Cho hàm số \(y = 2{x^4} - 4{x^2}\)(1)
LG câu a
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1).
Phương pháp giải:
- Tìm TXĐ.
- Xét sự biến thiên.
- Vẽ đồ thị hàm số.
Giải chi tiết:
Tập xác định : \(D = R\)
\(y' = 8{x^3} - 8x = 8x({x^2} - 1)\); \(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = 0\\x = 1\end{array} \right.\)
Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng \(\left( { - 1;0} \right)\) và \(\left( {1; + \infty } \right)\)
Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và \(\left( {0;1} \right)\)
Hàm số đạt cực đại tại \(x = 0;{y_{CD}} = 0\)
Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = \pm 1;{y_{CT}} = - 2\)
Giới hạn: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } y = + \infty \)
\(y'' = 24{x^2} - 8;\)\(y'' = 0 \Leftrightarrow {x^2} = \dfrac{1}{3} \Leftrightarrow x = \pm \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}\)
Đồ thị có hai điểm uốn: \({I_1}\left( { - \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}; - \dfrac{{10}}{9}} \right);\)\({I_2}\left( {\dfrac{{\sqrt 3 }}{3}; - \dfrac{{10}}{9}} \right)\).
Bảng biến thiên:
Đồ thị:
Đồ thị cắt trục hoành tại: \(A( - \sqrt 2 ;0),O(0;0),B(\sqrt 2 ;0)\).
LG b
Với giá trị nào của \(m\), phương trình \({x^2}|{x^2} - 2| = m\) có đúng \(6\) nghiệm thực phân biệt?
(Đề thi đại học năm 2009; khối B)
Phương pháp giải:
- Biến đổi phương trình đã cho về \(\left| {2{x^4} - 4{x^2}} \right| = 2m\).
- Dựng đồ thị hàm số \(y = \left| {2{x^4} - 4{x^2}} \right|\) từ đồ thị hàm số đã vẽ ở ý a:
+ Giữ nguyên phần đồ thị phía trên trục \(Ox\).
+ Lấy đối xứng phần dưới qua \(Ox\) và xóa phần dưới đi.
- Biện luận số nghiệm dựa vào số giao điểm của đường thẳng \(y = 2m\) và đồ thị vừa vẽ được.
Giải chi tiết:
Ta có: \({x^2}|{x^2} - 2| = m\)\( \Leftrightarrow 2{x^2}\left| {{x^2} - 2} \right| = 2m\)\( \Leftrightarrow \left| {2{x^2}\left( {{x^2} - 2} \right)} \right| = 2m\)\( \Leftrightarrow \left| {2{x^4} - 4{x^2}} \right| = 2m\)
Từ đồ thị hàm số \(y = 2{x^4}-4{x^2}\) có thể suy ra đồ thị của hàm số \(y = \left| {2{x^4} - 4{x^2}} \right|\) như sau:
Phương trình : \(\left| {2{x^4} - 4{x^2}} \right| = 2m\) có \(6\) nghiệm phân biệt khi và chỉ khi đường thẳng \(y = 2m\) giao với đồ thị trên tại \(6\) điểm phân biệt \( \Leftrightarrow 0 < 2m < 2\) \( \Leftrightarrow 0 < m < 1\).
Vậy \(0 < m < 1\).
soanvan.me