Đề bài

a) Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + y \le 5}\\{3x + 2y \le 12}\\{x \ge 1}\\{y \ge 0}\end{array}} \right.\left( {III} \right)\)

b) Tìm x, y là nghiệm của hệ bất phương trình (III) sao cho \(F = 3x + 7y\) đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a)

  • Bước 1: Vẽ đường thẳng \(d:x - 2y = 4\).
  • Bước 2: Lấy một điểm \(M\left( {{x_o};{y_o}} \right)\) không nằm trên d (ta thường lấy gốc tọa độ O nếu \(c \ne 0\). Tính \(a{x_o} + b{y_o}\) và so sánh với c
  • Bước 3: Kết luận
    • Nếu \(a{x_o} + b{y_o} < c\)thì nửa mặt phẳng (không kể đường thẳng d) chứa điểm M là miền nghiệm của bất phương trình \(ax + by < c\)
    • Nếu \(a{x_o} + b{y_o} > c\) thì nửa mặt phẳng (không kể d) không chứa điểm M là miền nghiệm của bất phương trình \(ax + by > c\)

b)

- Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình trên hệ tọa độ

\(F\left( {x;y} \right)\) đạt max hoặc min tại một trong các đỉnh nên ta chỉ cần tính giá trị của \(F\left( {x;y} \right)\) tại các đỉnh đó

Lời giải chi tiết

a) Ta vẽ bốn đường thẳng:

d1: x + y = 5 là đường thẳng đi qua hai điểm có tọa độ (0; 5) và (5; 0);

d2: 3x + 2y = 12 là đường thẳng đi qua hai điểm có tọa độ (4; 0) và (0; 6);

d3: x = 1 là đường thẳng song song với trục tung và đi qua điểm (1; 0);

d4: y = 0 là trục hoành.

Ta xác định từng miền nghiệm của từng bất phương trình trong hệ, gạch đi các phần không thuộc miền nghiệm của mỗi bất phương trình.

Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền trong tứ giác ABCD với A(1; 0), B(1; 4), C(2; 3) và D(4; 0) như hình vẽ sau:

b) Ta có biểu thức F = 3x + 7y đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất tại một trong các đỉnh của tứ giác ABCD.

Tại A(1; 0) với x = 1 và y = 0 thì F = 3.1 + 7.0 = 3;

Tại B(1; 4) với x = 1 và y = 4 thì F = 3.1 + 7.4 = 31;

Tại C(2; 3) với x = 2 và y = 3 thì F = 3.2 + 7.3 = 27;

Tại D(4; 0) với x = 4 và y = 0 thì F = 3.4 + 7.0 = 12.

Vậy giá trị lớn nhất của F là 31 tại x = 1 và y = 4, giá trị nhỏ nhất của F là 3 tại x = 1 và y = 0