Đề bài

Cho \(A, B, C\) là ba điểm trên một đường tròn. \(At\) là tiếp tuyến của đường tròn tại \(A\). Đường thẳng song song với \(At\) cắt \(AB\) tại \(M\) và cắt \(AC\) tại \(N\). Chứng minh \(AB.AM = AC.AN\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

+ Sử dụng tính chất hai đường thẳng song song

+ Sử dụng hệ quả: Trong một đường tròn, góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau.

+ Chứng minh \(\Delta ABC \backsim \Delta ANM\) để suy ra đẳng thức cần chứng minh.

Lời giải chi tiết

 

Vì \(At//MN\) nên \(\widehat {BAt} = \widehat {AMN}\,\left( 1 \right)\) (hai góc ở vị trí so le trong)

mà \(\widehat {BAt} = \widehat {ACB}\) (2) vì cùng chắn \(\overparen{AB}\) 

Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat {AMN} = \widehat {ACB}\)

Vậy \(\Delta ABC \backsim \Delta ANM\) (vì \(\widehat A\) chung và \(\widehat {AMN} = \widehat {ACB}\))

Do đó \(\dfrac{{AB}}{{AN}} = \dfrac{{AC}}{{AM}} \Leftrightarrow AB.AM = AC.AN\) (đpcm)

soanvan.me