết :

ĐK: \(3{x^2} + 6x \ne 0 \Leftrightarrow 3x\left( {x + 2} \right) \ne 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ne 0\\
x \ne - 2
\end{array} \right.\)

Câu hỏi 2 :

Đa thức thích hợp để điền vào chỗ trống trong đẳng thức \(\dfrac{{{x^3} - 8}}{{......}} = \dfrac{{{x^2} + 2x + 4}}{{3x}}\) là:

  • A

    \(3x(x - 2)\)    

  • B

    \(x - 2\)

  • C

    \(3{x^2}(x - 2)\)

  • D

    \(3x{(x - 2)^2}\)

Đáp án của giáo viên lời giải hay : A

Phương pháp giải :

Biến đổi phân thức \(\dfrac{{{x^2} + 2x + 4}}{{3x}}\)  sao cho có tử thức là \({x^3} - 8.\)

Từ đó suy ra đa thức cần điền vào chỗ trống

Lời giải chi tiết :

\(\begin{array}{l}\dfrac{{{x^2} + 2x + 4}}{{3x}} = \dfrac{{(x - 2)({x^2} + 2x + 4)}}{{3x(x - 2)}} = \dfrac{{{x^3} - 8}}{{3x(x - 2)}}\\ \Rightarrow \dfrac{{{x^3} - 8}}{{3x(x - 2)}} = \dfrac{{{x^3} - 8}}{{......}}\end{array}\)

Vậy đa thức cần tìm là \(3x(x - 2)\)

Câu hỏi 3 :

Đa thức P trong đẳng thức \(\dfrac{{5{{(y - x)}^2}}}{{5{x^2} - 5xy}} = \dfrac{{x - y}}{P}\) là:

  • A

    \(P = x + y\)

  • B

    \(P = 5(x - y)\)

  • C

     \(P = 5(y - x)\)

  • D

    \(P = x\)

Đáp án của giáo viên lời giải hay : D

Phương pháp giải :

Biến đổi phân thức vế trái sao cho có tử thức bằng với tử thức bên vế phải

Từ đó tìm ra đa thức \(P.\)

Lời giải chi tiết :

Ta có: \(\dfrac{{5{{(y - x)}^2}}}{{5{x^2} - 5xy}} = \dfrac{{5{{(x - y)}^2}}}{{5x(x - y)}} = \dfrac{{x - y}}{x} \Rightarrow \dfrac{{x - y}}{x} = \dfrac{{x - y}}{P} \Rightarrow P = x.\)

Câu hỏi 4 :

Kết quả của phép tính $\dfrac{{3x - 1}}{{2xy}} - \dfrac{{5x -2}}{{2xy}}$ là:

  • A

    $\dfrac{{ - 2x - 1}}{{2xy}}$

  • B

    $\dfrac{{ - 2x + 1}}{{xy}}$

  • C

    $\dfrac{{ - 2x + 1}}{{2xy}}$

  • D

    $\dfrac{{ - 2x - 1}}{{xy}}$

Đáp án của giáo viên lời giải hay : C

Phương pháp giải :

Sử dụng kiến thức trừ 2 phân thức cùng mẫu :$\dfrac{A}{M} - \dfrac{B}{M} = \dfrac{{A - B}}{M}$

Lời giải chi tiết :

$\dfrac{{3x - 1}}{{2xy}} - \dfrac{{5x - 2}}{{2xy}} = \dfrac{{3x - 1 - 5x + 2}}{{2xy}} = \dfrac{{ - 2x + 1}}{{2xy}}$.

Câu hỏi 5 :

Thực hiện phép tính sau: $\dfrac{{{x^3}}}{{{x^2} + 1}} + \dfrac{x}{{{x^2} + 1}}$

  • A

     $ - x$

  • B

    $2x$

  • C

    $\dfrac{x}{2}$

  • D

    $x$

Đáp án của giáo viên lời giải hay : D

Phương pháp giải :

Sử dụng kiến thức cộng 2 phân thức cùng mẫu, phân tích đa thức thành nhân tử và rút gọn.

Lời giải chi tiết :

Ta có $\dfrac{{{x^3}}}{{{x^2} + 1}} + \dfrac{x}{{{x^2} + 1}} = \dfrac{{{x^3} + x}}{{{x^2} + 1}} = \dfrac{{x({x^2} + 1)}}{{{x^2} + 1}} = x.$

Câu hỏi 6 :

Thực hiện phép tính sau $\dfrac{{2x + 5}}{{5{x^2}{y^2}}} + \dfrac{8}{{5x{y^2}}} + \dfrac{{2x - 1}}{{{x^2}{y^2}}}$, ta được kết quả là:

  • A

    $\dfrac{4}{{{x^2}{y^2}}}$

  • B

    $\dfrac{2}{{x{y^2}}}$

  • C

    $\dfrac{4}{{5{x^2}{y^2}}}$

  • D

    $\dfrac{4}{{x{y^2}}}$

Đáp án của giáo viên lời giải hay : D

Phương pháp giải :

Qui đồng mẫu thức rồi cộng các phân thức

Rút gọn phân thức thu được

Lời giải chi tiết :

$\dfrac{{2x + 5}}{{5{x^2}{y^2}}} + \dfrac{8}{{5x{y^2}}} + \dfrac{{2x - 1}}{{{x^2}{y^2}}} = \dfrac{{2x + 5 + 8x + 10x - 5}}{{5{x^2}{y^2}}} = \dfrac{{20x}}{{5{x^2}{y^2}}} = \dfrac{4}{{x{y^2}}}.$

Câu hỏi 7 :

Điền vào chỗ trống: $\dfrac{{2x - 6}}{{x + 3}} - .... = \dfrac{{x + 1}}{2}$.

  • A

    $\dfrac{{ - {x^2} + 15}}{{2(x + 3)}}$

  • B

    $\dfrac{{{x^2} - 15}}{{2(x + 3)}}$

  • C

    $\dfrac{{ - {x^2} - 15}}{{2(x + 3)}}$

  • D

    Cả A, B, C đều sai

Đáp án của giáo viên lời giải hay : C

Phương pháp giải :

Gọi phân thức cần điền là $P$.

Ta sử dụng $A-P=B$ suy ra $P=A-B$.

Từ đó thực hiện phép qui đồng và cộng, trừ các phân thức để tìm $P.$

Lời giải chi tiết :

Gọi phân thức cần điền là $P,$ khi đó

$P=\dfrac{{2x - 6}}{{x + 3}} - \dfrac{{x + 1}}{2}$$ = \dfrac{{2(2x - 6) - (x + 3)(x + 1)}}{{2(x + 3)}} $$= \dfrac{{4x - 12 - {x^2} - x - 3x - 3}}{{2(x + 3)}} $$= \dfrac{{ - {x^2} - 15}}{{2(x + 3)}}.$

Câu hỏi 8 :

Kết quả của phép tính $\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{{x(x + 1)}} + ... + \dfrac{1}{{(x + 9)(x + 10)}}$ là:

  • A

    $\dfrac{{x + 20}}{{x(x + 10)}}$

  • B

    $\dfrac{{x + 9}}{{x + 10}}$

  • C

    $\dfrac{1}{{x + 10}}$

  • D

    $\dfrac{1}{{x(x + 1)...(x + 10)}}$

Đáp án của giáo viên lời giải hay : A

Phương pháp giải :

Sử dụng kiến thức $\dfrac{1}{{x(x + 1)}} = \dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{{x + 1}}$; cộng 2 phân thức khác mẫu.

Lời giải chi tiết :

Ta có : $\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{{x(x + 1)}} + ... + \dfrac{1}{{(x + 9)(x + 10)}}$

         $\begin{array}{l} = \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{{x + 1}} + \dfrac{1}{{x + 1}} - \dfrac{1}{{x + 2}}... + \dfrac{1}{{x + 9}} - \dfrac{1}{{x + 10}}\\ = \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x} + 0 + ... + 0 - \dfrac{1}{{x + 10}}\\ = \dfrac{2}{x} - \dfrac{1}{{x + 10}}\\ = \dfrac{{2x + 20 - x}}{{x(x + 10)}} = \dfrac{{x + 20}}{{x(x + 10)}}.\end{array}$

Câu hỏi 9 :

Rút gọn biểu thức $\dfrac{1}{{x + 2}} + \dfrac{1}{{(x + 1)(x + 2)}} + \dfrac{1}{{(x + 1)(2x + 1)}}$ ta được

  • A

    $\dfrac{{x + 2}}{{x + 1}}$

  • B

    $\dfrac{2}{{x + 1}}$

  • C

    $\dfrac{2}{{2x + 1}}$

  • D

    $\dfrac{1}{{2x + 1}}$

Đáp án của giáo viên lời giải hay : C

Phương pháp giải :

Sử dụng kiến thức quy đồng mẫu nhiều phân thức; cộng các phân thức cùng mẫu, phân tích đa thức thành nhân tử và rút gọn.

Lời giải chi tiết :

Điều kiện: $x \ne  - 1;x \ne  - 2;x \ne \dfrac{{ - 1}}{2}.$

$\begin{array}{l}\,\,\,\,\dfrac{1}{{x + 2}} + \dfrac{1}{{(x + 1)(x + 2)}} + \dfrac{1}{{(x + 1)(2x + 1)}}\\ = \dfrac{{(2x + 1)(x + 1) + 2x + 1 + x + 2}}{{(x + 1)(x + 2)(2x + 1)}}\\ = \dfrac{{2{x^2} + x + 2x + 1 + 2x + 1 + x + 2}}{{(x + 1)(x + 2)(2x + 1)}}\\ = \dfrac{{2{x^2} + 6x + 4}}{{(x + 1)(x + 2)(2x + 1)}}\\ = \dfrac{{2({x^2} + 3x + 2)}}{{(x + 1)(x + 2)(2x + 1)}}\\  = \dfrac{{2\left( {{x^2} + x + 2x + 2} \right)}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {2x + 1} \right)}}\\ = \dfrac{{2\left[ {x\left( {x + 1} \right) + 2\left( {x + 1} \right)} \right]}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {2x + 1} \right)}}\\= \dfrac{{2(x + 1)(x + 2)}}{{(x + 1)(x + 2)(2x + 1)}} = \dfrac{2}{{2x + 1}}.\end{array}$

Câu hỏi 10 :

Chọn câu đúng.

  • A

    $\dfrac{{4{x^2} - 3x + 5}}{{{x^3} - 1}} - \dfrac{{1 - 2x}}{{{x^2} + x + 1}} - \dfrac{6}{{x - 1}} =  - \dfrac{{12x}}{{{x^3} - 1}}$

  • B

    $\dfrac{{4{x^2} - 3x + 5}}{{{x^3} - 1}} - \dfrac{{1 - 2x}}{{{x^2} + x + 1}} - \dfrac{6}{{x - 1}} = \dfrac{{12x}}{{{x^3} - 1}}$

  • C

    $\dfrac{{4{x^2} - 3x + 5}}{{{x^3} - 1}} - \dfrac{{1 - 2x}}{{{x^2} + x + 1}} - \dfrac{6}{{x - 1}} =  - \dfrac{x}{{{x^3} - 1}}$

  • D

    $\dfrac{{4{x^2} - 3x + 5}}{{{x^3} - 1}} - \dfrac{{1 - 2x}}{{{x^2} + x + 1}} - \dfrac{6}{{x - 1}} =  - \dfrac{{12x}}{{x - 1}}$

Đáp án của giáo viên lời giải hay : A

Phương pháp giải :

Sử dụng kiến thức quy đồng mẫu nhiều phân thức; cộng, trừ các phân thức cùng mẫu và rút gọn.

Chú ý rằng: \({x^3} - 1 = \left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)\) để tìm mẫu thức chung.

Lời giải chi tiết :

Điều kiện: $x \ne 1.$

$\begin{array}{l}\dfrac{{4{x^2} - 3x + 5}}{{{x^3} - 1}} - \dfrac{{1 - 2x}}{{{x^2} + x + 1}} - \dfrac{6}{{x - 1}}\\ = \dfrac{{4{x^2} - 3x + 5 - (1 - 2x)(x - 1) - 6({x^2} + x + 1)}}{{(x - 1)({x^2} + x + 1)}}\\ = \dfrac{{4{x^2} - 3x + 5 - x + 1 + 2{x^2} - 2x - 6{x^2} - 6x - 6}}{{(x - 1)({x^2} + x + 1)}}\\ = \dfrac{{ - 12x}}{{{x^3} - 1}}.\end{array}$

Câu hỏi 11 :

Tìm $P$ biết: $P + \dfrac{{4x - 12}}{{{x^3} - 3{x^2} - 4x + 12}} = \dfrac{3}{{x - 3}} - \dfrac{{{x^2}}}{{4 - {x^2}}}$

  • A

    \(P = \dfrac{x}{{x + 3}}\)

  • B

    \(P = \dfrac{x}{{x - 3}}\)

  • C

    \(P = \dfrac{{2x}}{{x - 3}}\)

  • D

    \(P = \dfrac{{x - 3}}{x}\)

Đáp án của giáo viên lời giải hay : B

Phương pháp giải :

Sử dụng quy tắc chuyển vế, quy tắc đổi dấu, trừ các phân thức khác mẫu, phân tích đa thức thành nhân tử và rút gọn.

Lời giải chi tiết :

ĐK: $x \ne {\rm{\{ }} - 2;2;3\} $.

$\begin{array}{l}P + \dfrac{{4x - 12}}{{{x^3} - 3{x^2} - 4x + 12}} = \dfrac{3}{{x - 3}} - \dfrac{{{x^2}}}{{4 - {x^2}}}\\P = \dfrac{3}{{x - 3}} - \dfrac{{{x^2}}}{{4 - {x^2}}} - \dfrac{{4x - 12}}{{{x^3} - 3{x^2} - 4x + 12}}\\P = \dfrac{3}{{x - 3}} + \dfrac{{{x^2}}}{{(x - 2)(x + 2)}} - \dfrac{{4x - 12}}{{{x^2}(x - 3) - 4(x - 3)}}\\P = \dfrac{{3\left( {{x^2} - 4} \right)}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {{x^2} - 4} \right)}} + \dfrac{{{x^2}\left( {x - 3} \right)}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {{x^2} - 4} \right)}} - \dfrac{{4x - 12}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {{x^2} - 4} \right)}}\end{array}$

$P = \dfrac{{3{x^2} - 12 + {x^3} - 3{x^2} - 4x + 12}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {{x^2} - 4} \right)}}$

$\begin{array}{l}P = \dfrac{{{x^3} - 4x}}{{(x - 3)(x - 2)(x + 2)}}\\P = \dfrac{{x({x^2} - 4)}}{{(x - 3)(x - 2)(x + 2)}} = \dfrac{x}{{x - 3}}\end{array}$

Câu hỏi 12 :

Thực hiện phép tính \(\dfrac{{3x + 15}}{{{x^2} - 4}}\,\,:\,\,\dfrac{{x + 5}}{{x - 2}}\)  ta được:

  • A

    \(\dfrac{{3(x - 2)}}{{x + 2}}\)

  • B

    \(\dfrac{{3(x + 5)}}{{x - 2}}\)

  • C

    \(\dfrac{3}{{x - 2}}\)

  • D

    \(\dfrac{3}{{x + 2}}\)

Đáp án của giáo viên lời giải hay : D

Phương pháp giải :

Áp dụng quy tắc chia hai phân thức đại số: \(\dfrac{A}{B}:\dfrac{C}{D} = \dfrac{A}{B}.\dfrac{D}{C} = \dfrac{{A.D}}{{B.C}}\)

Lời giải chi tiết :

$\dfrac{{3x + 15}}{{{x^2} - 4}}\,\,:\,\,\dfrac{{x + 5}}{{x - 2}} = \dfrac{{3x + 15}}{{{x^2} - 4}}\, \cdot \,\dfrac{{x - 2}}{{x + 5}} = \dfrac{{3(x + 5)}}{{(x - 2)(x + 2)}}\, \cdot \,\dfrac{{x - 2}}{{x + 5}} = \dfrac{3}{{x + 2}}.$

Câu hỏi 13 :

Rút gọn biểu thức \(\dfrac{{{x^4} + 4{x^2} + 5}}{{5{x^3} + 5}}\,\, \cdot \,\,\dfrac{{2x}}{{{x^2} + 4}}\,\, \cdot \,\,\dfrac{{3{x^3} + 3}}{{{x^4} + 4{x^2} + 5}}\)  ta được:

  • A

    \(\dfrac{{2x}}{{5({x^2} + 4)}}\)

  • B

    \(\dfrac{{6x}}{{5({x^2} + 4)}}\)

  • C

    \(\dfrac{{3x}}{{5({x^2} + 4)}}\)

  • D

    \(\dfrac{x}{{5({x^2} + 4)}}\)

Đáp án của giáo viên lời giải hay : B

Phương pháp giải :

Ta biến đổi để rút gọn các phân thức rồi thực hiện phép tính nhân phân thức.

Lời giải chi tiết :

\(\dfrac{{{x^4} + 4{x^2} + 5}}{{5{x^3} + 5}}\,\, \cdot \,\,\dfrac{{2x}}{{{x^2} + 4}}\,\, \cdot \,\,\dfrac{{3{x^3} + 3}}{{{x^4} + 4{x^2} + 5}} = \dfrac{{{x^4} + 4{x^2} + 5}}{{5({x^3} + 1)}}\,\, \cdot \,\,\dfrac{{2x}}{{{x^2} + 4}}\,\, \cdot \,\,\dfrac{{3({x^3} + 1)}}{{{x^4} + 4{x^2} + 5}} = \dfrac{{6x}}{{5({x^2} + 4)}}.\)

Câu hỏi 14 :

Biểu thức \(P = \dfrac{{x - 1}}{{2 - x}}\,\,:\,\,\dfrac{{x - 1}}{{x + 2}}\,\, \cdot \,\,\dfrac{{x - 2}}{{4 - {x^2}}}\)  có kết quả rút gọn là:

  • A

    \(\dfrac{1}{{2 - x}}\)

  • B

    \(\dfrac{{x + 2}}{{x - 2}}\)

  • C

    \(\dfrac{{x + 2}}{{2 - x}}\)

  • D

    \(\dfrac{1}{{x - 2}}\)

Đáp án của giáo viên lời giải hay : D

Phương pháp giải :

Áp dụng quy tắc chia, nhân các phân thức đại số, thứ tự thực hiện dãy phép tính.

Lời giải chi tiết :

\(P = \dfrac{{x - 1}}{{2 - x}}\,\,:\,\,\dfrac{{x - 1}}{{x + 2}}\,\, \cdot \,\,\dfrac{{x - 2}}{{4 - {x^2}}} = \dfrac{{x - 1}}{{2 - x}}\,\, \cdot \,\,\dfrac{{x + 2}}{{x - 1}}\,\, \cdot \,\,\dfrac{{ - \left( {2 - x} \right)}}{{(x + 2)(2 - x)}} = \dfrac{{ - 1}}{{2 - x}} = \dfrac{1}{{x - 2}}\)

Câu hỏi 15 :

Tìm biểu thức Q, biết: \(\dfrac{{5x}}{{{x^2} + 2x + 1}}\,\, \cdot \,\,Q = \dfrac{x}{{{x^2} - 1}}\)

  • A

    \(\dfrac{{x + 1}}{{x - 1}}\)

  • B

    \(\dfrac{{x - 1}}{{x + 1}}\)

  • C

    \(\dfrac{{x - 1}}{{5(x + 1)}}\)

  • D

    \(\dfrac{{x + 1}}{{5(x - 1)}}\)

Đáp án của giáo viên lời giải hay : D

Phương pháp giải :

+ Áp dụng quy tắc tìm phân thức chưa biết khi biết tích và thừa số

+ Thực hiện phép chia hai phân thức.

+ Chú ý đến các hằng đẳng thức để phân tích mẫu thức thành nhân tử

Lời giải chi tiết :

\(\begin{array}{l}\dfrac{{5x}}{{{x^2} + 2x + 1}}\,\, \cdot \,\,Q = \dfrac{x}{{{x^2} - 1}}\\ \Rightarrow Q = \dfrac{x}{{{x^2} - 1}}:\dfrac{{5x}}{{{x^2} + 2x + 1}} \\= \dfrac{x}{{{x^2} - 1}} \cdot \dfrac{{{x^2} + 2x + 1}}{{5x}} \\= \dfrac{x}{{(x - 1)(x + 1)}} \cdot \dfrac{{{{(x + 1)}^2}}}{{5x}} \\= \dfrac{{x + 1}}{{5(x - 1)}}\end{array}\)

Câu hỏi 16 :

Tìm x, biết: \(\dfrac{1}{x} \cdot \dfrac{x}{{x + 1}} \cdot \dfrac{{x + 1}}{{x + 2}} \cdot \dfrac{{x + 2}}{{x + 3}} \cdot \dfrac{{x + 3}}{{x + 4}} \cdot \dfrac{{x + 4}}{{x + 5}} \cdot \dfrac{{x + 5}}{{x + 6}} = 1\)

  • A

    \(x =  - 6\)

  • B

    \(x =  - 5\)   

  • C

    \(x =  - 7\)

  • D

    Không có $x$ thỏa mãn.

Đáp án của giáo viên lời giải hay : D

Phương pháp giải :

+ Tìm điều kiện 

+ Vận dụng quy tắc nhân phân thức, từ đó tìm được $x$.

Lời giải chi tiết :

Điều kiện: \(x \ne \left\{ {0; - 1; - 2; - 3; - 4; - 5; - 6} \right\}\)

\(\begin{array}{l}\dfrac{1}{x} \cdot \dfrac{x}{{x + 1}} \cdot \dfrac{{x + 1}}{{x + 2}} \cdot \dfrac{{x + 2}}{{x + 3}} \cdot \dfrac{{x + 3}}{{x + 4}} \cdot \dfrac{{x + 4}}{{x + 5}} \cdot \dfrac{{x + 5}}{{x + 6}} = 1\\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{{x + 6}} = 1\\ \Rightarrow x + 6 = 1\\ \Leftrightarrow x =  - 5 \, (KTM)\end{array}\)

Vậy phương trình vô nghiệm.

 

Câu hỏi 17 :

Thực hiện phép tính \(\dfrac{{x - 6}}{{{x^2} + 1}}\,\, \cdot \,\,\dfrac{{3{x^2} - 3x + 3}}{{{x^2} - 36}} + \dfrac{{x - 6}}{{{x^2} + 1}}\,\, \cdot \,\,\dfrac{{3x}}{{{x^2} - 36}}\)  ta được kết quả là

  • A

    \(\dfrac{3}{{x - 6}}\)

  • B

    \(x + 6\)   

  • C

    \(\dfrac{{x + 6}}{3}\)

  • D

    \(\dfrac{3}{{x + 6}}\)

Đáp án của giáo viên lời giải hay : D

Phương pháp giải :

+ Áp dụng quy tắc nhân chia hai hay nhiều phân thức, áp dụng tính chất phân phối của phép nhân và phép cộng, thứ tự thực hiện phép tính.

+ Sau đó phân tích đa thức thành nhân tử và rút gọn.

Lời giải chi tiết :

\(\dfrac{{x - 6}}{{{x^2} + 1}}\,\, \cdot \,\,\dfrac{{3{x^2} - 3x + 3}}{{{x^2} - 36}} + \dfrac{{x - 6}}{{{x^2} + 1}}\,\, \cdot \,\,\dfrac{{3x}}{{{x^2} - 36}}\)

\( = \dfrac{{x - 6}}{{{x^2} + 1}}\left( {\dfrac{{3{x^2} - 3x + 3}}{{{x^2} - 36}} + \dfrac{{3x}}{{{x^2} - 36}}} \right)\)

\( = \dfrac{{x - 6}}{{{x^2} + 1}} \cdot \dfrac{{3{x^2} - 3x + 3 + 3x}}{{{x^2} - 36}}\)

\( = \dfrac{{x - 6}}{{{x^2} + 1}} \cdot \dfrac{{3{x^2} + 3}}{{(x - 6)(x + 6)}}\)

\( = \dfrac{{x - 6}}{{{x^2} + 1}} \cdot \dfrac{{3({x^2} + 1)}}{{(x - 6)(x + 6)}} = \dfrac{3}{{x + 6}}.\)

Câu hỏi 18 :

Tìm biểu thức M, biết \(\dfrac{{x + 2y}}{{{x^3} - 8{y^3}}}\, \cdot \,M = \dfrac{{5{x^2} + 10xy}}{{{x^2} + 2xy + 4{y^2}}}\)

  • A

    \(M =  - 5x(x - 2y)\)

  • B

    \(M = 5x(x - 2y)\)   

  • C

    \(M = x(x - 2y)\)

  • D

    \(M = 5x(x + 2y)\)

Đáp án của giáo viên lời giải hay : B

Phương pháp giải :

Áp dụng quy tắc tìm phân thức chưa biết \(A.M = B \Rightarrow M = A:B\)

Sau đó sử dụng qui tắc nhân chia hai phân thức

Thực hiện phân tích đa thức thành nhân tử và rút gọn.

Lời giải chi tiết :

\(\begin{array}{l}\,\,\dfrac{{x + 2y}}{{{x^3} - 8{y^3}}}\, \cdot \,M = \dfrac{{5{x^2} + 10xy}}{{{x^2} + 2xy + 4{y^2}}}\\M = \dfrac{{5{x^2} + 10xy}}{{{x^2} + 2xy + 4{y^2}}}:\dfrac{{x + 2y}}{{{x^3} - 8{y^3}}}\\M = \dfrac{{5{x^2} + 10xy}}{{{x^2} + 2xy + 4{y^2}}} \cdot \dfrac{{{x^3} - 8{y^3}}}{{x + 2y}}\\M = \dfrac{{5x(x + 2y)}}{{{x^2} + 2xy + 4{y^2}}} \cdot \dfrac{{(x - 2y)({x^2} + 2xy + 4{y^2})}}{{x + 2y}}\\M = 5x(x - 2y).\end{array}\)

Câu hỏi 19 :

Thực hiện phép tính sau $\left( {\dfrac{{2x}}{{3x + 1}} - 1} \right):\left( {1 - \dfrac{{8{x^2}}}{{9{x^2} - 1}}} \right)$, ta được kết quả là:

  • A

    $\dfrac{{1 - 3x}}{{x - 1}}$

  • B

    $\dfrac{{3x - 1}}{{x - 1}}$

  • C

    $\dfrac{{ - (3x + 1)}}{{x - 1}}$

  • D

    $\dfrac{{1 - 3x}}{{ - x - 1}}$

Đáp án của giáo viên lời giải hay : A

Phương pháp giải :

+ Thực hiện quy đồng mẫu các phân thức trong từng ngoặc

+ Thực hiện nhân chia hai phân thức sau đó phân tích tử thức và mẫu thức thành nhân tử để rút gọn.

Lời giải chi tiết :

$\begin{array}{l}\left( {\dfrac{{2x}}{{3x + 1}} - 1} \right):\left( {1 - \dfrac{{8{x^2}}}{{9{x^2} - 1}}} \right) = \left( {\dfrac{{2x - 3x - 1}}{{3x + 1}}} \right):\left( {\dfrac{{9{x^2} - 1 - 8{x^2}}}{{9{x^2} - 1}}} \right)\\ = \dfrac{{ - x - 1}}{{3x + 1}}:\dfrac{{{x^2} - 1}}{{9{x^2} - 1}} = \dfrac{{ - x - 1}}{{3x + 1}}.\dfrac{{9{x^2} - 1}}{{{x^2} - 1}}\\ = \dfrac{{ - (x + 1)}}{{3x + 1}}.\dfrac{{(3x + 1)(3x - 1)}}{{(x + 1)(x - 1)}} = \dfrac{{1 - 3x}}{{x - 1}}.\end{array}$

Câu hỏi 20 :

Thực hiện phép tính $C = \dfrac{{2{x^2} + 4x + 8}}{{{x^3} - 3{x^2} - x + 3}}:\dfrac{{{x^3} - 8}}{{(x + 1)(x - 3)}}$

  • A

    \(C = \dfrac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}}{2}\)

  • B

    \(C = \dfrac{1}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}}\)

  • C

     \(C = \dfrac{{ - 2}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}}\)    

  • D

    \(C = \dfrac{2}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}}\)

Đáp án của giáo viên lời giải hay : D

Phương pháp giải :

Áp dụng qui tắc chia hai phân thức và phân tích tử thức, mẫu thức thành nhân tử để rút gọn biểu thức

Lời giải chi tiết :

$C = \dfrac{{2{x^2} + 4x + 8}}{{{x^3} - 3{x^2} - x + 3}}:\dfrac{{{x^3} - 8}}{{(x + 1)(x - 3)}}$

$\begin{array}{l}C = \dfrac{{2({x^2} + 2x + 4)}}{{{x^2}(x - 3) - (x - 3)}}.\dfrac{{(x + 1)(x - 3)}}{{(x - 2)({x^2} + 2x + 4)}}\\\,\,\,\,\, = \dfrac{{2(x + 1)(x - 3)}}{{(x - 3)({x^2} - 1)(x - 2)}}\\\,\,\,\,\, = \dfrac{2}{{(x - 1)(x - 2)}}.\end{array}$

Vậy \(C = \dfrac{2}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}}\)

Câu hỏi 21 :

Cho $Q = \left( {\dfrac{{{x^2} + 3x}}{{{x^3} + 3{x^2} + 9x + 27}} + \dfrac{3}{{{x^2} + 9}}} \right):\left( {\dfrac{1}{{x - 3}} - \dfrac{{6x}}{{{x^3} - 3{x^2} + 9x - 27}}} \right).$ Rút gọn $Q$  ta được.

  • A

    \(Q = \dfrac{1}{{{x^2} + 9}}\)

  • B

    \(Q = \dfrac{{x - 3}}{{x + 3}}\)

  • C

    \(Q = \dfrac{1}{{x - 3}}\)      

  • D

    \(Q = \dfrac{{x + 3}}{{x - 3}}\)

Đáp án của giáo viên lời giải hay : D

Phương pháp giải :

- Tìm điều kiện để phân thức có nghĩa

- Phân tích các mẫu thức thành nhân tử

-  Qui đồng các phân thức và thu gọn biểu thức

Lời giải chi tiết :

$Q = \left( {\dfrac{{{x^3} + 3x}}{{{x^3} + 3{x^2} + 9x + 27}} + \dfrac{3}{{{x^2} + 9}}} \right):\left( {\dfrac{1}{{x - 3}} - \dfrac{{6x}}{{{x^3} - 3{x^2} + 9x - 27}}} \right)$ (ĐK: \(x \ne  \pm 3\))

$\begin{array}{l}Q = \left( {\dfrac{{{x^2} + 3x}}{{{x^3} + 3{x^2} + 9x + 27}} + \dfrac{3}{{{x^2} + 9}}} \right):\left( {\dfrac{1}{{x - 3}} - \dfrac{{6x}}{{{x^3} - 3{x^2} + 9x - 27}}} \right)\\\,\,\,\,\, = \left( {\dfrac{{{x^2} + 3x}}{{{x^2}(x + 3) + 9(x + 3)}} + \dfrac{3}{{{x^2} + 9}}} \right):\left( {\dfrac{1}{{x - 3}} - \dfrac{{6x}}{{{x^2}(x - 3) + 9(x - 3)}}} \right)\\\,\,\,\,\, = \dfrac{{{x^2} + 3x + 3x + 9}}{{\left( {{x^2} + 9} \right)\left( {x + 3} \right)}}:\dfrac{{{x^2} + 9 - 6x}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {{x^2} + 9} \right)}}\\\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{{{(x + 3)}^2}}}{{({x^2} + 9)(x + 3)}}.\dfrac{{(x - 3)({x^2} + 9)}}{{{{(x - 3)}^2}}}\\\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{x + 3}}{{x - 3}}.\end{array}$

Câu hỏi 22 :

Cho biểu thức $P = \dfrac{{10x}}{{{x^2} + 3x - 4}} - \dfrac{{2x - 3}}{{x + 4}} + \dfrac{{x + 1}}{{1 - x}}$

Câu 22.1

Rút gọn \(P\)  ta được

  • A

    $P = \dfrac{{7 - 3x}}{{x + 4}}$

  • B

    $P = \dfrac{{ - 3x - 7}}{{x + 4}}$

  • C

    $P = \dfrac{{ - 3x + 7}}{{x + 4}}$

  • D

    $P = \dfrac{{3x + 7}}{{x + 4}}$

Đáp án của giáo viên lời giải hay : C

Phương pháp giải :

Sử dụng kiến thức: ĐKXĐ của phân thức; cộng, trừ phân thức đại số, phân tích đa thức thành nhân tử và thu gọn.

Lời giải chi tiết :

ĐK: \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 3x - 4 \ne 0\\x + 4 \ne 0\\1 - x \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {x - 1} \right)\left( {x + 4} \right) \ne 0\\x \ne 1\\x \ne  - 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne 1\\x \ne  - 4\end{array} \right..\)

$\begin{array}{l}P = \dfrac{{10x}}{{{x^2} + 3x - 4}} - \dfrac{{2x - 3}}{{x + 4}} + \dfrac{{x + 1}}{{1 - x}}\\ = \dfrac{{10x}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 4} \right)}} - \dfrac{{2x - 3}}{{x + 4}} - \dfrac{{x + 1}}{{x - 1}}\\ = \dfrac{{10x - (2x - 3)(x - 1) - (x + 1)(x + 4)}}{{(x - 1)(x + 4)}}\\ = \dfrac{{10x - 2{x^2} + 2x + 3x - 3 - {x^2} - 4x - x - 4}}{{(x - 1)(x + 4)}}\\ = \dfrac{{ - 3{x^2} + 10x - 7}}{{(x - 1)(x + 4)}}\\ =  - \dfrac{{ - (x - 1)(3x - 7)}}{{(x - 1)(x + 4)}}\\ = \dfrac{{ - 3x + 7}}{{x + 4}}.\end{array}$                        

Vậy $P = \dfrac{{ - 3x + 7}}{{x + 4}}$ với \(x \ne 1;x \ne -4\)

Câu 22.2

Tính giá trị của $P$ khi $x =  - 1.$

  • A

    $P = \dfrac{7}{4}.$

  • B

    $P = \dfrac{4}{3}.$

  • C

    $P = \dfrac{{10}}{3}.$

  • D

    $P =  - \dfrac{{10}}{3}.$

Đáp án của giáo viên lời giải hay : C

Phương pháp giải :

Sử dụng kết quả câu trước $P = \dfrac{{ - 3x + 7}}{{x + 4}}$ với \(x \ne 1;x \ne -4\)

+) Xét xem giá trị của x có thỏa mãn ĐKXĐ hay không.

+) Nếu $x$ thỏa mãn thì thay giá trị của $x$ vào biểu thức $P$ vừa rút gọn được và tính giá trị biểu thức.

Lời giải chi tiết :

Theo câu trước ta có:  $P = \dfrac{{ - 3x + 7}}{{x + 4}}$ với \(x \ne 1;x \ne -4\)

Khi $x =  - 1(t/m) \Rightarrow P = \dfrac{{ - 3.( - 1) + 7}}{{ - 1 + 4}} = \dfrac{{10}}{3}$

Vậy khi $x =  - 1$ thì $P = \dfrac{{10}}{3}.$

Câu 22.3

Tìm $x \in \mathbb{Z}$ để $P + 1 \in \mathbb{Z}$.

  • A

    $x \in \left\{ { - 23; - 5; - 3} \right\}$

  • B

    $x \in \left\{ { - 23; - 5; - 3;15} \right\}$

  • C

    $x \in \left\{ { - 5; - 3;15} \right\}$

  • D

    $x \in \left\{ { - 1; - 19;1;19} \right\}$

Đáp án của giáo viên lời giải hay : B

Phương pháp giải :

+) Tìm ĐKXĐ của P.

+) Tách \(P\)  về dạng \(P = a + \dfrac{b}{{MS}},\,\,a,\,\,b \in Z.\)

+) Đề \(P \in Z\) thì \(\dfrac{b}{{MS}} \in Z \Leftrightarrow MS \in U\left( b \right).\)

+) Tìm U(b) sau đó lập bảng, giải phương trình tìm x.

+) Xét xem các giá trị của x có thỏa mãn ĐKXĐ của bài toán hay không rồi kết luận x.

Lời giải chi tiết :

Theo câu trước ta có $P = \dfrac{{ - 3x + 7}}{{x + 4}}$ với \(x \ne 1;x \ne -4\), nên

$P + 1 = \dfrac{{ - 3x + 7}}{{x + 4}} + 1 = \dfrac{{ - 3x + 7 + x + 4}}{{x + 4}} = \dfrac{{ - 2x + 11}}{{x + 4}} =  - 2 + \dfrac{{19}}{{x + 4}}$

 $x \in Z$ để $P + 1 \in Z \Rightarrow \left( {x + 4} \right) \in U\left( {19} \right) = \left\{ { \pm 1;\, \pm 19} \right\}$

Vậy $x \in \left\{ { - 23; - 5; - 3;15} \right\}$ thì $P + 1 \in Z$.

Câu hỏi 23 :

Cho $x;y;z \ne 0$ thỏa mãn $x + y + z = 0$. Chọn câu đúng về biểu thức$A = \dfrac{{xy}}{{{x^2} + {y^2} - {z^2}}} + \dfrac{{yz}}{{{y^2} + {z^2} - {x^2}}} + \dfrac{{zx}}{{{z^2} + {x^2} - {y^2}}}$.

  • A

    $A <  - 2$

  • B

    $0 < A < 1$

  • C

    $A > 0$

  • D

    $A <  - 1$

Đáp án của giáo viên lời giải hay : D

Phương pháp giải :

+ Sử dụng giả thiết để tính $x^2+y^2-z^2$ theo $xy$, $y^2+z^2-x^2$ theo $yz$ và $x^2+z^2-y^2$ theo $xz.$

+ Từ đó có biểu thức đơn giản hơn để ta rút gọn và tính toán

Lời giải chi tiết :

Từ $x + y + z = 0 \Rightarrow x + y =  - z \Rightarrow {x^2} + 2xy + {y^2} = {z^2} \Rightarrow {x^2} + {y^2} - {z^2} =  - 2xy$.

Tương tự ta có : $\left\{ \begin{array}{l}{y^2} + {z^2} - {x^2} =  - 2yz\\{z^2} + {x^2} - {y^2} =  - 2zx\end{array} \right.$                     

Do đó: $A = \dfrac{{xy}}{{ - 2xy}} + \dfrac{{yz}}{{ - 2yz}} + \dfrac{{zx}}{{ - 2zx}} =  - \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2} =  - \dfrac{3}{2}$

Vậy $A =  - \dfrac{3}{2}.$

Suy ra \(A <  - 1.\)

Câu hỏi 24 :

Giá trị lớn nhất của phân thức $\dfrac{5}{{{x^2} - 6x + 10}}$ là :

  • A

    $5$

  • B

     $ - 5$

  • C

    $2$     

  • D

    $ - 2$

Đáp án của giáo viên lời giải hay : A

Phương pháp giải :

- Biến đổi mẫu thức đã cho về dạng ${(A + B)^2} + C$

- Đánh giá biểu thức, từ đó tìm GTLN của biểu thức.

Lời giải chi tiết :

Ta có: $\dfrac{5}{{{x^2} - 6x + 10}} = \dfrac{5}{{{x^2} - 6x + 9 + 1}} = \dfrac{5}{{{{(x - 3)}^2} + 1}}$

Vì ${(x - 3)^2} \ge 0 \Rightarrow {(x - 3)^2} + 1 \ge 1 \Rightarrow \dfrac{1}{{{{(x - 3)}^2} + 1}} \le 1 \Rightarrow \dfrac{5}{{{{(x - 3)}^2} + 1}} \le 5$

Vậy GTLN của phân thức là $5$.

Dấu “=” xảy ra khi \({\left( {x - 3} \right)^2} = 0\) hay \(x = 3\).