Đề bài
Hãy lập phương trình bậc hai nhận \(\dfrac{1}{{{x_1} - 1}}\) và \(\dfrac{1}{{{x_2} - 1}}\)làm nghiệm với \({x_1},{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình \({x^2} + 3x - 7 = 0\) .
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Tìm ra \(S = \dfrac{1}{{{x_1} - 1}} + \dfrac{1}{{{x_2} - 1}};\) \(P = \dfrac{1}{{{x_1} - 1}}.\dfrac{1}{{{x_2} - 1}}\) sau đó thay vào phương trình \({x^2} - Sx + P = 0\)
Lời giải chi tiết
Ta có:
\({x^2} + 3x - 7 = 0;a = 1;b = 3;c = - 7\)
Do \({x_1};{x_2}\) là 2 nghiệm của phương trình \({x^2} + 3x - 7 = 0\) nên ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - \dfrac{b}{a} = - 3\\{x_1}{x_2} = \dfrac{c}{a} = - 7\end{array} \right.\)
Khi đó ta có:
\(\dfrac{1}{{{x_1} - 1}} + \dfrac{1}{{{x_2} - 1}}\)
\(= \dfrac{{{x_1} + {x_2} - 2}}{{\left( {{x_1} - 1} \right)\left( {{x_2} - 1} \right)}} \)
\(= \dfrac{{{x_1} + {x_2} - 2}}{{{x_1}{x_2} - \left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 1}} \)
\(= \dfrac{5}{3};\dfrac{1}{{{x_1} - 1}}.\dfrac{1}{{{x_2} - 1}} \)
\(= \dfrac{1}{{{x_1}{x_2} - \left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 1}} = - \dfrac{1}{3}\)
Vậy là hai nghiệm của phương trình bậc hai là:
\({x^2} - Sx + P = 0 \)
\(\Leftrightarrow {x^2} - \dfrac{5}{3}x - \dfrac{1}{3} = 0 \)
\(\Leftrightarrow 3{x^2} - 5x - 1 = 0\)
soanvan.me