Đề bài
Tứ giác \(ABCD\) có \(AB ⊥ CD.\) Gọi \(E,\, F,\, G,\, H\) theo thứ tự là trung điểm của \(BC,\, BD,\, AD,\, AC.\) Chứng minh rằng \(EG = FH.\)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng kiến thức:
+) Đường trung bình của tam giác là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh của tam giác.
+) Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh ấy.
Lời giải chi tiết
Trong \(∆ BCD\) ta có:
\(E\) là trung điểm của \(BC\) (gt)
\(F\) là trung điểm của \(BD\) (gt)
nên \(EF\) là đường trung bình của \(∆ BCD\)
\(⇒ EF // CD\) và \(EF= \dfrac{1}{2}CD\) (1)
Trong \(∆ ACD\) ta có:
\(H\) là trung điểm của \(AC\) (gt)
\(G\) là trung điểm của \(AD\) (gt)
nên \(HG\) là đường trung bình của \(∆ ACD\)
\(⇒ HG // CD\) và \(HG = \dfrac{1}{2}CD\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra: \(EF // HG\) và \(EF = HG\)
Suy ra tứ giác \(EFGH\) là hình bình hành (vì có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau)
Mặt khác: \(EF // CD\) (chứng minh trên)
\(AB ⊥ CD\) (gt)
Suy ra \(EF ⊥ AB\)
Trong \(∆ ABC\) ta có \(HE\) là đường trung bình (do H là trung điểm của AC và E là trung điểm của BC)
\(⇒ HE // AB\)
Suy ra: \(HE ⊥ EF\) hay \(\widehat {FEH} = {90^0}\)
Vậy hình bình hành \(EFGH\) là hình chữ nhật.
Do đó \(EG=FH\) (tính chất hình chữ nhật).
soanvan.me