4. Đề số 4 - Đề kiểm tra học kì 2 (Đề thi học kì 2) - Toán 12

Đề bài

Câu 1: Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\). Công thức diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = a,\) \(x = b\) là:

A. \(S = \left| {\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} } \right|\)

B. \(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} \)

C. \(S = \pi \int\limits_a^b {{f^2}\left( x \right)dx} \)

D. \(S = \int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} \)

Câu 2: Nghiệm phức có phần ảo dương của phương trình \({z^2} - 2z + 5 = 0\) là:

A. \( - 1 + 2i.\)                B. \(1 - 2i.\)

C. \( - 1 - 2i.\)                 D. \(1 + 2i.\)

Câu 3: Cho hình phẳng \(\left( H \right)\) được giới hạn bởi các đường \(x = 0,\) \(x = \pi ,\) \(y = 0\) và \(y =  - \cos x\). Thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi quay \(\left( H \right)\) xung quanh trục Ox được tính theo công thức:

A. \(V = \int\limits_0^\pi  {{{\cos }^2}xdx} \)

B. \(V = \pi \int\limits_0^\pi  {\left| {\cos x} \right|dx} \)

C. \(V = \pi \left| {\int\limits_0^\pi  {\left( { - \cos x} \right)dx} } \right|\)

D. \(V = \pi \int\limits_0^\pi  {{{\cos }^2}xdx} \)

Câu 4: Trong không gian Oxyz, cho điểm \(A\left( {1; - 4; - 3} \right)\) và \(\overrightarrow n  = \left( { - 2;5;2} \right)\). Phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua điểm A và nhận \(\overrightarrow n \) làm vecto pháp tuyến là

A. \( - 2x + 5y + 2z - 28 = 0\)

B. \(x - 4y - 3z + 28 = 0\)

C. \(x - 4y - 3z - 28 = 0\)

D. \( - 2x + 5y + 2z + 28 = 0\)

Câu 5: Họ nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = 3{x^2} - 2x + 3\) là:

A. \(3{x^3} - 2{x^2} + 3x + C.\)

B. \({x^3} - {x^2} + C.\)

C. \({x^3} - {x^2} + 3x + C.\)

D. \(6x - 2 + C.\)

Câu 6: Cho hai hàm số \(y = f\left( x \right),\) \(y = g\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\). Công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số trên và các đường thẳng \(x = a,\) \(x = b\) là:

A. \(\int\limits_a^b {\left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]dx} .\)

B. \(\int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx} .\)

C. \(\left| {\int\limits_a^b {\left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]dx} .} \right|\)

D. \(\int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|dx - \int\limits_a^b {\left| {g\left( x \right)} \right|dx} .} .\)

Câu 7: Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\left[ {1;9} \right]\), thỏa mãn \(\int\limits_1^9 {f\left( x \right)dx = 7} \) và \(\int\limits_4^5 {f\left( x \right)dx = 3} \). Tính giá trị biểu thức \(P = \int\limits_1^4 {f\left( x \right)dx + } \int\limits_5^9 {f\left( x \right)dx.} \)

A. \(P = 4\).                    B. \(P = 3\).

C. \(P = 10\).                  D. \(P = 2\).

Câu 8: Trong không gian Oxyz, cho điểm \(A\left( {2;3;5} \right)\). Tìm tọa độ điểm A’ là hình chiếu vuông góc của A lên trục Oy.

A. \(A'\left( {2;0;5} \right)\)

B. \(A'\left( {0;3;5} \right)\)

C. \(A'\left( {0;3;0} \right)\)

D. \(A'\left( {2;0;0} \right)\)

Câu 9: Trong không gian Oxyz, viết phương trình đường thẳng đi qua điểm \(A\left( {1;2;3} \right)\) và có vecto chỉ phương \(\overrightarrow u  = \left( {2; - 1; - 2} \right).\)

A. \(\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y - 2}}{{ - 1}} = \frac{{z - 3}}{{ - 2}}\)

B. \(\frac{{x + 2}}{1} = \frac{{y - 1}}{2} = \frac{{z - 2}}{3}.\)

C. \(\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y + 1}}{2} = \frac{{z + 2}}{3}.\)

D. \(\frac{{x + 1}}{2} = \frac{{y + 2}}{{ - 1}} = \frac{{z + 3}}{{ - 2}}\)

Câu 10: Gọi \({z_1};\,\,{z_2}\) là hai nghiệm của phương trình \(2{z^2} + 10z + 13 = 0\), trong đó \({z_1}\) có phần ảo dương. Số phức \(2{z_1} + 4{z_2}\) bằng

A. \(1 - 15i.\)                  B. \( - 15 + i\)

C. \( - 15 - i\)                  D. \( - 1 - 15i\)

Câu 11: Số phức \(z = \frac{{5 + 15i}}{{3 + 4i}}\) có phần thực là

A. 3.                               B. 1.

C. \( - 3\).                       D. \( - 1.\)

Câu 12: Trong không gian Oxyz, một vecto pháp tuyến của mặt phẳng \(\frac{x}{{ - 5}} + \frac{y}{1} + \frac{z}{{ - 2}} = 1\) là:

A. \(\overrightarrow n  = \left( { - 5;1; - 2} \right)\)

B. \(\overrightarrow n  = \left( { - \frac{1}{5}; - 1; - \frac{1}{2}} \right)\)

C. \(\overrightarrow n  = \left( {2; - 10;5} \right)\)

D. \(\overrightarrow n  = \left( { - 2; - 10;20} \right)\)

Câu 13: Phần thực của số phức \(\left( {2 - i} \right)\left( {1 + 2i} \right)\) là:

A. 4.                               B. 5.

C. 3.                               D. 0.

Câu 14: Cho các số phức \({z_1} = 3 + 4i,\) \({z_2} = 5 - 2i\). Tìm số phức liên hơp \(\overline z \) của số phức \(z = 2{z_1} + 3{z_2}\).

A. \(\overline z  = 8 - 2i.\)

B. \(\overline z  = 21 - 2i.\)

C. \(\overline z  = 21 + 2i.\)

D. \(\overline z  = 8 + 2i.\)

Câu 15: Trong không gian Oxyz, các vecto đơn vị trên các trục Ox,Oy,Oz lần lượt là \(\overrightarrow i ,\,\,\overrightarrow j ,\,\,\overrightarrow k \) cho điểm

\(M\left( {3; - 4;12} \right)\). Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. \(\overrightarrow {OM}  =  - 3\overrightarrow i  - 4\overrightarrow j  + 12\overrightarrow k \) 

B. \(\overrightarrow {OM}  =  - 3\overrightarrow i  + 4\overrightarrow j  - 12\overrightarrow k \)

C. \(\overrightarrow {OM}  = 3\overrightarrow i  + 4\overrightarrow j  + 12\overrightarrow k \)

D. \(\overrightarrow {OM}  = 3\overrightarrow i  - 4\overrightarrow j  + 12\overrightarrow k \)

Câu 16: Trong không gian Oxyz, đường thẳng đi qua điểm \(A\left( {3;1;2} \right)\) và vuông góc với mặt phẳng \(x + y + 3z + 5 = 0\) có phương trình là

A. \(\frac{{x + 1}}{3} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{{z + 3}}{2}\)

B. \(\frac{{x - 3}}{1} = \frac{{y - 1}}{1} = \frac{{z - 2}}{3}\)

C. \(\frac{{x + 3}}{1} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{{z + 2}}{3}\)

D. \(\frac{{x - 1}}{3} = \frac{{y - 1}}{1} = \frac{{z - 3}}{2}\)

Câu 17: \(\int {{e^{ - 2x + 1}}dx} \) bằng

A. \(\frac{1}{2}{e^{ - 2x + 1}} + C.\)

B. \( - \frac{1}{2}{e^{ - 2x + 1}} + C.\)

C. \({e^{ - 2x + 1}} + C.\)

D. \( - 2{e^{ - 2x + 1}} + C.\)

Câu 18: Tính môđun \(\left| z \right|\) của số phức \(z = \left( {2 + i} \right){\left( {1 + i} \right)^2} + 1\).

A. \(\left| z \right| = 17.\)

B. \(\left| z \right| = \sqrt {15} .\)

C. \(\left| z \right| = 3.\)

D. \(\left| z \right| = \sqrt {17} .\)

Câu 19: Cho \({z_1};\,\,{z_2}\) là hai nghiệm phức của phương trình \({z^2} - 2z + 5 = 0\), biết \({z_1} - {z_2}\) có phần ảo là số thực âm. Tìm phần ảo của số phức \({\rm{w}} = 2z_1^2 - z_2^2\).

A. 3.                               B. \( - 12.\)

C. \( - 3.\)                       D. \(12.\)

Câu 20: Cho tích phân \(I = \int\limits_1^e {\frac{{2\ln x + 3}}{x}dx} \). Nếu đặt \(t = \ln x\) thì:

A. \(I = \int\limits_1^e {\left( {2t + 3} \right)dt} .\)

B. \(I = \int\limits_0^1 {\left( {2t} \right)dt} .\)

C. \(I = \int\limits_0^1 {\left( {2t + 3} \right)dt} .\)

D. \(I = \int\limits_0^1 {\left( {2\ln t + 3} \right)dt} .\)

Câu 21: Cho hai hàm số \(y = g\left( x \right)\) và \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ {a;c} \right]\) có đồ thị như hình vẽ. Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số trên được tính theo công thức:

A. \(S = \int\limits_a^b {\left[ {g\left( x \right) - f\left( x \right)} \right]dx} \)\( + \int\limits_b^c {\left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]dx.} \)

B. \(S = \int\limits_a^c {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx} \)

C. \(S = \int\limits_a^b {\left[ {g\left( x \right) - f\left( x \right)} \right]dx} \)\( - \int\limits_b^c {\left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]dx.} \)

D. \(S = \left| {\int\limits_a^c {\left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]dx} } \right|\)

Câu 22: Biết \(\int\limits_1^3 {\frac{{2x - 3}}{{x + 1}}dx}  = a\ln 2 + b\) với \(a,\,\,b\) là các số hữu tỉ. Khi đó \({b^2} - 2a\) bằng

A. 33.                             B. 26.

C. 17.                             D. 6.

Câu 23: Cho hai số phức \({z_1} =  - 1 + 2i;\) \({z_2} = 1 + 2i\). Tinh \(T = {\left| {{z_1}} \right|^2} + {\left| {{z_2}} \right|^2}\)

A. \(T = 2\sqrt 5 \)          B. \(T = 4\)

C. \(T = 10\)                   D. \(T = 7\)

Câu 24: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,3x + 4y - 12z + 5 = 0\) và điểm \(A\left( {2;4; - 1} \right)\). Trên mặt phẳng \(\left( P \right)\) lấy điểm M. Gọi B là điểm sao cho \(\overrightarrow {AB}  = 3\overrightarrow {AM} \). Tính khoảng cách d từ B đến mặt phẳng \(\left( P \right)\).

A. \(d = 9.\)                    B. \(d = \frac{{30}}{{13}}.\)

C. \(d = 6.\)                    D. \(d = \frac{{66}}{{13}}.\)

Câu 25: Biết \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\left( {{{\tan }^2}x + 2{{\tan }^8}x} \right)dx =  - \frac{a}{b} + \frac{\pi }{c}} \) với \(a,\,\,b,\,\,c \in \mathbb{N}\), phân số \(\frac{a}{b}\) tối giản. Tính \(T = a + b + c.\)

A. \(T = 156.\)                B. \(T = 62.\)

C. \(T = 159.\)                D. \(T = 167.\)

Câu 26: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu \(\left( S \right)\) tâm \(I\left( {1;2;1} \right)\) và cắt mặt phẳng \(\left( P \right):2x - y + 2z + 7 = 0\) theo một đường tròn có đường kính bằng 8. Phương trình mặt cầu \(\left( S \right)\) là:

A. \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 81\)

B. \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 25\)

C. \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 5\)

D. \({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 9\)

Câu 27: Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz\), cho điểm \(I\left( {3;4; - 5} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\) có phương trình \(2x + 6y - 3z + 4 = 0\). Phương trình mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\) và tiếp xúc với \(\left( P \right)\) là:

A. \({\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} + {\left( {z + 5} \right)^2} = \frac{{361}}{{49}}\)

B. \({\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} + {\left( {z + 5} \right)^2} = 49\)

C. \({\left( {x + 3} \right)^2} + {\left( {y + 4} \right)^2} + {\left( {z - 5} \right)^2} = 49\)

D. \({\left( {x + 3} \right)^2} + {\left( {y + 4} \right)^2} + {\left( {z - 5} \right)^2} = \frac{{361}}{{49}}\)

Câu 28: Trong không gian Oxyz, biết \(\overrightarrow n  = \left( {a;b;c} \right)\) là vecto pháp tuyến của mặt phẳng qua \(A\left( {2;1;5} \right)\) và chứa trục Ox. Tính \(k = \frac{b}{c}.\)

A. \(k =  - 5.\)                 B. \(k = \frac{1}{5}\)

C. \(k = 5.\)                    D. \(k =  - \frac{1}{5}\)

Câu 29: Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = {x^3} - x\) và đồ thị hàm số \(y = x - {x^2}\).

A. \(S = \frac{{81}}{{12}}\)                              B. \(S = 13\)

C. \(S = \frac{9}{4}\)      D. \(S = \frac{{37}}{{12}}\)

Câu 30: Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = {x^2} - 4\) và các đường thẳng \(y = 0,\) \(x =  - 1,\) \(x = 5\) bằng:

A. \(\frac{{49}}{3}\)       B. 18

C. \(\frac{{65}}{3}\)       D. 36

Câu 31: Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm \(A\left( {0;1; - 1} \right),\) \(B\left( {1;1;2} \right),\) \(C\left( {1; - 1;0} \right)\) và \(D\left( {0;0;1} \right)\). Mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) song song với mặt phẳng \(\left( {BCD} \right)\) và chia khối tứ diện ABCD thành hai khối đa diện sao cho tỉ số thể tích của khối đa diện có chứa điểm A và khối tứ diện ABCD bằng \(\frac{1}{{27}}\). Viết phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\).

A. \( - y + z - 4 = 0\)

B. \(y - z - 1 = 0\)

C. \(y + z - 4 = 0\)

D. \(3x - 3z - 4 = 0\)

Câu 32: Trong không gian Oxyz, cho ba điểm \(A\left( {0;0;1} \right),\) \(B\left( {0;2;0} \right),\) \(C\left( {3;0;0} \right)\). Gọi \(H\left( {x;y;z} \right)\) là trực tâm của tam giác ABC. Tính \(k = x + 2y + z.\)

A. \(k = \frac{{66}}{{49}}\)                              B. \(k = \frac{{36}}{{29}}\)

C. \(k = \frac{{74}}{{49}}\)                              D. \(k = \frac{{12}}{7}\)

Câu 33: Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = {e^{2x}},\) \(y = 0,\) \(x = 0,\) \(x = 2\) được biểu diễn bởi \(\frac{{{e^a} - b}}{c}\) với \(a,\,\,b,\,\,c \in \mathbb{Z}\). Tính \(P = a + 3b - c.\)

A. \(P = 5.\)                    B. \(P =  - 1\)

C. \(P = 6\)                     D. \(P = 3\)

Câu 34: Tìm nguyên hàm \(F\left( x \right)\) của hàm số \(f\left( x \right) = {\tan ^2}x\) biết phương trình \(F\left( x \right) = 0\) có một nghiệm bằng \(\frac{\pi }{4}.\)

A. \(F\left( x \right) = \tan x - 1\)

B. \(F\left( x \right) = \tan x - x + \frac{\pi }{4} - 1\)

C. \(F\left( x \right) = \tan x + x + \frac{\pi }{4} - 1\)

D. \(F\left( x \right) = 2\frac{{\tan x}}{{{{\cos }^2}x}} - 4\)

Câu 35: Trong không gian Oxyz, viết phương trình đường thẳng \(\Delta \) đi qua hai điểm \(A\left( {1;4;4} \right)\) và \(B\left( { - 1;0;2} \right).\)

A. \(\frac{x}{1} = \frac{{y - 2}}{2} = \frac{{z - 3}}{1}\)

B. \(\frac{{x + 1}}{2} = \frac{y}{4} = \frac{{z + 2}}{{ - 2}}\)

C. \(\frac{{x + 1}}{{ - 2}} = \frac{y}{{ - 4}} = \frac{{z + 2}}{{ - 2}}\)

D. \(\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y - 4}}{2} = \frac{{z - 4}}{2}\)

Câu 36: Trong không gian Oxyz,  cho đường thẳng \(d:\frac{{x - 1}}{{ - 1}} = \frac{{y + 1}}{2} = \frac{{z + 1}}{{ - 1}}\). Đường thẳng đi qua điểm \(M\left( {2;1; - 1} \right)\) và song song với đường thẳng d có phương trình là:

A. \(\frac{{x + 2}}{{ - 1}} = \frac{{y + 1}}{2} = \frac{{z - 1}}{{ - 1}}\)

B. \(\frac{x}{1} = \frac{{y - 5}}{{ - 2}} = \frac{{z + 3}}{1}\)

C. \(\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y - 1}}{{ - 1}} = \frac{{z + 1}}{2}\)

D. \(\frac{{x + 1}}{2} = \frac{{y - 2}}{1} = \frac{{z + 1}}{{ - 1}}\)

Câu 37: Trong không gian Oxyz, tính diện tích S của tam giác ABC, biết \(A\left( {2;0;0} \right),\) \(B\left( {0;3;0} \right)\) và \(C\left( {0;0;4} \right)\)

A. \(S = 2\sqrt {61} \)     B. \(S = \frac{{\sqrt {61} }}{2}\)

C. \(S = \frac{{\sqrt {61} }}{3}\)                      D. \(S = \sqrt {61} \)

Câu 38: Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị các hàm số \(y = \sqrt x \cos \frac{x}{2},\,\,y = 0,\,\,x = \frac{\pi }{2},\,\,x = \pi \). Tính thể tích \(V\) của khối tròn xoay sinh ra khi cho hình phẳng \(\left( H \right)\) quay xung quanh trục Ox.

A. \(V = \frac{\pi }{6}\left( {3{\pi ^2} + 4\pi  - 8} \right)\)

B. \(V = \frac{\pi }{{16}}\left( {3{\pi ^2} - 4\pi  - 8} \right)\)

C. \(V = \frac{\pi }{8}\left( {3{\pi ^2} + 4\pi  - 8} \right)\)

D. \(V = \frac{1}{{16}}\left( {3{\pi ^2} - 4\pi  - 8} \right)\)

Câu 39: Số phức liên hợp \(\overline z \) của số phức \(z = \frac{{4 + 6i}}{{1 - i}}\) là:

A. \(\overline z  =  - 2 - 10i\)

B. \(\overline z  =  - 1 + 5i\)

C. \(\overline z  =  - 2 + 10i\)

D. \(\overline z  =  - 1 - 5i\)

Câu 40: Tính tích phân \(I = \int\limits_2^7 {\sqrt {x + 2} dx} .\)

A. \(I = 19\)                    B. \(I = 38\)

C. \(I = \frac{{670}}{3}\) D. \(I = \frac{{38}}{3}\)

Câu 41: Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng \(\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y - 4}}{1} = \frac{z}{{ - 2}}\) và \(\frac{{x - 3}}{2} = \frac{{y + 1}}{{ - 1}} = \frac{{z + 2}}{{ - 1}}\). Gọi M là trung điểm đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng trên. Tính độ dài đoạn thẳng OM.

A. \(OM = \sqrt {35} \)   B. \(OM = 2\sqrt {35} \)

C. \(OM = \frac{{\sqrt {14} }}{2}\)                  D. \(OM = \sqrt 5 \)

Câu 42: Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y =  - {3^x},\) \(y = 0,\) \(x = 0,\) \(x = 4\). Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. \(S = \pi \int\limits_0^4 {{3^{2x}}dx} \)

B. \(S = \int\limits_0^4 {\left( { - {3^x}} \right)dx} \)

C. \(S = \int\limits_0^4 {{3^x}dx} \)

D. \(S = \pi \int\limits_0^4 {{3^x}dx} \)

Câu 43: Gọi z là số phức có mô đun nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện \(\left| {z - 2 - 8i} \right| = \sqrt {17} \). Biết \(z = a + bi\) với\(a,\,\,b \in \mathbb{R}\), tính \(m = 2{a^2} - 3b.\)

A. \(m = 14.\)                 B. \(m =  - 18.\)

C. \(m =  - 10.\)              D. \(m = 54.\)

Câu 44: Cho phương trình \({x^2} - 4x + \frac{c}{d} = 0\) (với phân số \(\frac{c}{d}\) tối giản) có hai nghiệm phức. Gọi A; B là hai điểm biểu diễn của hai nghiệm đó trên mặt phẳng Oxy. Biết tam giác OAB đều (O là gốc tọa độ). Tính \(P = c + 2d.\)

A. \(P =  - 14\)                B. \(P = 22\)

C. \(P = 18\)                   D. \(P =  - 10\)

Câu 45: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng \(\left( P \right)\) có phương trình \(2x - 6y - 4z + 7 = 0\) và ba điểm \(A\left( {2;4; - 1} \right);\) \(B\left( {1;4; - 1} \right);\) \(C\left( {2;4;3} \right)\). Gọi S là điểm nằm trên mặt phẳng \(\left( P \right)\) sao cho \(SA = SB = SC\). Tính \(l = SA + SB\).

A. \(l = \sqrt {53} \)

B. \(l = \sqrt {37} \)

C. \(l = \sqrt {117} \)

D. \(l = \sqrt {101} \)

Câu 46: Biết \(\int\limits_0^4 {x\ln \left( {{x^2} + 1} \right)dx}  = \frac{a}{b}\ln a - c\), trong đó \(a,b\) là các số nguyên tố, c là số nguyên dương. Tính \(T = a + b + c.\)

A. \(T = 27.\)                  B. \(T = 35.\)

C. \(T = 23.\)                  D. \(T = 11.\)

Câu 47: Trên tập số phức, phương trình \({z^2} - 6z + {2019^{2020}} + 9 = 0\) có một nghiệm là

A. \(z = 3 - {2019^{2020}}i\)

B. \(z = 3 - {2019^{1010}}i\)

C. \(z = 3 + {2019^{1010}}i\)

D. \(z = 3 + {2019^{2020}}i\)

Câu 48: Trong không gian Oxyz, tìm tọa độ tâm I và bán kính R của mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x + 2y + 2z - 3 = 0\)

A. \(I\left( {2; - 1; - 1} \right);R = 9\)

B. \(I\left( { - 2;1;1} \right);R = 9\)

C. \(I\left( { - 2;1;1} \right);R = 3\)

D. \(I\left( {2; - 1; - 1} \right);R = 3\)

Câu 49: Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = x\ln x\), trục hoành và đường thẳng \(x = e\). Thể tích khối tròn xoay được tạo thành khi quay D quanh trục hoành được viết dưới dạng \(\frac{\pi }{a}\left( {b.{e^3} - 2} \right)\) với a và b là các số nguyên. Tính giá trị biểu thức \(T = a - {b^2}.\)

A. \(T = 2.\)                    B. \(T =  - 12.\)

C. \(T =  - 1.\)                 D. \(T =  - 9.\)

Câu 50: Biết \(\int\limits_0^1 {\frac{{{x^2}{e^x}dx}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} = \frac{{a - be}}{a}} \) với a là số nguyên tố. Tính \(S = 2{a^2} + b.\)

A. \(S = 19.\)                  B. \(S = 241.\)

C. \(S = 99.\)         D. \(S = 9.\)

Lời giải chi tiết

 

 

Câu 1 (NB)

Phương pháp:

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\). Công thức diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = a,\) \(x = b\) là: \(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} \).

Cách giải:

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\). Công thức diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = a,\) \(x = b\) là: \(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} \).

Chon B.

Câu 2 (NB)

Phương pháp:

Tìm hai nghiệm phức của phương trình, sử dụng MTCT.

Cách giải:

Phương trình \({z^2} - 2z + 5 = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z = 1 + 2i\\z = 1 - 2i\end{array} \right.\)

Vậy nghiệm phức có phần ảo dương là \(z = 1 + 2i.\)

Chọn D.

Câu 3 (NB)

Phương pháp:

Cho hình phẳng \(\left( H \right)\) được giới hạn bởi các đường \(x = a,\) \(x = b,\) \(y = 0\) và \(y = f\left( x \right)\). Thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi quay \(\left( H \right)\) xung quanh trục Ox được tính theo công thức: \(V = \pi \int\limits_a^b {{f^2}\left( x \right)dx} \).

Cách giải:

Cho hình phẳng \(\left( H \right)\) được giới hạn bởi các đường \(x = a,\) \(x = b,\) \(y = 0\) và \(y = f\left( x \right)\). Thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi quay \(\left( H \right)\) xung quanh trục Ox được tính theo công thức: \(V = \pi \int\limits_0^\pi  {{{\left( { - \cos x} \right)}^2}dx}  = \pi \int\limits_0^\pi  {{{\cos }^2}xdx} .\)

Chọn D.

Câu 4 (NB)

Phương pháp:

Viết phương trình mặt phẳng đi qua \(A\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) và có 1 VTPT là \(\overrightarrow n \left( {A;B;C} \right)\) là:

\(A\left( {x - {x_0}} \right) + \left( {y - {y_0}} \right) + C\left( {z - {z_0}} \right) = 0\).

Cách giải:

Mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua \(A\left( {1; - 4; - 3} \right)\) và có vecto pháp tuyến là \(\overrightarrow n  = \left( { - 2;5;2} \right)\) nên phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) là  \( - 2\left( {x - 1} \right) + 5\left( {y + 4} \right) + 2\left( {z + 3} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow  - 2x + 5y + 2z + 28 = 0.\)

Chọn D.

Câu 5 (NB)

Phương pháp:

Áp dụng công thức tính nguyên hàm cơ bản: \(\int {{x^n}dx}  = \frac{{{x^{n + 1}}}}{{n + 1}} + C\) \(\left( {n \ne  - 1} \right)\).

Cách giải:

Ta có \(\int {f\left( x \right)dx}  = \int {\left( {3{x^2} - 2x + 3} \right)dx} \).

\( \Rightarrow \int {f\left( x \right) = {x^3} - {x^2} + 3x + C} .\)

Chọn C.

Câu 6 (NB)

Phương pháp:

Cho hàm số \(f\left( x \right)\)liên tục \(\left[ {a;b} \right]\), diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\), \(y = g\left( x \right)\), các đường thẳng \(x = a,\,\,x = b\) là \(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx} .\)

Cách giải:

Cho hàm số \(f\left( x \right)\)liên tục \(\left[ {a;b} \right]\), diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\), \(y = g\left( x \right)\), các đường thẳng \(x = a,\,\,x = b\) là \(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx} .\)

Chọn B.

Câu 7 (TH)

Phương pháp:

Áp dụng tính chất của tích phân: \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx}  = \int\limits_a^c {f\left( x \right)dx}  + \int\limits_c^b {f\left( x \right)dx} ,\) \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx}  =  - \int\limits_b^a {f\left( x \right)dx} .\)

Cách giải:

Ta có:

\(\begin{array}{l}P = \int\limits_1^4 {f\left( x \right)dx + } \int\limits_5^9 {f\left( x \right)dx.} \\P = \int\limits_1^9 {f\left( x \right)dx + } \int\limits_9^4 {f\left( x \right)dx} \\ + \int\limits_5^4 {f\left( x \right)dx}  + \int\limits_4^9 {f\left( x \right)dx} \\P = \int\limits_1^9 {f\left( x \right)dx}  - \int\limits_4^5 {f\left( x \right)dx} \\P = 7 - 3 = 4.\end{array}\)

Chọn A.

Câu 8 (NB)

Phương pháp:

Trong không gian Oxyz, hình chiếu vuông góc của điểm \(A\left( {x;y;z} \right)\) lên trục \(Oy\) có tọa độ là \(\left( {0;y;0} \right)\).

Cách giải:

Hình chiếu của điểm \(A\left( {2;3;5} \right)\) lên trục Oy là điểm \(A'\left( {0;3;0} \right).\)

Chọn C.

Câu 9 (NB)

Phương pháp:

- Đường thẳng đi qua \(M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) và có 1 VTCP \(\overrightarrow u \left( {a;b;c} \right)\) có phương trình là: \(\frac{{x - {x_0}}}{a} = \frac{{y - {y_0}}}{b} = \frac{{z - {z_0}}}{c}\).

Cách giải:

Đường thẳng đi qua \(A\left( {1;2;3} \right)\) và có vecto chỉ phương \(\overrightarrow u  = \left( {2; - 1; - 2} \right)\) có dạng: \(\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y - 2}}{{ - 1}} = \frac{{z - 3}}{{ - 2}}\)

Chọn A.

Câu 10 (TH)

Phương pháp:

- Tìm nghiệm của phương trình đã cho rồi suy ra \({z_1};\,\,{z_2}\).

- Xác định đúng \({z_1},\,\,{z_2}\) dựa vào giả thiết, sau đó tính \(2{z_1} + 4{z_2}\).

Cách giải:

Ta có \(2{z^2} + 10z + 13 = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z =  - \frac{5}{2} + \frac{1}{2}i\\z =  - \frac{5}{2} - \frac{1}{2}i\end{array} \right.\)

Mà \({z_1}\) có phần ảo dương nên \({z_1} =  - \frac{5}{2} + \frac{1}{2}i;\,\,{z_2} =  - \frac{5}{2} - \frac{1}{2}i.\)

Vậy \(2{z_1} + 4{z_2} =  - 15 - i.\)

Chọn C.\(\)

Câu 11 (NB)

Phương pháp:

Tính số phức z bằng MTCT sau đó suy ra phần thực.

Cách giải:

\(z = \frac{{5 + 15i}}{{3 + 4i}} = 3 + i\)

Vậy phần thực của z bằng 3.

Chọn A.

Câu 12 (TH)

Phương pháp:

- Mặt phẳng \(Ax + By + Cz + D = 0\) có 1 VTPT là \(\overrightarrow n \left( {A;B;C} \right)\).

- Mọi vectơ cùng phương với vectơ \(\overrightarrow n \) đều là 1 VTPT của \(\left( P \right)\).

Cách giải:

Ta có \(\frac{x}{{ - 5}} + \frac{y}{1} + \frac{z}{{ - 2}} = 1\)\( \Leftrightarrow 2x - 10y + 5z + 10 = 0\)

Suy ra mặt phẳng có 1 vecto pháp tuyến là \(\overrightarrow n  = \left( {2; - 10;5} \right).\)

Chọn C.

Câu 13 (NB)

Phương pháp:

Tính số phức z bằng MTCT và suy ra phần thực của nó.

Cách giải:

Ta có \(z = \left( {2 - i} \right)\left( {1 + 2i} \right) = 4 + 3i.\)

Vậy phần thực của số phức z là 4.

Chọn A.

Câu 14 (TH)

Phương pháp:

- Tìm số phức z bằng MTCT.

- Số phức liên hợp của số phức \(z = a + bi\) là \(\overline z  = a - bi\).

Cách giải:

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{z_1} = 3 + 4i\\{z_2} = 5 - 2i\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow z = 2{z_1} + 3{z_2}\) \( = 2\left( {3 + 4i} \right) + 3\left( {5 - 2i} \right)\) \( = 21 + 2i\)

\( \Rightarrow \overline z  = 21 - 2i.\)

Chọn B.

Câu 15 (NB)

Phương pháp:

Điểm \(M\left( {x;y;z} \right)\) thì \(\overrightarrow {OM}  = x\overrightarrow i  + y\overrightarrow j  + z\overrightarrow k \).

Cách giải:

Ta có \(M\left( {3; - 4;12} \right)\)\( \Rightarrow \overrightarrow {OM}  = 3\overrightarrow i  - 4\overrightarrow j  + 12\overrightarrow k \)

Chọn D.

Câu 16 (TH)

Phương pháp:

- Đường thẳng d vuông có với mp(P) nên có 1 VTCP \(\overrightarrow {{u_d}}  = \overrightarrow {{n_P}} \) với \(\overrightarrow {{n_P}} \) là 1 VTPT của (P).

- Đường thẳng đi qua \(M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) và có 1 VTCP \(\overrightarrow u \left( {a;b;c} \right)\) có phương trình là: \(\frac{{x - {x_0}}}{a} = \frac{{y - {y_0}}}{b} = \frac{{z - {z_0}}}{c}\).

Cách giải:

Mặt phẳng \(\left( P \right):x + y + 3z + 5 = 0\) có 1 VTPT \(\overrightarrow {{n_P}}  = \left( {1;1;3} \right).\)

Vì đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P) nên có 1 VTCP \(\overrightarrow {{u_d}}  = \overrightarrow {{n_P}}  = \left( {1;1;3} \right).\)

Mà đường thẳng d đi qua \(A\left( {3;1;2} \right)\) nên phương trình đường thẳng d là \(\frac{{x - 3}}{1} = \frac{{y - 1}}{1} = \frac{{z - 2}}{3}.\)

Chọn B.

Câu 17 (TH)

Phương pháp:

Áp dụng công thức tính nguyên hàm cơ bản: \(\int {{e^{ax + b}}dx = \frac{{{e^{ax + b}}}}{a} + C} .\)

Cách giải:

Ta có \(\int {{e^{ - 2x + 1}}dx =  - \frac{1}{2}{e^{ - 2x + 1}} + C} \)

Chọn B.

Câu 18 (TH) Phương pháp:

- Tìm số phức z bằng MTCT.

- Số phức \(z = a + bi\) có môđun \(\left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \).

Cách giải:

Ta có \(z = \left( {2 + i} \right){\left( {1 + i} \right)^2} + 1 =  - 1 + 4i.\)

Vậy \(\left| z \right| = \sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {4^2}}  = \sqrt {17} .\)

Chọn D.

Câu 19 (TH)

Phương pháp:

- Tìm nghiệm của phương trình đã cho.

- Sử dụng dữ kiện để tìm \({z_1};\,\,{z_2}\) rồi tính số phức w.

Cách giải:

Ta có \({z^2} - 2z + 5 = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z = 1 + 2i\\z = 1 - 2i\end{array} \right.\)

Mà \({z_1} - {z_2}\) có phần ảo là số thực âm nên \(\left\{ \begin{array}{l}{z_1} = 1 - 2i\\{z_2} = 1 + 2i\end{array} \right..\)

\( \Rightarrow {\rm{w}} = 2z_1^2 - z_2^2 =  - 3 - 12i\).

Vậy phần ảo của số phức w là \( - 12.\)

Chọn B.

Câu 20 (TH)

Phương pháp:

- Đặt ẩn phụ \(t = \ln x\), biểu diễn tất cả theo \(t\) và \(dt\).

- Đổi cận.

- Từ đó suy ra I biểu diễn theo t.

Cách giải:

Đặt \(t = \ln x \Rightarrow dt = \frac{{dx}}{x}\)

Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 \Rightarrow t = 0\\x = e \Rightarrow t = 1\end{array} \right.\).

Khi đó ta có: \(I = \int\limits_0^1 {\left( {2t + 3} \right)dt} \)

Chọn C.

Câu 21 (TH)

Phương pháp:

- Cho hàm số \(f\left( x \right)\)liên tục \(\left[ {a;b} \right]\), diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\), \(y = g\left( x \right)\), các đường thẳng \(x = a,\,\,x = b\) là \(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx} .\)

- Dựa vào đồ thị hàm số để phá trị tuyệt đối.

Cách giải:

Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\), \(y = g\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[ {a;c} \right]\) có diện tích\(S = \int\limits_a^c {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx} \)\( = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx} \) \( + \int\limits_b^c {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx} \)

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy:

+ Trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]:\) \(f\left( x \right) > g\left( x \right) \Rightarrow f\left( x \right) - g\left( x \right) > 0\), do đó \(\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right| = f\left( x \right) - g\left( x \right),\)\(\forall x \in \left[ {a;b} \right]\)

+ Trên đoạn \(\left[ {b;c} \right]:\) \(f\left( x \right) < g\left( x \right) \Rightarrow f\left( x \right) - g\left( x \right) < 0\), do đó \(\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right| =  - \left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right],\)\(\forall x \in \left[ {b;c} \right]\)

Vậy \(S = \int\limits_a^b {\left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]dx} \)\( - \int\limits_b^c {\left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]dx} .\)

Chọn C.

Câu 22 (TH)

Phương pháp:

- Chia tử cho mẫu.

- Áp dụng các công thức tính nguyên hàm: \(\int {{x^n}dx}  = \frac{{{x^{n + 1}}}}{{n + 1}} + C\) \(\left( {n \ne  - 1} \right)\), \(\int {\frac{1}{{ax + b}}dx = \frac{1}{a}\ln \left| {ax + b} \right|}  + C.\)

Cách giải:

Ta có

\(\begin{array}{l}I = \int\limits_1^3 {\frac{{2x - 3}}{{x + 1}}dx}  = \int\limits_1^3 {\frac{{2x + 2 - 5}}{{x + 1}}dx} \\I = \int\limits_1^3 {\left( {2 - \frac{5}{{x + 1}}} \right)dx} \\ = \left. {\left( {2x - 5\ln \left| {x + 1} \right|} \right)} \right|_1^3\\I = 6 - 5\ln 4 - 2 + 5\ln 2\\ = 4 - 5\ln {2^2} + 5\ln 2\\I = 4 - 10\ln 2 + 5\ln 2\\ = 4 - 5\ln 2\end{array}\)

Khi đó \(a = 4;\,\,b =  - 5\,\,\left( {tm} \right).\)

Vậy \({b^2} - 2a = {\left( { - 5} \right)^2} - 2.4 = 17.\)

Chọn C.

Câu 23 (NB)

Phương pháp:

Số phức \(z = a + bi\) có môđun \(\left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \).

Cách giải:

Ta có

\(\begin{array}{l}{z_1} =  - 1 + 2i\\ \Rightarrow \left| {{z_1}} \right| = \sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {2^2}}  = \sqrt 5 \\{z_2} = 1 + 2i\\ \Rightarrow \left| {{z_2}} \right| = \sqrt {{1^2} + {2^2}}  = \sqrt 5 \end{array}\)

Vậy \(T = {\left| {{z_1}} \right|^2} + {\left| {{z_2}} \right|^2} = 5 + 5 = 10.\)

Chọn C.

Câu 24 (TH)

Phương pháp:

- Gọi \(H,\,\,K\) lần lượt là hình chiếu của A, B lên (P).

- Sử dụng định lí Ta-lét chứng minh \(\frac{{AM}}{{BM}} = \frac{{AH}}{{BK}} = \frac{{d\left( {A;\left( P \right)} \right)}}{{d\left( {B;\left( P \right)} \right)}}\).

- Tính khoảng cách từ A đến (P): Khoảng cách từ \(A\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) đến mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,Ax + By + Cz + D = 0\) là \(d\left( {A,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}\).

Cách giải:

Vì \(\overrightarrow {AB}  = 3\overrightarrow {AM}  \Rightarrow A;\,\,B\) nằm hai phía của mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\frac{{AM}}{{BM}} = \frac{1}{2}\).

Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A, B lên (P). Khi đó ta có AH // BK. Áp dụng định lí Ta-lét ta có: \(\frac{{AM}}{{BM}} = \frac{{AH}}{{BK}} = \frac{{d\left( {A;\left( P \right)} \right)}}{{d\left( {B;\left( P \right)} \right)}} = \frac{1}{2}\).

Mà \(d\left( {A;\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {3.2 + 4.4 - 12\left( { - 1} \right) + 5} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2} + {{\left( { - 12} \right)}^2}} }} = 3\).

Vậy \(d\left( {B;\left( P \right)} \right) = 2d\left( {A;\left( P \right)} \right) = 6.\)

Chọn C.

Câu 25 (VD) 

Phương pháp:

- Đặt ẩn phụ t = tanx.

- Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số.

- Đồng nhất hệ số tìm a, b, c và tính tổng T = a + b + c.

Cách giải:

Ta có \(I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\left( {{{\tan }^2}x + 2{{\tan }^8}x} \right)dx} \)

Đặt \(t = \tan x\)\( \Rightarrow dt = \frac{{dx}}{{{{\cos }^2}x}}\) \( = \left( {1 + {{\tan }^2}x} \right)dx\) \( = \left( {1 + {t^2}} \right)dx\)

\( \Rightarrow dx = \frac{{dt}}{{1 + {t^2}}}\)

Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow t = 0\\x = \frac{\pi }{4} \Rightarrow t = 1\end{array} \right.\).

Khi đó ta có: \(I = \int\limits_0^1 {\left( {{t^2} + 2{t^8}} \right)\frac{{dt}}{{{t^2} + 1}}} \)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow I = \int\limits_0^1 {\left( {2{t^6} - 2{t^4} + 2{t^2} - 1 + \frac{1}{{{t^2} + 1}}} \right)dt} \\ \Rightarrow I = \left. {\left( {\frac{{2{t^7}}}{7} - \frac{{2{t^5}}}{5} + \frac{{2{t^3}}}{3} - t} \right)} \right|_0^1 + \int\limits_0^1 {\frac{{dt}}{{{t^2} + 1}}} \\ \Rightarrow I =  - \frac{{47}}{{105}} + {I_1}\end{array}\)

Đặt \(t = \tan u\)\( \Rightarrow dt = \frac{1}{{{{\cos }^2}u}}du = \left( {1 + {{\tan }^2}u} \right)du\)

Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}t = 0 \Rightarrow u = 0\\t = 1 \Rightarrow u = \frac{\pi }{4}\end{array} \right.\).

Khi đó ta có: \({I_1} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\frac{{\left( {1 + {{\tan }^2}u} \right)du}}{{1 + {{\tan }^2}u}}}  = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {du}  = \frac{\pi }{4}\).

\( \Rightarrow I =  - \frac{{47}}{{105}} + \frac{\pi }{4}\)\( \Rightarrow a = 47,\,\,b = 105,\,\,c = 4\)

Vậy \(T = a + b + c\)\( = 47 + 105 + 4 = 156\)

Chọn A.

Câu 26 (TH)

Phương pháp:

- Tính \(d = d\left( {I;\left( P \right)} \right)\). Khoảng cách từ \(I\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) đến mặt phẳng  là \(d\left( {I;\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}\).

- Sử dụng định lí Pytago: \({R^2} = {r^2} + {d^2}\) với R là bán kính mặt cầu, r là bán kính đường tròn giao tuyến.

- Mặt cầu tâm \(I\left( {a;b;c} \right)\), bán kính \(R\) có phương trình \({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} + {\left( {z - c} \right)^2} = {R^2}\).

Cách giải:

Mặt phẳng (P) cắt mặt cầu theo 1 đường tròn có đường kính bằng 8 nên có bán kính r = 4.

Ta có: \(d\left( {I,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {2.1 - 2 + 2.1 + 7} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {2^2}} }} = 3\)

Gọi R là bán kính mặt cầu (S), áp dụng định lí Pytago ta có: \({R^2} = {r^2} + {d^2} = {4^2} + {3^2} = 25\)

Vậy phương trình mặt cầu là: \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 25\).

Chọn B.

Câu 27 (VD)

Phương pháp:

+) \(\left( P \right)\) tiếp xúc với \(\left( S \right) \Rightarrow d\left( {I;\left( P \right)} \right) = R\).

+) Phương trình mặt cầu tâm \(I\left( {a;b;c} \right)\) bán kính \(R\) là \({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} + {\left( {z - c} \right)^2} = {R^2}\).

Cách giải:

+) \(\left( P \right)\) tiếp xúc với \(\left( S \right)\)

\( \Rightarrow d\left( {I;\left( P \right)} \right) = R\) \( = \frac{{\left| {2.3 + 6.4 - 3\left( { - 5} \right) + 4} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {6^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} }}\) \( = \frac{{49}}{7} = 7\)

+) Phương trình mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\) và tiếp xúc với \(\left( P \right)\) là: \({\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} + {\left( {z + 5} \right)^2} = 49\)

Chọn B.

Câu 28 (TH)

Phương pháp:

- \(\left\{ \begin{array}{l}OA \subset \left( P \right)\\Ox \subset \left( P \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {OA} ;\overrightarrow i } \right]\) là 1 VTPT của (P).

- \(\overrightarrow n \left( {a;b;c} \right)\) cũng là 1 VTPT của (P) nên \(\overrightarrow n \) cùng phương với vectơ \(\left[ {\overrightarrow {OA} ;\overrightarrow i } \right]\).

Cách giải:

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}OA \subset \left( P \right)\\Ox \subset \left( P \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {OA} ;\overrightarrow i } \right]\) là 1 VTPT của (P).

\(\overrightarrow {OA}  = \left( {2;1;5} \right),\,\,\overrightarrow i  = \left( {1;0;0} \right)\) \( \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {OA} ;\overrightarrow i } \right] = \left( {0;5; - 1} \right)\).

Vì \(\overrightarrow n \left( {a;b;c} \right)\) cũng là 1 VTPT của (P), ta chọn \(\overrightarrow n  = \left[ {\overrightarrow {OA} ;\overrightarrow i } \right] = \left( {0;5; - 1} \right)\) \( \Rightarrow a = 0,\,\,b = 5,\,\,c =  - 1\).

Vậy \(k = \frac{b}{c} = \frac{5}{{ - 1}} =  - 5\).

Chọn A.

Câu 29 (VD)

Phương pháp:

- Giải phương trình hoành độ giao điểm.

- Cho hàm số \(f\left( x \right)\)liên tục \(\left[ {a;b} \right]\), diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\), \(y = g\left( x \right)\), các đường thẳng \(x = a,\,\,x = b\) là \(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx} .\)

Cách giải:

Xét phương trình hoành độ giao điểm: \({x^3} - x = x - {x^2}\)\( \Leftrightarrow {x^3} + {x^2} - 2x = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 1\\x =  - 2\end{array} \right.\)

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số \(y = {x^3} - x\) và \(y = x - {x^2}\) là

\(\begin{array}{l}S = \int\limits_{ - 2}^1 {\left| {{x^3} + {x^2} - 2x} \right|dx} \\ = \left| {\int\limits_{ - 2}^0 {\left( {{x^3} + {x^2} - 2x} \right)dx} } \right|\\ + \left| {\int\limits_0^1 {\left( {{x^3} + {x^2} - 2x} \right)dx} } \right|\\ = \frac{8}{3} + \frac{5}{{12}} = \frac{{37}}{{12}}.\end{array}\)

Chọn D.

Câu 30 (VD)

Phương pháp:

- Giải phương trình hoành độ giao điểm.

- Cho hàm số \(f\left( x \right)\)liên tục \(\left[ {a;b} \right]\), diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\), \(y = g\left( x \right)\), các đường thẳng \(x = a,\,\,x = b\) là \(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx} .\)

Cách giải:

Xét phương trình hoành độ giao điểm: \({x^2} - 4 = 0 \Leftrightarrow x =  \pm 2\).

Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = {x^2} - 4\) và các đường thẳng \(y = 0,\) \(x =  - 1,\) \(x = 5\) là:

\(\begin{array}{l}S = \int\limits_{ - 1}^5 {\left| {{x^2} - 4} \right|dx} \\ = \left| {\int\limits_{ - 1}^2 {\left( {{x^2} - 4} \right)dx} } \right| + \left| {\int\limits_2^5 {\left( {{x^2} - 4} \right)dx} } \right|\\ = 9 + 27 = 36.\end{array}\)

Chọn D.

Câu 31 (VD)

Phương pháp:

- Mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) song song với mặt phẳng \(\left( {BCD} \right)\) cắt AB,AC,AD lần lượt tại B’,C’,D’.

- Áp dụng tỉ số thể tích: Cho hình chóp S.ABC, trên các cạnh SA, SB, SC lần lượt lấy các điểm A’, B’, C’. Khi đó ta có: \(\frac{{{V_{S.A'B'C'}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \frac{{SA'}}{{SA}}.\frac{{SB'}}{{SB}}.\frac{{SC'}}{{SC}}\).

- Tính tỉ số, từ đó xác định tọa độ điểm B’.

- Viết phương trình mặt phẳng song song với (BCD) và đi qua điểm B’.

Cách giải:

Giả sử mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) song song với mặt phẳng \(\left( {BCD} \right)\) cắt AB, AC, AD lần lượt tại B’, C’, D’.

Đặt \(\frac{{AB'}}{{AB}} = k\). Áp dụng định lí Ta-lét ta tính được \(\frac{{AC'}}{{AC}} = \frac{{AD'}}{{AD}} = k\).

Khi đó ta có  \(\frac{{{V_{AB'C'D'}}}}{{{V_{ABCD}}}} = \frac{{AB'}}{{AB}}.\frac{{AC'}}{{AC}}.\frac{{AD'}}{{AD}}\)\( \Leftrightarrow {k^3} = \frac{1}{{27}} \Leftrightarrow k = \frac{1}{3}.\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow AB' = \frac{1}{3}AB \Rightarrow \overrightarrow {AB'}  = \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} \\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{B'}} - 0 = \frac{1}{3}.1\\{y_{B'}} - 1 = \frac{1}{3}.0\\{z_{B'}} + 1 = \frac{1}{3}.3\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{B'}} = \frac{1}{3}\\{y_{B'}} = 1\\{z_{B'}} = 0\end{array} \right.\\ \Rightarrow B'\left( {\frac{1}{3};1;0} \right)\end{array}\)

Mặt khác \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {BC}  = \left( {0; - 2; - 2} \right)\\\overrightarrow {BD}  = \left( { - 1; - 1; - 1} \right)\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow {\overrightarrow n _{\left( {BCD} \right)}} = \left[ {\overrightarrow {BC} ;\overrightarrow {BD} } \right]\) \( = \left( {0;2; - 2} \right)\parallel \left( {0;1; - 1} \right)\)

Vì \(\left( \alpha  \right)\parallel \left( {BCD} \right)\) nên \(\overrightarrow n \left( {0;1; - 1} \right)\) cũng là 1 VTPT của mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\).

Vậy phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) là: \(0.\left( {x - \frac{1}{3}} \right) + 1.\left( {y - 1} \right) - 1.z = 0\) \( \Leftrightarrow y - z - 1 = 0\).

Chọn B.

Câu 32 (VD)

Phương pháp:

- Áp dụng tính chất của trực tâm: \(\left\{ \begin{array}{l}AH \bot BC\\BH \bot AC\\H \in \left( {ABC} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC}  = 0\\\overrightarrow {BH} .\overrightarrow {AC}  = 0\\H \in \left( {ABC} \right)\end{array} \right.\).

- Gọi \(H\left( {x;y;z} \right)\), giải hệ phương trình tìm \(H\).

Cách giải:

Phương trình mặt phẳng (ABC) là: \(\frac{x}{3} + \frac{y}{2} + \frac{z}{1} = 1\)\( \Leftrightarrow 2x + 3y + 6z - 6 = 0\)

Gọi \(H\left( {x;y;z} \right)\).

Vì H là trực tâm của tam giác ABC nên \(\left\{ \begin{array}{l}AH \bot BC\\BH \bot AC\\H \in \left( {ABC} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC}  = 0\\\overrightarrow {BH} .\overrightarrow {AC}  = 0\\H \in \left( {ABC} \right)\end{array} \right.\).

Ta có

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {AH}  = \left( {x;y;z - 1} \right);\,\,\overrightarrow {BH}  = \left( {x;y - 2;z} \right)\\\overrightarrow {BC}  = \left( {3; - 2;0} \right);\,\,\,\overrightarrow {AC}  = \left( {3;0; - 1} \right)\end{array}\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}3x - 2y = 0\\3x - z = 0\\2x + 3y + 6z - 6 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{12}}{{49}}\\y = \frac{{18}}{{49}}\\z = \frac{{36}}{{49}}\end{array} \right.\).

Vậy \(k = x + 2y + z = \frac{{12}}{7}.\)

Chọn D.

Câu 33 (TH)

Phương pháp:

- Cho hàm số \(f\left( x \right)\)liên tục \(\left[ {a;b} \right]\), diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\), \(y = g\left( x \right)\), các đường thẳng \(x = a,\,\,x = b\) là \(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx} .\)

- Sử dụng công thức nguyên hàm mở rộng : \(\int {{e^{ax + b}}dx}  = \frac{1}{a}{e^{ax + b}} + C.\)

- Đồng nhất hệ số tìm a, b, c và tính P.

Phương pháp:

Áp dụng công thức tính diện tích hình phẳng.

Sử dụng các công thức tính nguyên hàm.

Cách giải:

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = {e^{2x}},\) \(y = 0,\) \(x = 0,\) \(x = 2\) là

\(S = \int\limits_0^2 {\left| {{e^{2x}}} \right|dx}  = \int\limits_0^2 {{e^{2x}}dx} \)\( = \left. {\frac{1}{2}{e^{2x}}} \right|_0^2 = \frac{{{e^4} - 1}}{2}\)

Khi dó \(a = 4;\,\,b = 1;\,\,c = 2.\)

Vậy \(P = a + 3b - c\) \( = 4 + 3.1 - 2 = 5.\)

Chọn A.

Câu 34 (TH)

Phương pháp:

- Sử dụng biến đổi lượng giác: \({\tan ^2}x = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}} - 1\).

- Sử dụng công thức nguyên hàm cơ bản: \(\int {\frac{{dx}}{{{{\cos }^2}x}}}  = \tan x + C\).

- Sử dụng giả thiết \(F\left( {\frac{\pi }{4}} \right) = 0\) tìm C.

Cách giải:

Ta có \(F\left( x \right)\) là nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {\tan ^2}x\) nên

\(\begin{array}{l}F\left( x \right) = \int {{{\tan }^2}x} dx\\ \Rightarrow F\left( x \right) = \int {\left( {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}} - 1} \right)dx} \\ \Rightarrow F\left( x \right) = \tan x - x + C\end{array}\)

Mà \(F\left( {\frac{\pi }{4}} \right) = 0 \Rightarrow 1 - \frac{\pi }{4} + C = 0\)\( \Leftrightarrow C = \frac{\pi }{4} - 1.\)

Vậy \(F\left( x \right) = \tan x - x + \frac{\pi }{4} - 1.\)

Chọn B.

Câu 35 (VD)

Phương pháp:

- Đường thẳng đi qua hai điểm A, B nhận \(\overrightarrow {AB} \) là 1 VTCP.

- Đường thẳng đi qua \(A\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) và có 1 VTCP \(\overrightarrow u \left( {a;b;c} \right)\) có phương trình là: \(\frac{{x - {x_0}}}{a} = \frac{{y - {y_0}}}{b} = \frac{{z - {z_0}}}{c}\).

Cách giải:

Ta có \(\overrightarrow {AB}  = \left( { - 2; - 4; - 2} \right)\) là 1 VTCP của đường thẳng \(\Delta \) , suy ra \(\overrightarrow u \left( {1;2;1} \right)\) cũng là 1 VTCP của \(\Delta \).

Phương trình đường thẳng \(\Delta \) đi qua \(A\left( {1;4;4} \right)\) và có 1 VTCP \(\overrightarrow u \left( {1;2;1} \right)\) là: \(\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 4}}{2} = \frac{{z - 4}}{1}\).

Ta thấy \(M\left( {0;2;3} \right) \in \Delta \) , do đó phương trình \(\Delta \) cũng có dạng \(\frac{x}{1} = \frac{{y - 2}}{2} = \frac{{z - 3}}{1}\).

Chọn A.

Câu 36 (VD)

Phương pháp:

- Hai đường thẳng song song thì VTCP của đường thẳng này cũng là VTCP của đường thẳng kia.

- Đường thẳng đi qua \(M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) và có 1 VTCP \(\overrightarrow u \left( {a;b;c} \right)\) có phương trình là: \(\frac{{x - {x_0}}}{a} = \frac{{y - {y_0}}}{b} = \frac{{z - {z_0}}}{c}\).

Cách giải:

Đường thẳng \(d:\frac{{x - 1}}{{ - 1}} = \frac{{y + 1}}{2} = \frac{{z - 2}}{{ - 1}}\) có 1 VTCP là \(\overrightarrow u \left( { - 1;2; - 1} \right)\).

Do đó đường thẳng d’ song song với d có 1 VTCP là \(\overrightarrow {u'} \left( {1; - 2;1} \right)\).

Vậy phương trình đường thẳng d’ đi qua M(2;1;-1) và song song với d có phương trình là: \(\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y - 1}}{{ - 2}} = \frac{{z + 1}}{1}\).

Dễ thấy điểm \(A\left( {0;5; - 3} \right) \in d'\), do đó phương trình đường thẳng d’ có dạng \(\frac{x}{1} = \frac{{y - 5}}{{ - 2}} = \frac{{z + 3}}{1}\).

Chọn B.

Câu 37 (TH)

Phương pháp:

Sử dụng công thức tính diện tích tam giác \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right]} \right|\).

Cách giải:

Ta có \(\overrightarrow {AB}  = \left( { - 2;3;0} \right);\,\,\overrightarrow {AC}  = \left( { - 2;0;4} \right)\) \( \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {12;8;6} \right)\).

Vậy \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right]} \right|\)\( = \frac{1}{2}.\sqrt {{{12}^2} + {8^2} + {6^2}}  = \sqrt {61} \)

Chọn D.

Câu 38 (VD)

Phương pháp:

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\). Gọi \(\left( H \right)\) là hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\), trục Ox và hai đường thẳng \(x = a\) và \(x = b\). Thể tích \(V\) của khối tròn xoay tạo thanh khi quay \(\left( H \right)\) quanh trục Ox được tính theo công thức \(V = \pi \int\limits_a^b {{f^2}\left( x \right)dx} .\)

Cách giải:

Xét phương trình hoành độ giao điểm: \(y = \sqrt x \cos \frac{x}{2} = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\\frac{x}{2} = \frac{\pi }{2} + k\pi \end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \pi  + k2\pi \end{array} \right.\)

Xét \(x \in \left[ {\frac{\pi }{2};\pi } \right] \Rightarrow x = \pi \)

\( \Rightarrow V = \pi \int\limits_{\frac{\pi }{2}}^\pi  {x{{\cos }^2}\frac{x}{2}dx}  \approx 1,775\).

Chọn B.

Câu 39 (TH)

Phương pháp:

- Tìm số phức z bằng MTCT.

- Số phức liên hợp của số phức \(z = a + bi\) là \(\overline z  = a - bi\).

Cách giải:

Ta có \(z = \frac{{4 + 6i}}{{1 - i}} =  - 1 + 5i\)\( \Rightarrow \overline z  =  - 1 - 5i\)

Chọn D.

Câu 40 (TH)

Phương pháp:

Áp dụng công thức tính nguyên hàm \(\int {\sqrt {ax + b} dx} \)\( = \frac{1}{a}.\frac{2}{3}\left( {ax + b} \right)\sqrt {ax + b}  + C\)

Cách giải:

\(\begin{array}{l}I = \int\limits_2^7 {\sqrt {x + 2} dx} \\ = \frac{2}{3}\left. {\left( {x + 2} \right)\sqrt {x + 2} } \right|_2^7 = \frac{{38}}{3}.\end{array}\)

Chọn D.

Câu 41 (VD)

Phương pháp:

- Gọi giao điểm của đoạn vuông góc chung với hai đường thẳng đã cho.

- Áp dụng tính chất vuông góc để tìm hai giao điểm đó.

Cách giải:

Gọi \(A \in {d_1}:\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y - 4}}{1} = \frac{z}{{ - 2}}\)\( \Rightarrow A\left( {a + 2;a + 4; - 2a} \right)\)

\(B \in {d_2}:\frac{{x - 3}}{2} = \frac{{y + 1}}{{ - 1}} = \frac{{z + 2}}{{ - 1}}\)\( \Rightarrow B\left( {2b + 3; - b - 1; - b - 2} \right)\)

Khi đó \(\overrightarrow {AB}  = \left( {2b - a + 1; - b - a - 5; - b + 2a - 2} \right)\)

Mà \(\overrightarrow {AB}  \bot \overrightarrow {{n_1}}  = \left( {1;1; - 2} \right)\) và \(\overrightarrow {AB}  \bot \overrightarrow {{n_2}}  = \left( {2; - 1; - 1} \right)\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}2b - a + 1 - b - a - 5 -\\2\left( { - b + 2a - 2} \right) = 0\\2\left( {2b - a + 1} \right) + b + a + 5 + b\\ - 2a + 2 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 6a + 3b = 0\\ - 3a + 6b + 9 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - 1\\b =  - 2\end{array} \right.\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}A\left( {1;3;2} \right)\\B\left( { - 1;1;0} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy trung điểm M của AB là \(M\left( {0;2;1} \right) \Rightarrow OM = \sqrt 5 .\)

Chọn D.

Câu 42 (TH)

Phương pháp:

Cho hàm số \(f\left( x \right)\)liên tục \(\left[ {a;b} \right]\), diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\), \(y = g\left( x \right)\), các đường thẳng \(x = a,\,\,x = b\) là \(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx} .\)

Cách giải:

Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y =  - {3^x},\) \(y = 0,\) \(x = 0,\) \(x = 4\) có diện tích là:

\(S = \int\limits_0^4 {\left| { - {3^x}} \right|dx}  = \int\limits_0^4 {{3^x}dx} \)

Chọn C.

Câu 43 (VD)

Phương pháp:

- Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z.

- Gọi \(M\left( {a;b} \right)\) là điểm biểu diễn số phức z.

- Khi đó: \({\left| z \right|_{\min }} \Leftrightarrow O{M_{\min }}\).

Cách giải:

Vì  \(\left| {z - 2 - 8i} \right| = \sqrt {17} \) nên tập hợp điểm biểu diễn của số phức z là đường tròn (C) tâm \(I\left( {2;8} \right)\), bán kính \(R = \sqrt {17} .\)

Gọi \(M\left( {a;b} \right)\) là điểm biểu diễn số phức z. Khi đó ta có \(\left| z \right| = OM\).

Do đó \({\left| z \right|_{\min }} \Leftrightarrow O{M_{\min }} \Rightarrow M\) là giao điểm của đường thẳng OI và đường tròn (C).

Ta có đường thẳng OI có dạng \(y = 4x\)

M là giao điểm của đường thẳng OI và đường tròn (C) nên tọa độ điểm M là nghiệm của hệ phương trình:

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}y = 4x\\{\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 8} \right)^2} = 17\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 4x\\{\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {4x - 8} \right)^2} = 17\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 4x\\17{\left( {x - 2} \right)^2} = 17\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 4x\\{\left( {x - 2} \right)^2} = 1\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 4x\\\left[ \begin{array}{l}x - 2 = 1\\x - 2 =  - 1\end{array} \right.\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3,\,\,y = 12\\x = 1,\,\,y = 4\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}M\left( {3;12} \right)\\M\left( {1;4} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Với M(3;12) thì \(OM = \sqrt {{3^2} + {{12}^2}}  = 3\sqrt {17} \).

Với M(1;4) thì \(OM = \sqrt {{1^2} + {4^2}}  = \sqrt {17} \).

Vậy \(O{M_{\min }} = \sqrt {17}  \Leftrightarrow a = 1,\,\,b = 4\) \( \Rightarrow m = 2{a^2} - 3b =  - 10.\)

Chọn C.

Câu 44 (VD)

Phương pháp:

- Áp dụng định lý viet.

- Sử dụng tính chất tam giác đều có ba cạnh bằng nhau.

Cách giải:

Phương trình \({x^2} - 4x + \frac{c}{d} = 0\) có hai nghiệm phức \({z_1};{z_2}\) thỏa mãn \(\left\{ \begin{array}{l}{z_1} + {z_2} = 4\\{z_1}.{z_2} = \frac{c}{d}\end{array} \right.\)

Ta có \({z_1} = a + bi \Rightarrow {z_2} = a - bi\)

Nên \({z_1} + {z_2} = 2a = 4 \Rightarrow a = 2\)

Đặt \(A\left( {2;b} \right);B\left( {2; - b} \right)\)

Vì tam giác OAB đều nên \(OA = AB\)

\( \Rightarrow 4 + {b^2} = 4{b^2} \Rightarrow {b^2} = \frac{4}{3}\)

Mà \(\frac{c}{d} = {z_1}.{z_2} = {a^2} + {b^2} = 4 + \frac{4}{3} = \frac{{16}}{3}\)

Nên \(\left\{ \begin{array}{l}c = 16\\d = 3\end{array} \right.\)\( \Rightarrow P = c + 2d = 22\)

Chọn B.

Câu 45 (VD)

Phương pháp:

- Gọi \(S\left( {a;b;c} \right)\).

- Lập 3 phương trình ba ẩn, giải hệ phương trình tìm a, b, c.

- Tính \(SA\), sau đó tính l.

Cách giải:

Gọi \(S\left( {a;b;c} \right).\)

Vì \(S \in \left( P \right)\)\( \Rightarrow 2a - 6b - 4c + 7 = 0\,\,\,\left( 1 \right)\)

Theo bài ra ta có:

Thay vào (1) ta có: \(2.\frac{3}{2} - 6b - 4.1 + 7 = 0\)\( \Leftrightarrow b = 1.\)

Khi đó ta có: \(S\left( {\frac{3}{2};1;1} \right)\)\( \Rightarrow SA = \sqrt {\frac{1}{4} + 9 + 4}  = \frac{{\sqrt {53} }}{2}\)

Vậy \(l = SA + SB = 2SA = \sqrt {53} .\)

Chọn A.

Câu 46 (VD)

Phương pháp:

- Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến \(t = {x^2} + 1\), sau đó sử dụng phương pháp từng phân.

- Đồng nhất hệ số tìm a, b, c và tính T.

Cách giải:

Ta có \(I = \int\limits_0^4 {x\ln \left( {{x^2} + 1} \right)dx} \)

Đặt \(t = {x^2} + 1 \Rightarrow dt = 2xdx\)

Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow t = 1\\x = 4 \Rightarrow t = 17\end{array} \right.\).

Khi đó ta có: \(I = \frac{1}{2}\int\limits_1^{17} {\ln tdt} \).

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = \ln t\\dv = dt\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \frac{1}{t}dt\\v = t\end{array} \right.\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow I = \frac{1}{2}\left( {\left. {t.\ln t} \right|_1^{17} - \int\limits_1^{17} {t.\frac{1}{t}dt} } \right)\\ \Rightarrow I = \frac{1}{2}\left( {17\ln 17 - \int\limits_1^{17} {dt} } \right)\\ \Rightarrow I = \frac{1}{2}\left( {17\ln 17 - \left( {17 - 1} \right)} \right)\\ \Rightarrow I = \frac{{17}}{2}\ln 17 - 8\end{array}\)

\( \Rightarrow a = 17,\,\,b = 2,\,\,c =  - 8\).

Vậy \(T = a + b + c\) \( = 17 + 2 + \left( { - 8} \right) = 11.\)

Chọn D.

Câu 47 (VD)

Phương pháp:

Áp dụng định lý Vi-et: \(\left\{ \begin{array}{l}{z_1} + {z_2} =  - \frac{b}{a}\\{z_1}{z_2} = \frac{c}{a}\end{array} \right.\).

Cách giải:

Ta có \({z^2} - 6z + {2019^{2020}} + 9 = 0\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{z_1} + {z_2} = 6\\{z_1}.{z_2} = {2019^{2020}} + 9\end{array} \right.\)

Đặt \({z_1} = a + bi \Rightarrow {z_2} = a - bi\)

Nên \({z_1} + {z_2} = 2a = 6 \Rightarrow a = 3\)

Mà \({z_1}.{z_2} = {a^2} + {b^2}\)\( \Rightarrow {b^2} = {2019^{2020}}\) \( \Rightarrow b =  \pm {2019^{1010}}\)

Vậy \(z = 3 \pm {2019^{1010}}i.\)

Chọn B.    

Câu 48 (NB)

Phương pháp:

Mặt cầu \(\left( S \right):\,\,{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2ax + 2by \)\(+ 2cz + d = 0\) có tâm \(I\left( {a;b;c} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d} \) với \({a^2} + {b^2} + {c^2} - d > 0\).

Cách giải:

Mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x + 2y + 2z - 3 = 0\) có tâm là \(I\left( {2; - 1; - 1} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt {4 + 1 + 1 + 3}  = 3.\)

Chọn D.

Câu 49 (VD)

Phương pháp:

Cho hàm số \(f\left( x \right)\)liên tục \(\left[ {a;b} \right]\), thể tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\), \(y = g\left( x \right)\), các đường thẳng \(x = a,\,\,x = b\) là \(V = \pi \int\limits_a^b {\left| {{f^2}\left( x \right) - {g^2}\left( x \right)} \right|dx} .\)

Cách giải:

Xét phương trình hoành độ giao điểm: \(x\ln x = 0\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 0\\\left[ \begin{array}{l}x = 0\\\ln x = 0\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 1.\)

Khi đó ta có: \(V = \pi \int\limits_1^e {{x^2}{{\ln }^2}xdx} \)

Đặt

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{\ln ^2}x = u\\{x^2}dx = dv\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \frac{2}{x}\ln xdx\\v = \frac{{{x^3}}}{3}\end{array} \right.\\ \Rightarrow V = \pi \left[ {\left. {\frac{{{x^3}}}{3}{{\ln }^2}x} \right|_1^2 - \frac{2}{3}\int\limits_1^2 {{x^2}\ln xdx} } \right]\end{array}\)

Đặt \(I = \frac{2}{3}\int\limits_1^2 {{x^2}\ln xdx} \)

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}\ln x = u\\{x^2}dx = dv\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \frac{{dx}}{x}\\v = \frac{{{x^3}}}{3}\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow I = \frac{2}{3}\left[ {\left. {\frac{{{x^3}}}{3}\ln x} \right|_1^2 - \int\limits_1^2 {\frac{{{x^2}}}{3}dx} } \right]\\ = \frac{2}{3}\left. {\left[ {\frac{{{x^3}}}{3}\ln x - \frac{{{x^3}}}{9}} \right]} \right|_1^2\end{array}\)

Khi đó

\(V = \pi \left[ {\left. {\frac{{{x^3}}}{3}{{\ln }^2}x - \frac{2}{9}{x^3}\ln x + \frac{{2{x^3}}}{{27}}} \right|_1^2} \right]\)

\( = \frac{\pi }{{27}}\left( {5{e^3} - 2} \right)\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 27\\b = 5\end{array} \right.\\ \Rightarrow T = a - {b^2} = 2\end{array}\)

Chọn A.

Câu 50 (VDC)

Cách giải:

Ta có

\(\begin{array}{l}I = \int\limits_0^1 {\frac{{{x^2}{e^x}dx}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}} \\ = \int\limits_0^1 {\left[ {\frac{{\left( {{x^2} - 4} \right){e^x}}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} + \frac{{4{e^x}}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}} \right]dx} \\ \Rightarrow I = \int\limits_0^1 {\left[ {\frac{{\left( {x - 2} \right){e^x}}}{{x + 2}} + \frac{{4{e^x}}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}} \right]dx} \\ \Rightarrow I = \int\limits_0^1 {\left[ {\frac{{\left( {x - 2} \right){e^x}}}{{x + 2}} + \left( {\frac{{x - 2}}{{x + 2}}} \right)'.{e^x}} \right]dx} \\ \Rightarrow I = \int\limits_0^1 {\left( {\frac{{{e^x}\left( {x - 2} \right)}}{{x + 2}}} \right)} 'dx\\ = \left. {\frac{{{e^x}\left( {x - 2} \right)}}{{x + 2}}} \right|_0^1 = \frac{{ - e}}{3} + 1 = \frac{{3 - e}}{3}\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 3\\b = 1\end{array} \right.\\ \Rightarrow S = 2{a^2} + b = 19.\end{array}\)

Chọn A.

Nguồn: Sưu tầm

soanvan.me