Đề bài
Cho hình thang cân \(ABCD,\) đường cao \(AH.\) Gọi \(E,\, F\) theo thứ tự là trung điểm của các cạnh bên \(AD,\, BC.\) Chứng minh rằng \(EFCH\) là hình bình hành.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Tính chất đường trung bình của hình thang
Tính chất tam giác vuông (đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh ấy)
Lời giải chi tiết
Ta có: \(E\) là trung điểm của \(AD\) (gt)
\(F\) là trung điểm của \(BC\) (gt)
Nên \(EF\) là đường trung bình của hình thang \(ABCD\)
\(⇒ EF // CD\) hay \(EF // CH\) (*)
\(∆ AHD\) vuông tại \(H\) có \(HE\) là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền \(AD.\)
Ta có: \(HE = ED = \dfrac{1}{2}AD\) (tính chất tam giác vuông)
\(⇒ ∆ EDH\) cân tại \(E\)
\( \Rightarrow \widehat D = {\widehat H_1}\) (tính chất tam giác cân)
\(\widehat D = \widehat C\) (vì ABCD là hình thang cân)
Suy ra: \({\widehat H_1} = \widehat C\)
\(⇒ EH // CF\) (**) (vì có cặp góc đồng vị bằng nhau)
Từ (*) và (**) suy ra tứ giác \(EFCH\) là hình bình hành (1 cặp cạnh song song và bằng nhau).
soanvan.me