Đề bài
I. Trắc nghiệm (7 điểm)
Câu 1: Tìm tập xác định \({\rm{D}}\) của hàm số \(y = \sqrt {6 - 3x} - \sqrt {x - 1} .\)
A. \({\rm{D}} = \left[ {1;2} \right].\) B. \({\rm{D}} = \left( {1;2} \right).\) C. \({\rm{D}} = \left[ {1;3} \right].\) D. \({\rm{D}} = \left[ { - 1;2} \right].\)
Câu 2: Mệnh đề phủ định của mệnh đề “\(\forall x \in \mathbb{R},\,\,x - 2 > 5\)” là:
A. “\(\exists x \in \mathbb{R},\,\,x - 2 \le 5\)”. B. “\(\exists x \in \mathbb{R},\,\,x - 2 \ge 5\)”. C. “\(\forall x \in \mathbb{R},\,\,x - 2 \le 5\)”. D. “\(\forall x \in \mathbb{R},\,\,x - 2 \ge 5\)”.
Câu 3: Cho tập hợp \(D = \left\{ {x \in {\mathbb{N}^*}|x\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right) = 0} \right\}\). Viết lại tập hợp D dưới dạng liệt kê các phần tử của tập hợp đó.
A. D = {2;3}. B. D = {0;1;2}. C. D = {1;2}. D. D = {0;2;3}.
Câu 4: Xét sự biến thiên của hàm số \(y = \frac{1}{{{x^2}}}\). Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Hàm số đồng biến trên \(\left( { - \infty ;0} \right)\), nghịch biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).
B. Hàm số đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\), nghịch biến trên \(\left( { - \infty ;0} \right)\).
C. Hàm số đồng biến trên \(\left( { - \infty ;1} \right)\), nghịch biến trên \(\left( {1; + \infty } \right)\).
D. Hàm số nghịch biến trên\(\left( { - \infty ;0} \right) \cup \left( {0; + \infty } \right)\).
Câu 5: Cho hai tập hợp \(A = \left( { - \infty ; - 2} \right]\) và \(B = \left( { - 3;5} \right]\). Tìm mệnh đề sai.
A. \(A \cap B = \left( { - 3; - 2} \right].\) B. \(A\backslash B = \left( { - \infty ; - 3} \right)\). C. \(A \cup B = \left( { - \infty ;5} \right]\). D. \(B\backslash A = \left( { - 2;5} \right]\).
Câu 6: Trong các tập hợp sau, tập hợp nào là tập con của tập hợp \(A = \left\{ {1;2;3;4;5} \right\}\)?
A. \({A_1} = \left\{ {1;6} \right\}.\) B. \({A_2} = \left\{ {0;1;3} \right\}.\) C. \({A_3} = \left\{ {4;5} \right\}.\) D. \({A_4} = \left\{ 0 \right\}.\)
Câu 7: Cho parabol \(\left( P \right):y = 3{x^2} - 2x + 1\). Điểm nào sau đây là đỉnh của \(\left( P \right)\)?
A. \(I\left( {0;1} \right)\). B. \(I\left( {\frac{1}{3};\,\frac{2}{3}} \right)\). C. \(I\left( { - \frac{1}{3};\,\frac{2}{3}} \right)\). D. \(I\left( {\frac{1}{3};\, - \frac{2}{3}} \right)\).
Câu 8: Bất phương trình nào sau đây là bất phương trình bậc nhất hai ẩn?
A. \(2{x^3} + 1 \ge y + 2{x^2}.\) B. \(2x - 6y + 5 < 2x - 6y + 3.\)
C. \(2{x^2} + 1 \ge y + 2{x^2}.\) D. \(4{x^2} < 2x + 5y - 6.\)
Câu 9: Điểm nào dưới đây thuộc miền nghiệm của bất phương trình \(3x + 2y < 10\)?
A. (5;1). B. (4;2). C. (1;5). D. (1;2).
Câu 10: Trong tam giác EFG, chọn mệnh đề đúng.
A. \(E{F^2} = E{G^2} + F{G^2} + 2EG.FG.\cos G.\) B. \(E{F^2} = E{G^2} + F{G^2} + 2EG.FG.\cos E.\)
C. \(E{F^2} = E{G^2} + F{G^2} - 2EG.FG.\cos E.\) D. \(E{F^2} = E{G^2} + F{G^2} - 2EG.FG.\cos G.\)
Câu 11: Cho parabol \(\left( P \right):\,y = {x^2} + mx + n\) (\(m,\,n\) là tham số). Xác định \(m,\,n\) để \(\left( P \right)\)nhận đỉnh \(I\left( {2;\, - 1} \right)\).
A. \(m = 4,\,n = - 3\). B. \(m = 4,\,n = 3\). C. \(m = - 4,\,n = - 3\). D. \(m = - 4,\,n = 3\).
Câu 12: Cho tam giác ABC có b = 7, c = 5, \(\cos A = \frac{3}{5}.\) Độ dài đường cao \({h_a}\) của tam giác ABC là:
A. \(8.\) B. \(8\sqrt 3 .\) C. \(\frac{{7\sqrt 2 }}{2}.\) D. \(7\sqrt 2 .\)
Câu 13: Cho hàm số \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\)đồ thị như hình. Tính giá trị biểu thức \(T = {a^2} + {b^2} + {c^2}\).
A. \(0\). B. \(26\). C. \(8\). D. \(20\).
Câu 14: Trong các hệ bất phương trình sau, hệ bất phương trình nào là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn?
A. \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 4 \ge 0\\3x + 4y < 2\end{array} \right.\). B. \(x - y > 0\). C. \(\left\{ \begin{array}{l}{y^2} + 2y - 3 > 0\\5x - y > 2\end{array} \right.\). D. \(\left\{ \begin{array}{l}x - 4 \ge y\\3x + 4y < 5\end{array} \right.\).
Câu 15: Giá trị của biểu thức \(T = 2 + {\sin ^2}{90^0} + 2{\cos ^2}{60^0} - 3{\tan ^2}{45^0}\) bằng:
A. 3. B. \( - \frac{1}{2}\). C. 1. D. \(\frac{1}{2}\).
Câu 16: Cho tam giác ABC có BC = a, AC = b, AB = c, có R, r lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp và hc là độ dài đường cao xuất phát từ đỉnh C. Chọn mệnh đề sai.
A. \({S_{ABC}} = ab\sin C.\) B. \({S_{ABC}} = pr.\) C. \({S_{ABC}} = \frac{{abc}}{{4R}}.\) D. \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}c.{h_c}.\)
Câu 17: Tam giác ABC có BC = 1, AC = 3, \(\angle C = {60^0}\). Tính độ dài cạnh AB.
A. \(\sqrt {13} .\) B. \(\sqrt 7 .\) C. \(\frac{{\sqrt {34} }}{2}.\) D. \(\frac{{\sqrt {46} }}{2}.\)
Câu 18: Bảng biến thiên nào dưới đây là của hàm số \(y = - {x^2} + 2x + 2\)?
A.
. B.
.
C. 
. D. 
Câu 19: Phần không bị gạch trên hình vẽ dưới đây minh họa cho tập hợp nào?
A. \(\left( {0;1} \right).\) B. \(\left( {1; + \infty } \right).\) C. \(\left[ {1; + \infty } \right).\) D. \(\left( {0;1} \right].\)
Câu 20: Cho \(\alpha \) và \(\beta \) là hai góc khác nhau và bù nhau, trong các đẳng thức sau đây đẳng thức nào sai?
A. \(\sin \alpha = \sin \beta .\) B. \(\cos \alpha = - \cos \beta .\) C. \(\tan \alpha = - \tan \beta .\) D. \(\cot \alpha = \cot \beta .\)
Câu 21: Cho hàm số \(y = a{x^2} + bx + c\) có đồ thị như hình bên dưới. Khẳng định nào sau đây đúng?
`
`
A. \(a > 0,{\rm{ }}b < 0,{\rm{ }}c < 0\). B. \(a > 0,{\rm{ }}b < 0,{\rm{ }}c > 0\). C. \(a > 0,{\rm{ }}b > 0,{\rm{ }}c > 0\). D. \(a < 0,{\rm{ }}b < 0,{\rm{ }}c < 0\).
Câu 22: Tam giác ABC có AB = 4, BC = 6, \(AC = 2\sqrt 7 \). Điểm M thuộc đoạn BC sao cho MC = 2MB. Tính độ dài cạnh AM.
A. \(AM = 3\sqrt 2 .\) B. \(AM = 4\sqrt 2 .\) C. \(AM = 2\sqrt 3 .\) D. \(AM = 3.\)
Câu 23: Nửa mặt phẳng không bị gạch chéo ở hình dưới đây là miền nghiệm của bất phương trình nào trong các bất phương trình sau?
A. \(2x + y < 1.\) B. \(2x - y > 1.\) C. \(x + 2y > 1.\) D. \(2x + y > 1.\)
Câu 24: Cho góc \(\alpha \) với \({0^0} < \alpha < {180^0}\). Tính giá trị của \(\cos \alpha \), biết \(\tan \alpha = - 2\sqrt 2 \).
A. \( - \frac{1}{3}.\) B. \(\frac{1}{3}.\) C. \(\frac{{2\sqrt 2 }}{3}.\) D. \(\frac{{\sqrt 2 }}{3}.\)
Câu 25: Một ca nô xuất phát từ cảng A, chạy theo hướng đông với vận tốc 50 km/h. Cùng lúc đó, một tàu cá, xuất phát từ A, chạy theo hướng N30°E với vận tốc 40 km/h. Sau 3 giờ, hai tàu cách nhau bao nhiêu kilômét?
A. 135,7km. B. 237,5km. C. 110km. D. 137,5km.
Câu 26. Cho tam giác \(ABC\) và điểm \(M\) thỏa mãn điều kiện \(\overrightarrow {MA} - \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow 0 \). Mệnh đề nào sau đây sai?
A. \(MABC\) là hình bình hành. B. \(\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {AC} .\)
C. \(\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {BM} .\) D. \(\overrightarrow {MA} = \overrightarrow {BC} .\)
Câu 27. Cho hình bình hành ABCD. Đẳng thức nào sau đây đúng?
A.\(\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} = 2\overrightarrow {BC} \) B. \(\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AB} \)
C. \(\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {BD} = 2\overrightarrow {CD} \) D. \(\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {CD} \)
Câu 28. Cho tam giác OAB vuông cân tại O, cạnh \(OA = a\). Khẳng định nào sau đây sai?
A.\(\left| {3\overrightarrow {OA} + 4\overrightarrow {OB} } \right| = 5a\) B. \(\left| {2\overrightarrow {OA} } \right| + \left| {3\overrightarrow {OB} } \right| = 5a\)
C. \(\left| {7\overrightarrow {OA} - 2\overrightarrow {OB} } \right| = 5a\) D. \(\left| {11\overrightarrow {OA} } \right| - \left| {6\overrightarrow {OB} } \right| = 5a\)
Câu 29. Cho tam giác \(ABC\) có \(BC = a,\,{\rm{ }}CA = b,{\rm{ }}AB = c.\) Gọi \(M\) là trung điểm cạnh \(BC.\) Tính \(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BC} .\)
A. \(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BC} = \frac{{{b^2} - {c^2}}}{2}.\) B. \(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BC} = \frac{{{c^2} + {b^2}}}{2}.\)
C. \(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BC} = \frac{{{c^2} + {b^2} + {a^2}}}{3}.\) D. \(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BC} = \frac{{{c^2} + {b^2} - {a^2}}}{2}.\)
Câu 30. Cho hình vuông \(ABCD\) cạnh \(a.\) Tính \(P = \left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right).\left( {\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {BD} + \overrightarrow {BA} } \right).\)
A. \(P = 2\sqrt 2 a.\) B. \(P = 2{a^2}.\) C. \(P = {a^2}.\) D. \(P = - 2{a^2}.\)
II. Tự luận (4 điểm)
Câu 1: (1,5 điểm) Cho tam giác ABC, M là điểm bất kỳ.
a) Chứng minh rằng \(\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {MB} .\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {MC} .\overrightarrow {AB} = 0\)
b) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Chứng minh: \(M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} = 3M{G^2} + G{A^2} + G{B^2} + G{C^2}\)
c) Chứng minh rằng \(G{A^2} + G{B^2} + G{C^2} = \frac{1}{3}({a^2} + {b^2} + {c^2})\), với a, b, c là độ dài 3 cạnh của tam giác.
Câu 2: (1 điểm) Từ hai vị trí \(A\) và \(B\) của một tòa nhà, người ta quan sát đỉnh \(C\) của ngọn núi. Biết rằng độ cao \(AB = 70{\rm{m}}\), phương nhìn \(AC\) tạo với phương nằm ngang góc \({30^0}\), phương nhìn \(BC\) tạo với phương nằm ngang góc \({15^0}30'\). Tìm độ cao của ngọn núi đó có độ cao so với mặt đất.
Câu 3: (1,5 điểm) Xác định và vẽ đồ thị hàm số \(y = a{x^2} + bx + c\)biết đồ thị của hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ là \( - 3\)và giá trị nhỏ nhất của hàm số là \( - \frac{{25}}{8}\)tại \(x = \frac{1}{4}\).
-----HẾT-----
Lời giải
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
I. Trắc nghiệm (6 điểm)
|
1. A |
6. C |
11. D |
16. A |
21. A |
26. D |
|
2.A |
7. B |
12. C |
17. B |
22. C |
27. A |
|
3. A |
8. C |
13. B |
18. C |
23. D |
28. C |
|
4. A |
9. D |
14. D |
19. C |
24. A |
29. A |
|
5. B |
10. D |
15. D |
20. D |
25. D |
30. D |
Câu 1 (TH):
Phương pháp:
\(\sqrt {f(x)} \) xác định khi \(f(x) \ge 0\).
Cách giải:
Hàm số \(y = \sqrt {6 - 3x} - \sqrt {x - 1} \) xác định khi \(\left\{ \begin{array}{l}6 - 3x \ge 0\\x - 1 \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}6 \ge 3x\\x \ge 1\end{array} \right. \Leftrightarrow 1 \le x \le 2\)
Do đó tập xác định là \({\rm{D}} = \left[ {1;2} \right].\)
Chọn A.
Câu 2 (TH):
Phương pháp:
Phủ định của \(\forall \) là \(\exists \), phủ định của > là \( \le \).
Cách giải:
Mệnh đề phủ định của mệnh đề “\(\forall x \in \mathbb{R},\,\,x - 2 > 5\)” là “\(\exists x \in \mathbb{R},\,\,x - 2 \le 5\)”.
Chọn A.
Câu 3 (TH):
Phương pháp:
Viết tập hợp theo cách liệt kê các phần tử.
Cách giải:
Giải phương trình \(x\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\\x = 3\end{array} \right.\).
Mà \(x \in {\mathbb{N}^*} \Rightarrow x \in \left\{ {2;3} \right\}.\)
Vậy D = {2;3}.
Chọn A.
Câu 4 (TH):
Cách giải:
TXĐ: \(D = \mathbb{R}{\rm{\backslash \{ }}0\} \)
Xét \({x_1};\,{x_2}\, \in \,D\)và\({x_1} < {x_2} \Leftrightarrow {x_1} - {x_2} < 0\)
Khi đó với hàm số \(y = f\left( x \right) = \frac{1}{{{x^2}}}\)
\( \Rightarrow f\left( {{x_1}} \right) - f\left( {{x_2}} \right) = \frac{1}{{{x_1}^2}} - \frac{1}{{{x_2}^2}} = \frac{{\left( {{x_2} - {x_1}} \right)\left( {{x_2} + {x_1}} \right)}}{{x_2^2.x_1^2}}\)
Trên \(\left( { - \infty ;0} \right)\)\( \Rightarrow f\left( {{x_1}} \right) - f\left( {{x_2}} \right) = \frac{{\left( {{x_2} - {x_1}} \right)\left( {{x_2} + {x_1}} \right)}}{{{x_2}^2.{x_1}^2}} < 0\)nên hàmsố đồng biến.
Trên \(\left( {0; + \infty } \right)\)\( \Rightarrow f\left( {{x_1}} \right) - f\left( {{x_2}} \right) = \frac{{\left( {{x_2} - {x_1}} \right)\left( {{x_2} + {x_1}} \right)}}{{{x_2}^2.{x_1}^2}} > 0\)nên hàm số nghịch biến.
Chọn A.
Câu 5 (VD):
Phương pháp:
Thực hiện các phép toán trên tập hợp. Sử dụng trục số.
Cách giải:
+) \(A \cap B = \left( { - 3; - 2} \right]\)
=> A đúng.
+) \(A\backslash B = \left( { - \infty ; - 3} \right]\)
=> B sai.
+) \(A \cup B = \left( { - \infty ;5} \right]\)
=> C đúng.
+) \(B\backslash A = \left( { - 2;5} \right]\).
=> D đúng.
Chọn B.
Câu 6 (NB):
Phương pháp:
Tập hợp A được gọi là tập con của tập hợp B nếu mọi phần tử của tập hợp A đều là phần tử của tập hợp B.
Cách giải:
\({A_3} = \left\{ {4;5} \right\} \subset A = \left\{ {1;2;3;4;5} \right\}\).
Chọn C.
Câu 7 (TH):
Cách giải:
Hoành độ đỉnh của \(\left( P \right):y = 3{x^2} - 2x + 1\) là \(x = - \frac{b}{{2a}} = \frac{1}{3}\)\( \Rightarrow y = 3{\left( {\frac{1}{3}} \right)^2} - 2.\frac{1}{3} + 1 = \frac{2}{3}\).
Vậy \(I\left( {\frac{1}{3};\,\frac{2}{3}} \right)\).
Chọn B.
Câu 8 (TH):
Phương pháp:
Bất phương trình bậc nhất hai ẩn x, y có dạng tổng quát là
\(ax + by \le c\) (\(ax + by \ge c\), \(ax + by < c\), \(ax + by > c\))
Trong đó a, b, c là những số thực đã cho, a và b không đồng thời bằng 0, x và y là các ẩn số.
Cách giải:
Ta có: \(2{x^2} + 1 \ge y + 2{x^2} \Leftrightarrow y - 1 \le 0\) nên đây là một bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
Chọn C.
Câu 9 (NB):
Phương pháp:
Thay các tọa độ điểm vào bất phương trình, điểm nào thỏa mãn bất phương trình thì thuộc miền nghiệm của bất phương trình đó.
Cách giải:
+) Thay tọa độ điểm (5;1) vào bất phương trình ta có: 3.5 + 2.1 < 10 (Vô lí) => (5;1) không thuộc miền nghiệm của bất phương trình.
+) Thay tọa độ điểm (4;2) vào bất phương trình ta có: 3.4 + 2.2 < 10 (Vô lí) => (4;2) không thuộc miền nghiệm của bất phương trình.
+) Thay tọa độ điểm (1;5) vào bất phương trình ta có: 3.1 + 2.5 < 10 (Vô lí) => (1;5) không thuộc miền nghiệm của bất phương trình.
+) Thay tọa độ điểm (1;2) vào bất phương trình ta có: 3.1 + 2.2 < 10 (Đúng) => (1;2) không thuộc miền nghiệm của bất phương trình.
Chọn D.
Câu 10 (NB):
Phương pháp:
Sử dụng định lí cosin trong tam giác: \({a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc.\cos A.\)
Cách giải:
\(E{F^2} = E{G^2} + F{G^2} - 2EG.FG.\cos G\) là mệnh đề đúng.
Chọn D.
Câu 11 (TH):
Cách giải:
Parabol \(\left( P \right):\,y = {x^2} + mx + n\) nhận \(I\left( {2;\, - 1} \right)\) là đỉnh, khi đó ta có
\(\left\{ \begin{array}{l}4 + 2m + n = - 1\\ - \frac{m}{2} = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2m + n = - 5\\m = - 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}n = 3\\m = - 4\end{array} \right.\).
Vậy \(m = - 4,\,n = 3\).
Chọn D.
Câu 12 (VD):
Phương pháp:
Tính sinA.
Tính diện tích tam giác ABC: \(S = \frac{1}{2}bc.\sin A.\)
Sử dụng định lí cosin trong tam giác tính a: \({a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc.\cos A.\)
Sử dụng công thức tính diện tích tam giác: \(S = \frac{1}{2}a{h_a}\), từ đó tính \({h_a}\).
Cách giải:
Ta có:
\(\begin{array}{l}{\sin ^2}A + {\cos ^2}A = 1\\ \Leftrightarrow {\sin ^2}A + {\left( {\frac{3}{5}} \right)^2} = 1\\ \Leftrightarrow {\sin ^2}A = \frac{{16}}{{25}}\end{array}\)
Vì \({0^0} < A < {180^0}\) nên sinA > 0 \( \Rightarrow \sin A = \frac{4}{5}.\)
Diện tích tam giác ABC là: \(S = \frac{1}{2}bc.\sin A. = \frac{1}{2}.7.5.\frac{4}{5} = 14.\)
Áp dụng định lí cosin trong tam giác ABC ta có:
\(\begin{array}{l}{a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc.\cos A.\\\,\,\,\,\,\, = {7^2} + {5^2} - 2.7.5.\frac{3}{5}\\\,\,\,\,\,\, = 32\\ \Rightarrow a = 4\sqrt 2 .\end{array}\)
Lại có: \(S = \frac{1}{2}a{h_a} \Rightarrow {h_a} = \frac{{2S}}{a} = \frac{{2.14}}{{4\sqrt 2 }} = \frac{{7\sqrt 2 }}{2}.\)
Chọn C.
Câu 13 (TH):
Cách giải:
Do đồ thị hàm số có đỉnh là \(I\left( {2; - 1} \right)\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{{ - b}}{{2a}} = 2\\f\left( 2 \right) = - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4a + b = 0\\4a + 2b + c = - 1\end{array} \right.\) \(\left( 1 \right)\)
Do đồ thị hàm số đi qua điểm \(\left( {0;3} \right) \Rightarrow f\left( 0 \right) = 3 \Leftrightarrow c = 3\)\(\left( 2 \right)\)
Từ \(\left( 1 \right)\)và\(\left( 2 \right)\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = - 4\\c = 3\end{array} \right.\)\( \Rightarrow T = 26\)
Chọn B.
Câu 14 (NB):
Phương pháp:
Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn là một hệ gồm hai hay nhiều bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
Cách giải:
\(\left\{ \begin{array}{l}x - 4 \ge y\\3x + 4y < 5\end{array} \right.\) là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
Chọn D.
Câu 15 (NB):
Phương pháp:
Nhớ bảng giá trị lượng giác của các góc thường dùng hoặc sử dụng máy tính cầm tay.
Cách giải:
\(\begin{array}{l}T = 2 + {\sin ^2}{90^0} + 2{\cos ^2}{60^0} - 3{\tan ^2}{45^0}\\T = 2 + {1^2} + 2.{\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} - {3.1^2}\\T = \frac{1}{2}.\end{array}\)
Chọn D.
Câu 16 (NB):
Phương pháp:
Sử dụng các công thức tính diện tích tam giác: \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}ab\sin C = pr = \frac{{abc}}{{4S}} = \frac{1}{2}c.{h_c}.\)
Cách giải:
\({S_{ABC}} = \frac{1}{2}ab\sin C\) nên đáp án A sai.
Chọn A.
Câu 17 (NB):
Phương pháp:
Áp dụng định lí Cosin trong tam giác: \(A{B^2} = B{C^2} + A{C^2} - 2BC.AC.\cos C\).
Cách giải:
Áp dụng định lí Cosin trong tam giác ABC:
\(\begin{array}{l}A{B^2} = B{C^2} + A{C^2} - 2BC.AC.\cos C\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {1^2} + {3^2} - 2.1.3.\cos {60^0} = 7\\ \Rightarrow AB = \sqrt 7 .\end{array}\)
Chọn B.
Câu 18 (TH):
Cách giải:
Hàm số \(y = - {x^2} + 2x + 2\) là hàm số bậc hai, có \(a = - 1 < 0,b = 2\)
=> Loại A, D.
Parabol có hoành độ đỉnh \( - \frac{b}{{2a}} = - \frac{2}{{2.( - 1)}} = 1\) => Loại B
Chọn C.
Câu 19 (NB):
Phương pháp:
Biểu diễn tập hợp trên trục số.
Cách giải:
Hình vẽ đã cho là minh họa cho tập hợp \(\left[ {1; + \infty } \right).\)
Chọn C.
Câu 20 (NB):
Phương pháp:
Sử dụng mối liên hệ giá trị lượng giác của hai góc bù nhau: Cho \(\alpha \) và \(\beta \) là hai góc khác nhau và bù nhau ta có: \(\sin \alpha = \sin \beta ,\) \(\cos \alpha = - \cos \beta \), \(\tan \alpha = - \tan \beta \), \(\cot \alpha = - \cot \beta .\)
Cách giải:
\(\alpha \) và \(\beta \) là hai góc khác nhau và bù nhau nên \(\sin \alpha = \sin \beta ,\) \(\cos \alpha = - \cos \beta \), \(\tan \alpha = - \tan \beta \), \(\cot \alpha = - \cot \beta .\)
Vậy đẳng thức ở đáp án D sai.
Chọn D.
Câu 21 (TH):
Cách giải:
Parabol có bề lõm quay lên \( \Rightarrow a > 0\) loại D.
Parabol cắt trục tung tại điểm có tung độ âm nên \(c < 0\) loại B, C.
Chọn A.
Câu 22 (VD):
Phương pháp:
Sử dụng hệ quả định lí cosin trong tam giác ABC tính cosB: \(\cos B = \frac{{A{B^2} + B{C^2} - A{C^2}}}{{2AB.BC}}\).
Tính BM, CM.
Sử dụng định lí cosin trong tam giác ABM tính AM: \(A{M^2} = A{B^2} + B{M^2} - 2AB.BM.\cos B\).
Cách giải:
Ta có:
\(\begin{array}{l}\cos B = \frac{{A{B^2} + B{C^2} - A{C^2}}}{{2AB.BC}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \frac{{{4^2} + {6^2} - {{\left( {2\sqrt 7 } \right)}^2}}}{{2.4.6}} = \frac{1}{2}\end{array}\)
Vì MC = 2MB, BC = 6 nên \(BM = \frac{1}{3}BC = \frac{1}{3}.6 = 2.\)
Áp dụng định lí cosin trong tam giác ABM ta có:
\(\begin{array}{l}A{M^2} = A{B^2} + B{M^2} - 2AB.BM.\cos B\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {4^2} + {2^2} - 2.4.2.\frac{1}{2} = 12\\ \Rightarrow AM = 2\sqrt 3 .\end{array}\)
Chọn C.
Câu 23 (TH):
Phương pháp:
Tìm phương trình đường thẳng d. Loại đáp án.
Thay tọa độ điểm O(0;0) vào các bất phương trình chưa bị loại ở các đáp án, tiếp tục loại đáp án.
Cách giải:
Đường thẳng d đi qua điểm (0;1) nên loại đáp án B, C.
Ta thấy điểm O(0;0) không thuộc miền nghiệm của bất phương trình.
+ Thay tọa độ điểm O(0;0) vào bất phương trình \(2x + y < 1\) ta có: 2.0 + 0 < 1 (Đúng) => Loại.
+ Thay tọa độ điểm O(0;0) vào bất phương trình \(2x + y > 1\) ta có: 2.0 + 0 > 1 (Vô lí) => Thỏa mãn.
Chọn D.
Câu 24 (TH):
Phương pháp:
Sử dụng công thức: \(1 + {\tan ^2}\alpha = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}.\)
Cách giải:
Ta có:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,1 + {\tan ^2}\alpha = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}\\ \Leftrightarrow 1 + {\left( { - 2\sqrt 2 } \right)^2} = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}\\ \Leftrightarrow {\cos ^2}\alpha = \frac{1}{9}\\ \Leftrightarrow \cos \alpha = \pm \frac{1}{3}\end{array}\)
Vì \({0^0} < \alpha < {180^0}\) \( \Rightarrow \sin \alpha > 0\). Mà \(\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} < 0\) nên \(\cos \alpha < 0\).
Vậy \(\cos \alpha = - \frac{1}{3}.\)
Chọn A.
Câu 25 (VD):
Phương pháp:
Hướng N300E là hướng tạo với hướng bắc một góc 300 và tạo với hướng đông một góc \({90^0} - {30^0} = {60^0}\).
Áp dụng định lí cosin trong tam giác.
Cách giải:
Hướng N300E là hướng tạo với hướng bắc một góc 300 và tạo với hướng đông một góc \({90^0} - {30^0} = {60^0}\).
A là vị trí cảng.
Ca nô đi theo hướng đông từ A đến B, sau 3 giờ đi được quãng đường AB = 50.3 = 150 (km).
Tàu cá đi theo hướng N300E từ A đến C, sau 3 giờ đi được quãng đường AC = 40.3 = 120 (km).
Áp dụng định lí Cosin trong tam giác ABC ta có:
\(\begin{array}{l}B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} - 2AB.AC.\cos {60^{}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {150^2} + {120^2} - 2.150.120.\frac{1}{2}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 18\,900\\ \Rightarrow BC = 30\sqrt {21} \approx 137,5.\end{array}\)
Vậy sau 3 giờ hai tàu cách nhau khoảng 137,5km.
Chọn D.
Câu 26.
Cách giải:
Ta có \(\overrightarrow {MA} - \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {MC} = \overrightarrow {AB} \)
\( \Rightarrow MABC\) là hình bình hành
\( \Rightarrow \overrightarrow {MA} = \overrightarrow {CB} .\)
Do đó D sai.
Chọn D.
Câu 27.
Cách giải:
Vì ABCD là hình bình hành nên \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \) hay \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} = \overrightarrow 0 \)
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} \\\overrightarrow {BD} = \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CD} \end{array} \right.\)\( \Rightarrow \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} = 2\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} = 2\overrightarrow {BC} \)
Vậy A đúng.
\(\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CB} = \overrightarrow {AB} \) => B sai.
\(\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {BD} = \overrightarrow {AB} - \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {DC} + \overrightarrow {DC} = 2\overrightarrow {DC} = - 2\overrightarrow {CD} \) => C sai
\(\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {DC} \) => D sai.
Chọn A.
Câu 28.
Cách giải:
Ta có: \(OA = OB = a\)
\( \Rightarrow \left| {2\overrightarrow {OA} } \right| + \left| {3\overrightarrow {OB} } \right| = 2a + 3a = 5a\). Vậy B đúng.
Tương tự, ta có \(\left| {11\overrightarrow {OA} } \right| - \left| {6\overrightarrow {OB} } \right| = 11a - 6a = 5a\). Do đó D đúng.
Lấy C, D sao cho \(\overrightarrow {OC} = 3\overrightarrow {OA} ;\overrightarrow {OD} = 4\overrightarrow {OB} ;\)
Dựng hình bình hành OCED. Do \(\widehat {AOB} = {90^ \circ }\) nên OCED là hình chữ nhật.
Ta có: \(3\overrightarrow {OA} + 4\overrightarrow {OB} = \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} = \overrightarrow {OE} \)
\( \Rightarrow \left| {3\overrightarrow {OA} + 4\overrightarrow {OB} } \right| = \left| {\overrightarrow {OE} } \right| = OE\)
Lại có: \(OC = 3OA = 3a,OD = 4OB = 4a.\)
\( \Rightarrow OE = \sqrt {O{C^2} + C{E^2}} = \sqrt {O{C^2} + O{D^2}} = \sqrt {{{(3a)}^2} + {{(4a)}^2}} = 5a\)
Do đó A đúng.
Chọn C
Câu 29.
Cách giải:
Vì M là trung điểm của BC suy ra \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = 2\overrightarrow {AM} \)
Khi đó \(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BC} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right).\overrightarrow {BC} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right).\left( {\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AC} } \right)\)
\( = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right).\left( {\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} } \right) = \frac{1}{2}\left( {{{\overrightarrow {AC} }^2} - {{\overrightarrow {AB} }^2}} \right) = \frac{1}{2}\left( {A{C^2} - A{B^2}} \right) = \frac{{{b^2} - {c^2}}}{2}\)
Chọn A.
Câu 30.
Cách giải:
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}BD = a\sqrt 2 \\\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {BD} + \overrightarrow {BA} = \left( {\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {BA} } \right) + \overrightarrow {BD} = \overrightarrow {BD} + \overrightarrow {BD} = 2\overrightarrow {BD} \end{array} \right.\)
Khi đó \(P = \left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right).2\overrightarrow {BD} = 2\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BD} + 2\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BD} = - 2\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BD} + \vec 0\)
\( = - 2BA.BD\cos \left( {\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {BD} } \right) = - 2.a.a\sqrt 2 .\frac{{\sqrt 2 }}{2} = - 2{a^2}\)
Chọn D.
II. Tự luận (4 điểm)
Câu 1 (TH):
Cách giải:
a) Ta có:
\( = \overrightarrow {{\rm{MA}}} \cdot (\overrightarrow {{\rm{MC}}} - \overrightarrow {{\rm{MB}}} ) + \overrightarrow {{\rm{MB}}} (\overrightarrow {{\rm{MA}}} - \overrightarrow {{\rm{MC}}} ) + \overrightarrow {{\rm{MC}}} (\overrightarrow {{\rm{MB}}} - \overrightarrow {{\rm{MA}}} ) = \)
\( = \overrightarrow {{\rm{MA}}} \cdot \overrightarrow {{\rm{MC}}} - \overrightarrow {{\rm{MA}}} \cdot \overrightarrow {{\rm{MB}}} + \overrightarrow {{\rm{MB}}} \cdot \overrightarrow {{\rm{MA}}} - \overrightarrow {{\rm{MB}}} \cdot \overrightarrow {{\rm{MC}}} + \overrightarrow {{\rm{MC}}} \cdot \overrightarrow {{\rm{MB}}} - \overrightarrow {{\rm{MC}}} \cdot \overrightarrow {{\rm{MA}}} \)
\( = \overrightarrow {{\rm{MA}}} \cdot \overrightarrow {{\rm{MC}}} - \overrightarrow {{\rm{MC}}} \cdot \overrightarrow {{\rm{MA}}} - \overrightarrow {{\rm{MA}}} \cdot \overrightarrow {{\rm{MB}}} + \overrightarrow {{\rm{MB}}} \cdot \overrightarrow {{\rm{MA}}} - \overrightarrow {{\rm{MB}}} \cdot \overrightarrow {{\rm{MC}}} + \overrightarrow {{\rm{MC}}} \cdot \overrightarrow {{\rm{MB}}} = 0\)
b)
\({\rm{M}}{{\rm{A}}^2} = {\overrightarrow {{\rm{MA}}} ^2} = {(\overrightarrow {{\rm{MG}}} + \overrightarrow {{\rm{GA}}} )^2} = {\rm{M}}{{\rm{G}}^2} + {\rm{G}}{{\rm{A}}^2} + 2\overrightarrow {{\rm{MG}}} \cdot \overrightarrow {{\rm{GA}}} \)
\({\rm{M}}{{\rm{B}}^2} = {\overrightarrow {{\rm{MB}}} ^2} = {(\overrightarrow {{\rm{MG}}} + \overrightarrow {{\rm{GB}}} )^2} = {\rm{M}}{{\rm{G}}^2} + {\rm{G}}{{\rm{B}}^2} + 2\overrightarrow {{\rm{MG}}} \cdot \overrightarrow {{\rm{GB}}} \)
\({\rm{M}}{{\rm{C}}^2} = {\overrightarrow {{\rm{MC}}} ^2} = {(\overrightarrow {{\rm{MG}}} + \overrightarrow {{\rm{GC}}} )^2} = {\rm{M}}{{\rm{G}}^2} + {\rm{G}}{{\rm{C}}^2} + 2\overrightarrow {{\rm{MG}}} \cdot \overrightarrow {{\rm{GC}}} \)
\( \Rightarrow {\rm{M}}{{\rm{A}}^2} + {\rm{M}}{{\rm{B}}^2} + {\rm{M}}{{\rm{C}}^2} = 3{\rm{M}}{{\rm{G}}^2} + {\rm{G}}{{\rm{A}}^2} + {\rm{G}}{{\rm{B}}^2} + {\rm{G}}{{\rm{C}}^2} + 2(\overrightarrow {{\rm{MG}}} \cdot \overrightarrow {{\rm{GA}}} + \overrightarrow {{\rm{MG}}} \cdot \overrightarrow {{\rm{GB}}} + \overrightarrow {{\rm{MG}}} \cdot \overrightarrow {{\rm{GC}}} )\)
\( = 3{\rm{M}}{{\rm{G}}^2} + {\rm{G}}{{\rm{A}}^2} + {\rm{G}}{{\rm{B}}^2} + {\rm{G}}{{\rm{C}}^2} + 2\overrightarrow {{\rm{MG}}} (\overrightarrow {{\rm{GA}}} + \overrightarrow {{\rm{GB}}} + \overrightarrow {{\rm{GC}}} ) = 3{\rm{M}}{{\rm{G}}^2} + {\rm{G}}{{\rm{A}}^2} + {\rm{G}}{{\rm{B}}^2} + {\rm{G}}{{\rm{C}}^2}\)
c) Vì \({\rm{M}}{{\rm{A}}^2} + {\rm{M}}{{\rm{B}}^2} + {\rm{M}}{{\rm{C}}^2} = 3{\rm{M}}{{\rm{G}}^2} + {\rm{G}}{{\rm{A}}^2} + {\rm{G}}{{\rm{B}}^2} + {\rm{G}}{{\rm{C}}^2}\) đúng với M bất kì.
Chọn \({\rm{M}} \equiv {\rm{A}}\) ta được:
\({\rm{A}}{{\rm{A}}^2} + {\rm{A}}{{\rm{B}}^2} + {\rm{A}}{{\rm{C}}^2} = 3{\rm{A}}{{\rm{G}}^2} + {\rm{G}}{{\rm{A}}^2} + {\rm{G}}{{\rm{B}}^2} + {\rm{G}}{{\rm{C}}^2}\)
\( \Leftrightarrow {\rm{A}}{{\rm{B}}^2} + {\rm{A}}{{\rm{C}}^2} = 4{\rm{G}}{{\rm{A}}^2} + {\rm{G}}{{\rm{B}}^2} + {\rm{G}}{{\rm{C}}^2}\)
Tương tự,
\({\rm{M}} \equiv {\rm{B}} \Rightarrow {\rm{B}}{{\rm{A}}^2} + {\rm{B}}{{\rm{C}}^2} = 4\;{\rm{G}}{{\rm{B}}^2} + {\rm{G}}{{\rm{A}}^2} + {\rm{G}}{{\rm{C}}^2}\)
\({\rm{M}} \equiv {\rm{C}} \Rightarrow {\rm{C}}{{\rm{B}}^2} + {\rm{A}}{{\rm{C}}^2} = 4{\rm{G}}{{\rm{C}}^2} + {\rm{G}}{{\rm{B}}^2} + {\rm{G}}{{\rm{A}}^2}\)
Thay \(AB = c,AC = b,BC = a\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow 6\left( {{\rm{G}}{{\rm{A}}^2} + {\rm{G}}{{\rm{B}}^2} + {\rm{G}}{{\rm{C}}^2}} \right) = 2\left( {{{\rm{a}}^2} + {{\rm{b}}^2} + {{\rm{c}}^2}} \right)\\ \Leftrightarrow {\rm{G}}{{\rm{A}}^2} + {\rm{G}}{{\rm{B}}^2} + {\rm{G}}{{\rm{C}}^2} = \frac{1}{3}\left( {{{\rm{a}}^2} + {{\rm{b}}^2} + {{\rm{c}}^2}} \right)\end{array}\)
Câu 2 (VD):
Cách giải:
Từ giả thiết, ta suy ra tam giác ABC có
\(\widehat {CAB} = {60^^\circ },\widehat {ABC} = {105^^\circ }30'\)và \(c = 70\)
Khi đó \(\hat A + \hat B + \hat C = {180^^\circ } \Leftrightarrow \hat C = {180^^\circ } - \left( {\hat A + \hat B} \right) = {180^^\circ } - {165^^\circ }30' = {14^^\circ }30'\)
Theo định lí sin, ta có \(\frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}}\) hay \(\frac{b}{{\sin {{105}^^\circ }30'}} = \frac{{70}}{{\sin {{14}^^\circ }30'}}\)
Do đó \(AC = b = \sin {105^^\circ }30'\frac{{70}}{{\sin {{14}^^\circ }30'}} \approx 269,4m\)
Gọi CH là khoảng cách từ C đến mặt đất. Tam giác vuông ACH có cạnh CH đối diện với góc \({30^^\circ }\) nên \(CH = \frac{{AC}}{2} = \frac{{269,4}}{2} = 134,7m\)
Vậy ngọn núi cao khoảng 135m.
Câu 3 (VD):
Cách giải:
+ Đồ thị cắt trục tung tại điểm \(A\left( {0;c} \right)\)\( \Rightarrow c = - 3\).
+ Giá trị nhỏ nhất của hàm số là \( - \frac{{25}}{8}\)tại \(x = \frac{1}{4}\)nên đỉnh của đồ thị hàm số là \(I\left( {\frac{1}{4}; - \frac{{25}}{8}} \right)\)
Suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{ - b}}{{2a}} = \frac{1}{4}\\a.\frac{1}{{16}} + \frac{1}{4}b - 3 = - \frac{{25}}{8}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2a + 4b = 0\\a + 4b = - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = - 1\end{array} \right.\)
Vậy hàm số cần tìm là \(y = 2{x^2} - x - 3\).
- Vẽ đồ thị hàm số
Đỉnh \(I\left( {\frac{1}{4}; - \frac{{25}}{8}} \right)\)
Trục đối xứng \(x = \frac{1}{4}\)
Giao với trục Oy tại \(A\left( {0; - 3} \right)\), giao với Ox tại \(B( - 1;0),C(\frac{3}{2};0)\)
Lấy điểm \(D(2;3),E\left( { - \frac{3}{2};3} \right) \in (P)\)
