Đề bài
I. PHẦN TRẮC NGHIỆM
Câu 1. Kí hiệu nào sau đây viết đúng mệnh đề: “\(\sqrt 2 \) không là số hữu tỉ”
A. \(\sqrt 2 = \mathbb{Q}\) B. \(\sqrt 2 \in \mathbb{Q}\) C. \(\sqrt 2 \subset \mathbb{Q}\) D. \(\sqrt 2 \notin \mathbb{Q}\)
Câu 2. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A. \(\forall x \in \mathbb{R},{x^2} > 4 \Rightarrow x > - 2\). B. \(\forall x \in \mathbb{R},{x^2} > 4 \Rightarrow x > 2\). C. \(\forall x \in \mathbb{R},x > - 2 \Rightarrow {x^2} > 4\). D. \(\forall x \in \mathbb{R},x > 2 \Rightarrow {x^2} > 4\)
Câu 3. Cho A là tập hợp các số tự nhiên chẵn, \(B = \{ n \in \mathbb{N}|n \le 8\} \) và \(C = \{ n \in \mathbb{N}|2 \le n \le 5\} \).
Tìm tập hợp \(A \cap \left( {B \cup C} \right)\)
A. \(\{ 2;4\} \) B. \(\{ 2\} \). C. \(\{ 4\} \). D. \(\emptyset \).
Câu 4. Cho \(A = ( - 2;5]\) và \(B = (m; + \infty )\). Tìm \(m \in \mathbb{Z}\) để \(A{\rm{\backslash }}B\) chứa đúng 3 số nguyên là:
A. \(0\). B. \(1\). C. \(2\) D. \(3\)
Câu 5. Để chuẩn bị cho các tiết mục văn nghệ, lớp 10B cử ra 12 bạn tham gia tiết mục múa và 7 bạn vào tiết mục hát. Biết rằng có 3 bạn tham gia cả hai tiết mục và 22 bạn không tham gia văn nghệ. Số học sinh lớp 10B là:
A. \(36\). B. \(38\). C. \(40\). D. \(45\).
Câu 6. Miền nghiệm của bất phương trình \(x - 2y \ge 4\) là:
A. 
B. 
C. 
D. 
Câu 7. Giá trị lớn nhất của \(F(x;y) = x - 3y\), với điều kiện \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\0 \le y \le 5\\x + y - 2 \ge 0\\3x - y \le 6\end{array} \right.\)
A.\(2\) B. \( - 6\) C.\( - \frac{{34}}{3}\) D. \( - 15\)
Câu 8. Tập xác định của hàm số \(y = \frac{{x - 2}}{{{x^2} - 9}}\)
A. \(\mathbb{R}\). B. \(\mathbb{R}{\rm{\backslash }}\{ 3\} \) C. \(\mathbb{R}{\rm{\backslash }}\{ - 3;3\} \). D. \(\mathbb{R}{\rm{\backslash }}\{ - 3;2;3\} \).
Câu 9. Parabol \((P):y = {x^2} - 6x + 5\) có số điểm chung với trục hoành là
A.\(0\) B. \(1\). C. \(2\). D. \(3\).
Câu 10. Cho hàm số \(f(x)\) xác định trên \(\mathbb{R}\) và có bảng biến thiên như sau:
Khẳng định nào sau đây sai?
A. \(f( - 3) > f( - 2)\) B. \(f(2) < f(\sqrt 5 )\) C. \(f(1) < f(0)\) D. \(f(2020) > f(2022)\)
Câu 11. Đường thẳng nào dưới đây song song với đường thẳng \(y = \sqrt 2 x + 1\)
A. \(y = - \sqrt 2 x + 1\) B. \(y = \frac{{\sqrt 2 }}{2}x - 3\) C. \(y = \sqrt 2 x + 5\). D. \(y = \sqrt 2 - 5x\).
Câu 12. Cho hàm số \(f(x) = {x^2} - 4x + 3\). Khẳng định nào sau đây đúng?
A. Hàm số nghịch biến trên \(( - \infty ;2)\), đồng biến trên \((2; + \infty )\).
B. Hàm số nghịch biến trên \((2; + \infty )\), đồng biến trên \(( - \infty ;2)\).
C. Hàm số nghịch biến trên \(\mathbb{R}\).
D. Hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\).
Câu 13. Điểm \(A(1;2)\) thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình nào dưới đây?
A. \(\left\{ \begin{array}{l}x + 2y > 7\\3x - y < 5\end{array} \right.\) B. \(\left\{ \begin{array}{l}2x - y > 7\\x + y \le 3\end{array} \right.\) C. \(\left\{ \begin{array}{l}3x + 4 \le 10\\4x - y > 3\end{array} \right.\) D. \(\left\{ \begin{array}{l}2x + 5y > 8\\x - 3y \le 4\end{array} \right.\)
Câu 14. Cho hàm số \(f(x) = \left\{ \begin{array}{l}\sqrt {x + 1} - 2\quad (x \ge 1)\\3{x^2} - x + 1\quad (x < 1)\end{array} \right.\). Giá trị của \(2.f( - 3) - 4.f(3)\) là:
A. \(58\) B. \(62\) C. \( - 1\). D. \(1\).
Câu 15. Cho bất phương trình \(2(2x - 3y) - (2x - y + 5) > x - 3y + 1\). Điểm nào dưới đây thuộc miền nghiệm của hệ đã cho?
A. \(O(0;0)\) B. \(A(1;0)\). C. \(B(3; - 2)\). D. \(C(0;2)\)
II. PHẦN TỰ LUẬN
Câu 1. Xác định các tập hợp sau và biểu diễn chúng trên trục số.
a) \(( - \infty ;3) \cap ( - 4; + \infty )\) b) \((1;6] \cup ( - 2;5]\) c) \([ - 3;7){\rm{\backslash }}(1; + \infty )\) d) \(\mathbb{R}{\rm{\backslash }}( - 1;8]\)
Câu 2. Nhà cô Minh có mảnh vườn rộng \(8{m^2}\). Cô dự định trồng cà chua và cải bắp trên toàn bộ mảnh vườn đó. Nếu trồng cà chua thì cần 20 công và thu được 300 nghìn đồng trên mỗi \({m^2}\). Nếu trồng cải bắp thì cần 30 công và thu được 400 nghìn đồng trên mỗi \({m^2}\). Hỏi cần cần trồng mỗi loại cây trên diện tích bao nhiêu để tthu được nhiều tiền nhất mà tổng số công không quá 180?
Câu 3.
a) Xác định parabol (P) biết \((P):y = a{x^2} + bx + c\) đi qua A(0;5) và có đỉnh \(I(3; - 4)\)
b) Xét sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số trên.
Câu 4. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất (nếu có) của hàm số: \(y = 2{x^2} - 4x + 3\) trên đoạn [-1;4].
Lời giải chi tiết
I. PHẦN TRẮC NGHIỆM
|
1. D |
2. D |
3. A |
4. B |
5. B |
|
6. B |
7. A |
8. C |
9. C |
10. C |
|
11. C |
12. A |
13. D |
14. B |
15. C |
Câu 1:
Cách giải:
Tập hợp các số hữu tỉ: \(\mathbb{Q}\)
“\(\sqrt 2 \) không là số hữu tỉ” viết là: \(\sqrt 2 \notin \mathbb{Q}\)
Chọn D.
Câu 2:
Cách giải:
Mệnh đề “\(\forall x \in \mathbb{R},{x^2} > 4 \Rightarrow x > - 2\)” sai, chẳng hạn \(x = - 3\) thì \({x^2} > 4\) nhưng \(x < - 2\)
Mệnh đề “\(\forall x \in \mathbb{R},{x^2} > 4 \Rightarrow x > 2\)” sai, chẳng hạn \(x = - 3\) thì \({x^2} > 4\) nhưng \(x < 2\)
Mệnh đề “\(\forall x \in \mathbb{R},x > - 2 \Rightarrow {x^2} > 4\)” sai, chẳng hạn \(x = 0 > - 2\) nhưng \({x^2} < 4\)
Mệnh đề “\(\forall x \in \mathbb{R},x > 2 \Rightarrow {x^2} > 4\)” đúng
Chọn D.
Câu 3:
Phương pháp:
Cho A là tập hợp các số tự nhiên chẵn, \(B = \{ n \in \mathbb{N}|n \le 8\} \) và \(C = \{ n \in \mathbb{N}|2 \le n \le 5\} \).
Tìm tập hợp \(A \cap \left( {B \cup C} \right)\)
Cách giải:
\(A = \{ 0;2;4;6;8;...\} \)
\(B = \{ 0;1;2;3;4;5;6;7;8\} \)
\(C = \{ 2;3;4;5\} \).
Ta có: \(B \cup C = \{ 2;3;4;5\} = C \Rightarrow A \cap \left( {B \cup C} \right) = A \cap C = \{ 2;4\} \)
Chọn A.
Câu 4:
Cách giải:
+ Nếu \(m \ge 5\) thì \(A{\rm{\backslash }}B = ( - 2;5]{\rm{\backslash }}(m; + \infty ) = A = ( - 2;5]\), chứa 7 số nguyên là -1 ; 0 ;1 ;2 ;3 ;4 ;5 (nhiều hơn 3) nên ta loại trường hợp m > 5.
+ Để \(A{\rm{\backslash }}B \ne \emptyset \) thì m>-2. Xét trường hợp -2<m<5, khi đó \(A{\rm{\backslash }}B = ( - 2;5]{\rm{\backslash }}(m; + \infty ) = ( - 2;m]\)
Chứa 3 số nguyên -1 ;0 ;1 thì m=1.
Chọn B.
Câu 5:
Phương pháp:
Thay cặp số vào BPT, cặp số nào cho ta mệnh đề đúng thì cặp số đó là nghiệm của BPT đã cho.
Để chuẩn bị cho các tiết mục văn nghệ, lớp 10B cử ra 12 bạn tham gia tiết mục múa và 7 bạn vào tiết mục hát. Biết rằng có 3 bạn tham gia cả hai tiết mục và 22 bạn không tham gia văn nghệ. Số học sinh lớp 10B là:
Gọi A là tập hợp các học sinh tham gia tiết mục múa.
B là là tập hợp các học sinh tham gia tiết mục hát.
Cách giải:
Gọi A là tập hợp các học sinh tham gia tiết mục múa.
B là là tập hợp các học sinh tham gia tiết mục hát.
Suy ra : \(A \cup B\) là tập hợp các học sinh tham gia văn nghệ.
\(A \cap B\) là tập hợp các học sinh tham gia cả hai tiết mục.
Ta có : \(n(A) = 12;n(B) = 7;n(A \cap B) = 3\)
\( \Rightarrow \) Số học sinh tham gia văn nghệ là : \(n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B) = 12 + 7 - 3 = 16\) (học sinh)
Số học sinh lớp 10B (gồm học sinh tham gia văn nghệ và các học sinh không tham gia văn nghệ) là : \(16 + 22 = 38\) (học sinh)
Chọn B.
Câu 6:
Phương pháp:
Xác định đường thẳng \(x - 2y = 4\) và xét một điểm (không thuộc đường thẳng) xem có thuộc miền nghiệm hay không.
Cách giải:
Đường thẳng \(x - 2y = 4\) đi qua điểm có tọa độ (4;0) và (0; -2) => Loại C, D.
Xét điểm O(0;0), ta có: \(0 - 2.0 = 0 < 4\) nên O không thuộc miền nghiệm.
Chọn B.
Câu 7:
Phương pháp:
Bước 1: Biểu diễn miền nghiệm, xác định các đỉnh của miền nghiệm
Bước 2: Thay tọa độ các đỉnh vào \(F(x;y) = x - 3y\), kết luận giá trị nhỏ nhất.
Cách giải:
Xét hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\0 \le y \le 5\\x + y - 2 \ge 0\\3x - y \le 6\end{array} \right.\)
Biểu diễn miền nghiệm của hệ, ta được
Miền nghiệm là miền tứ giác ABCD trong đó \(A\left( {0;2} \right),{\rm{ }}B\left( {0;5} \right),{\rm{ }}C\left( {\frac{{11}}{3};5} \right),D(2;0)\)
Thay tọa độ các điểm A, B, C, D vào \(F(x;y) = x - 3y\) ta được
\(F(0;2) = 0 - 3.2 = - 6\)
\(F(0;5) = 0 - 3.5 = - 15\)
\(F\left( {\frac{{11}}{3};5} \right) = \frac{{11}}{3} - 3.5 = - \frac{{34}}{3}\)
\(F(2;0) = 2 - 3.0 = 2\)
Vậy giá trị lớn nhất của F bằng 2.
Chọn A.
Câu 8:
Phương pháp:
\(\frac{{f(x)}}{{g(x)}}\) xác định khi \(g(x) \ne 0\)
Cách giải:
Hàm số \(y = \frac{{x - 2}}{{{x^2} - 9}}\) xác định khi \({x^2} - 9 \ne 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne 3\\x \ne - 3\end{array} \right.\)
Tập xác định là \(\mathbb{R}{\rm{\backslash }}\{ - 3;3\} \)
Chọn C.
Câu 9:
Phương pháp:
Số giao điểm của Parabol \((P):y = f(x)\) với trục hoành là số nghiệm của phương trình \(f(x) = 0\).
Cách giải:
Xét phương trình hoành độ giao điểm của (P) với trục hoành là:
\(\begin{array}{l}{x^2} - 6x + 5 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 5\\x = 1\end{array} \right.\end{array}\)
PT có 2 nghiệm phân biệt nên parabol có đúng 2 điểm chung với trục hoành
Chọn C.
Câu 10:
Cách giải:
Từ bảng biến thiên ta suy ra
Hàm số đồng biến trên \(( - 1;3)\)
Hàm số nghịch biến trên \(( - \infty ; - 1)\) và \((3; + \infty )\)
+ Vì \( - 3, - 2 \in ( - \infty ;1)\) và \( - 3 < - 2\) nên \(f( - 3) > f( - 2)\) => A đúng.
+ Vì \(2,\sqrt 5 \in ( - 1;3)\) và \(2 < \sqrt 5 \) nên \(f(2) < f(\sqrt 5 )\) => B đúng.
+ Vì \(0,1 \in ( - 1;3)\) và \(0 < 1\) nên \(f(0) < f(1)\) => C sai.
+ Vì \(2000,2022 \in (3; + \infty )\) và \(2000 < 2022\) nên \(f(2020) > f(2022)\) => D đúng.
Chọn C.
Câu 11:
Phương pháp:
Đường thẳng song song với đường thẳng \(y = ax + b\) có dạng \(y = ax + b'\) với \(b \ne b'\)
Cách giải:
Đường thẳng song song với đường thẳng \(y = \sqrt 2 x + 1\) có dạng \(y = \sqrt 2 x + b'\) với \(b' \ne 1\)
Chọn C.
Câu 12:
Cách giải:
Xét hàm số \(f(x) = {x^2} - 4x + 3\), có \(a = 1 > 0,b = - 4,c = 3\)
\( \Rightarrow \frac{{ - b}}{{2a}} = 2;\frac{{ - \Delta }}{{4a}} = \frac{{ - {{( - 4)}^2} + 4.1.3}}{4} = - 1\)
Bảng biến thiên:
Hàm số đồng biến trên \((2; + \infty )\) và nghịch biến trên \(( - \infty ;2)\).
Chọn A.
Câu 13.
Phương pháp:
Thay tọa độ điểm A vào hệ BPT, hệ nào cho ta các mệnh đề đúng thì điểm A thuộc miền nghiệm của hệ BPT đó.
Cách giải
+ Xét hệ \(\left\{ \begin{array}{l}x + 2y > 7\\3x - y < 5\end{array} \right.\), thay \(x = 1,y = 2\) ta được: \(1 + 2.2 > 7\) sai nên A(1;2) không thuộc miền nghiệm của hệ BPT.
+ Xét hệ \(\left\{ \begin{array}{l}2x - y > 7\\x + y \le 3\end{array} \right.\), thay \(x = 1,y = 2\) ta được: \(2.1 - 2 > 7\) sai nên A(1;2) không thuộc miền nghiệm của hệ BPT.
+ Xét hệ \(\left\{ \begin{array}{l}3x + 4 \le 10\\4x - y > 3\end{array} \right.\), thay \(x = 1,y = 2\) ta được: \(4.1 - 2 > 3\) sai nên A(1;2) không thuộc miền nghiệm của hệ BPT.
+ Xét hệ \(\left\{ \begin{array}{l}2x + 5y > 8\\x - 3y \le 4\end{array} \right.\), thay \(x = 1,y = 2\) ta được: \(\left\{ \begin{array}{l}2.1 + 5.2 > 8\\1 - 3.2 \le 4\end{array} \right.\) đúng nên A(1;2) thuộc miền nghiệm của hệ BPT.
Chọn D.
Câu 14:
Cách giải:
Tại \(x = - 3 < 1\) thì \(f( - 3) = 3.{( - 3)^2} - ( - 3) + 1 = 31\)
Tại \(x = 2 \ge 1\) thì \(f(3) = \sqrt {3 + 1} - 2 = 0\)
\( \Rightarrow 2.f( - 3) - 4.f(3) = 2.31 - 4.0 = 62\)
Chọn B.
Câu 15.
Cách giải:
Ta có: \(2(2x - 3y) - (2x - y + 5) > x - 3y + 1\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 4x - 6y - 2x + y - 5 - x + 3y - 1 > 0\\ \Leftrightarrow x - 2y - 6 > 0\end{array}\)
Thay tọa độ các điểm vào BPT:
+ Vì \(0 - 2.0 - 6 = - 6 < 0\) nên \(O(0;0)\) không thuộc miền nghiệm
+ Vì \(1 - 2.0 - 6 = - 5 < 0\) nên \(A(1;0)\) không thuộc miền nghiệm
+ Vì \(3 - 2.( - 2) - 6 = 1 > 0\) nên \(B(3; - 2)\) thuộc miền nghiệm
+ Vì \(0 - 2.2 - 6 = - 10 < 0\) nên \(C(0;2)\) không thuộc miền nghiệm
Chọn C
II. PHẦN TỰ LUẬN
Câu 1 (TH):
Phương pháp:
a) \(A \cap B = \{ x \in A|x \in B\} \)
b) \(A \cup B = \{ x|x \in A\) hoặc \(x \in B\} \)
c) \(A{\rm{\backslash }}B = \{ x \in A|x \notin B\} \)
Cách giải:
a) Biểu diễn hai tập \(( - \infty ;3)\) và \(( - 4; + \infty )\) trên trục số, ta được:
Giao của hai tập hợp: \(( - \infty ;3) \cap ( - 4; + \infty ) = ( - 4;3)\)
b) Biểu diễn hai tập \((1;6]\) và \(( - 2;5]\) trên trục số, ta được:
Hợp của hai tập hợp: \((1;6] \cup ( - 2;5] = ( - 2;6]\)
c) Biểu diễn hai tập \(( - 3;7]\) và \((1; + \infty )\) trên trục số, ta được:
Hiệu của hai tập hợp: \([ - 3;7){\rm{\backslash }}(1; + \infty ) = [ - 3;1]\)
d) Biểu diễn tập \(( - 1;8]\) trên trục số, ta được:
Hiệu của hai tập hợp: \(\mathbb{R}{\rm{\backslash }}( - 1;8] = ( - \infty ; - 1] \cup (8; + \infty )\)
Câu 2:
Nhà cô Minh có mảnh vườn rộng \(8{m^2}\). Cô dự định trồng cà chua và cải bắp trên toàn bộ mảnh vườn đó. Nếu trồng cà chua thì cần 20 công và thu được 300 nghìn đồng trên mỗi \({m^2}\). Nếu trồng cải bắp thì cần 30 công và thu được 400 nghìn đồng trên mỗi \({m^2}\). Hỏi cần cần trồng mỗi loại cây trên diện tích bao nhiêu để tthu được nhiều tiền nhất mà tổng số công không quá 180?
Cách giải:
Gọi diện tích trồng cà chua và cải bắp lần lượt là x, y (đơn vị: \({m^2}\)). \((x,y \ge 0)\)
Mảnh vườn rộng \(8{m^2}\) nên ta có: \(x + y \le 8\)
Khi trồng x \({m^2}\) cà chua thì cần \(20x\) công và thu được \(300x\) nghìn đồng
Khi trồng y \({m^2}\) cải bắp thì cần \(30x\) công và thu được \(400x\) nghìn đồng
Tổng số công không quá 180 nên ta có: \(20x + 30y \le 180\) hay \(2x + 3y \le 18\)
Tổng số tiền thu được là: \(F(x;y) = 300x + 400y\)
Ta có hệ bất phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}0 \le x \le 8\\0 \le y \le 8\\x + y \le 8\\2x + 3y \le 18\end{array} \right.\)
Biểu diễn miền nghiệm trên hệ trục Oxy, ta được:
Miền nghiệm là miền tứ giác ABCD (kể cả các cạnh) , trong đó \(A(0;6),B(6;2),C(8;0),O(0;0)\)
Lần lượt thay tọa độ các điểm A, B, C, D vào biểu thức \(F(x;y) = 300x + 400y\) ta được:
\(\begin{array}{l}F(0;0) = 300.0 + 400.0 = 0\\F(0;6) = 300.0 + 400.6 = 2400\\F(2;6) = 300.2 + 400.6 = 3000\\F(8;0) = 300.8 + 400.0 = 2400\end{array}\)
Do đó F đạt giá trị lớn nhất bằng 3000 tại \(x = 2;y = 6\)
Vậy cô Minh cần mua trồng \(2{m^2}\) cà chua và \(6{m^2}\) cải bắp.
Câu 3:
Cách giải:
a) Parabol \((P):y = a{x^2} + bx + c\) đi qua A(0;5) nên \(5 = a{.0^2} + b.0 + c \Leftrightarrow c = - 5\)
Lại có: (P) có đỉnh \(I(3; - 4)\)
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{{ - b}}{{2a}} = 3\\a{.3^2} + b.3 + 5 = - 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}6a + b = 0\\9a + 3b = - 9\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = - 6\end{array} \right.\)
Vậy parabol đó là \((P):y = {x^2} - 6x + 5\)
b) Parabol \((P):y = {x^2} - 6x + 5\) có \(a = 1 > 0,b = - 6\)
Bảng biến thiên
Hàm số đồng biến trên \((3; + \infty )\) và nghịch biến trên \(( - \infty ;3)\).
+ Vẽ đồ thị
Đỉnh \(I(3; - 4)\)
(P) giao Oy tại điểm \(A\left( {0;5} \right)\)
(P) giao Ox tại \(B(1;0)\) và \(C(5;0)\)
Điểm \(D(5;6)\) đối xứng với \(A\left( {0;5} \right)\) qua trục đối xứng.
Câu 4. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất (nếu có) của hàm số: \(y = 2{x^2} - 4x + 3\) trên đoạn [-1;4].
Cách giải:
Hàm số \(y = 2{x^2} - 4x + 3\) có \(a = 2 > 0,b = - 4 \Rightarrow - \frac{b}{{2a}} = 1;\;y(1) = 1\).
Ta có bảng biến thiên
Mà \(f( - 1) = 9,f(4) = 19,f(1) = 1\)
\( \Rightarrow \) Trên [-1;4]
Hàm số đạt GTLN bằng 19 tại \(x = 4\), đạt GTNN bằng 1 tại \(x = 1\).
