Bài 1 trang 32

Đề bài

Chứng minh các đẳng thức sau đúng với mọi \(n \in \mathbb{N}*\):

a) \(1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + n(n + 1) = \frac{{n(n + 1)(n + 2)}}{3}\)

b) \(1 + 4 + 9 + ... + {n^2} = \frac{{n(n + 1)(2n + 1)}}{6}\)

c) \(1 + 2 + {2^2} + {2^3} + {2^4} + ... + {2^{n - 1}} = {2^n} - 1\)

Lời giải chi tiết

a) Ta chứng minh a) bằng phương pháp quy nạp

Với \(n = 1\) ta có \(1.2 = \frac{{1.(1 + 1).(1 + 2)}}{3}\)

Vậy a) đúng với \(n = 1\)

Giải sử a) đúng với \(n = k\) nghĩa là có \(1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + k(k + 1) = \frac{{k(k + 1)(k + 2)}}{3}\)

Ta chứng minh a) đúng với \(n = k + 1\) tức là chứng minh  \(1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + k(k + 1) + (k + 1)(k + 2) = \frac{{(k + 1)(k + 2)(k + 3)}}{3}\)

Thật vậy, ta có

\(\begin{array}{l}1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + k(k + 1) + (k + 1)(k + 2)\\ = \frac{{k(k + 1)(k + 2)}}{3} + (k + 1)(k + 2)\\ = (k + 1)(k + 2)\left[ {\frac{k}{3} + 1} \right]\\ = \frac{{(k + 1)(k + 2)(k + 3)}}{3}\end{array}\)

Vậy a) đúng với mọi \(n \in \mathbb{N}*\).

b) Ta chứng minh b) bằng phương pháp quy nạp

Với \(n = 1\) ta có \(1 = \frac{{1.(1 + 1)(2.1 + 1)}}{6}\)

Vậy b) đúng với \(n = 1\)

Giải sử b) đúng với \(n = k\) nghĩa là có \(1 + 4 + 9 + ... + {k^2} = \frac{{k(k + 1)(2k + 1)}}{6}\)

Ta chứng minh b) đúng với \(n = k + 1\) tức là chứng minh  \(1 + 4 + 9 + ... + {k^2} + {(k + 1)^2} = \frac{{(k + 1)(k + 2)\left[ {2(k + 1) + 1} \right]}}{6}\)

Thật vậy, ta có

\(\begin{array}{l}1 + 4 + 9 + ... + {k^2} + {(k + 1)^2} = \frac{{k(k + 1)(2k + 1)}}{6} + {(k + 1)^2}\\ = \frac{{(k + 1)}}{6}\left[ {k(2k + 1) + 6(k + 1)} \right] = \frac{{(k + 1)}}{6}.\left( {2{k^2} + k + 6k + 6} \right)\\ = \frac{{(k + 1)}}{6}.\left( {2{k^2} + 7k + 6} \right) = \frac{{(k + 1)}}{6}.(k + 2).(2k + 3)\\ = \frac{{(k + 1)(k + 2)\left[ {2(k + 1) + 1} \right]}}{6}\end{array}\)

Vậy b) đúng với mọi \(n \in \mathbb{N}*\).

c) Ta chứng minh c) bằng phương pháp quy nạp

Với \(n = 1\) ta có \(1 = {2^1} - 1\)

Vậy c) đúng với \(n = 1\)

Giải sử c) đúng với \(n = k\) nghĩa là có \(1 + 2 + {2^2} + {2^3} + {2^4} + ... + {2^{k - 1}} = {2^k} - 1\)

Ta chứng minh c) đúng với \(n = k + 1\) tức là chứng minh  \(1 + 2 + {2^2} + {2^3} + {2^4} + ... + {2^{k - 1}} + {2^k} = {2^{k + 1}} - 1\)

Thật vậy, ta có

\(\begin{array}{l}1 + 2 + {2^2} + {2^3} + {2^4} + ... + {2^{k - 1}} + {2^k}\\ = {2^k} - 1 + {2^k} = {2.2^k} - 1 = {2^{k + 1}} - 1\end{array}\)

Vậy c) đúng với mọi \(n \in \mathbb{N}*\).