Đề bài
Hàng tháng, một người gửi vào ngân hàng một khoản tiền tiết kiệm không đổi a đồng. Giả sử lãi suất hàng tháng là r không đổi và theo thể thức lãi kép (tiền lãi của tháng trước được cộng vào vốn của tháng kế tiếp). Gọi \({T_n}(n \ge 1)\) là tổng tiền vốn và lãi của nười đó có trong ngân hàng tại thời điểm ngay sau khi gửi vào khoản thứ \(n + 1\).
a) Tính \({T_1},{T_2},{T_3}\).
b) Dự đoán công thức tính \({T_n}\) và chứng minh công thức đó bằng phương pháp quy nạp toán học.
Gợi ý: Lưu ý công thức ở Thực hành 4.
Lời giải chi tiết
a) \({T_1}\) là tổng tiền vốn và lãi của nười đó có trong ngân hàng tại thời điểm ngay sau khi gửi vào khoản thứ 2, do đó: \({T_1} = a + a.r + a = a\left( {\left( {1 + r} \right) + 1} \right)\)
\({T_2} = {T_1}(1 + r) + a = a\left( {\left( {1 + r} \right) + 1} \right)\left( {r + 1} \right) + a = a\left( {{{\left( {1 + r} \right)}^2} + \left( {1 + r} \right) + 1} \right)\)
\({T_3} = {T_2}(1 + r) + a = a\left( {{{\left( {1 + r} \right)}^2} + \left( {1 + r} \right) + 1} \right)\left( {r + 1} \right) + a = a\left( {{{\left( {1 + r} \right)}^3} + {{\left( {1 + r} \right)}^2} + \left( {1 + r} \right) + 1} \right)\)
b) Từ a) ta dự đoán rằng
\({T_n} = a\left( {{{\left( {1 + r} \right)}^n} + {{\left( {1 + r} \right)}^{n - 1}} + ... + \left( {1 + r} \right) + 1} \right) = a.\frac{{1 - {{\left( {1 + r} \right)}^{n + 1}}}}{{1 - \left( {1 + r} \right)}} = a.\frac{{1 - {{\left( {1 + r} \right)}^{n + 1}}}}{r}\)
Ta chứng minh bằng quy nạp theo n.
Bước 1: Với \(n = 1\) ta có \({T_1} = a\left( {\left( {1 + r} \right) + 1} \right)\)
Như vậy công thức đúng cho trường hợp \(n = 1\)
Bước 2: Giả sử mệnh đề đúng với \(n = k\), nghĩa là có:
\({T_k} = a\left( {{{\left( {1 + r} \right)}^k} + {{\left( {1 + r} \right)}^{k - 1}} + ... + \left( {1 + r} \right) + 1} \right)\)
Ta sẽ chứng minh công thức đúng với \(n = k + 1\), nghĩa là cần chứng minh
\({T_{k + 1}} = a\left( {{{\left( {1 + r} \right)}^{k + 1}} + {{\left( {1 + r} \right)}^k} + {{\left( {1 + r} \right)}^{k - 1}} + ... + \left( {1 + r} \right) + 1} \right)\)
Sử dụng giả thiết quy nạp, ta có
\(\begin{array}{l}{T_{k + 1}} = {T_k}(1 + r) + a = a\left( {{{\left( {1 + r} \right)}^k} + {{\left( {1 + r} \right)}^{k - 1}} + ... + \left( {1 + r} \right) + 1} \right)\left( {1 + r} \right) + a\\ = a\left( {{{\left( {1 + r} \right)}^{k + 1}} + {{\left( {1 + r} \right)}^k} + {{\left( {1 + r} \right)}^{k - 1}} + ... + \left( {1 + r} \right) + 1} \right)\end{array}\)
Vậy công thức đúng với \(n = k + 1\).
Theo nguyên lí quy nạp toán học, bất công thức đúng với mọi \(n \in \mathbb{N}*\).