Bài 3 trang 21 sách bài tập toán 10 - Chân trời sáng tạo

Đề bài

Giải các phương trình bậc hai sau:

a) \({x^2} - 10x + 24 \ge 0\)                                     b) \( - 4{x^2} + 28x - 49 \le 0\)

c) \({x^2} - 5x + 1 > 0\)                                            d) \(9{x^2} - 24x + 16 \le 0\)

e) \(15{x^2} - x - 2 < 0\)                                           g) \( - {x^2} + 8x - 17 > 0\)

h) \( - 25{x^2} + 10x - 1 < 0\)                                  i) \(4{x^2} + 4x + 7 \le 0\)

Lời giải chi tiết

_a) Tam thức \({x^2} - 10x + 24\) _có \(a = 1 > 0\) _{và hai nghiệm} \({x_1} = 4;{x_2} = 6\)

_{Suy ra} \({x^2} - 10x + 24 \ge 0\) _{khi và chỉ khi} \(\left( { - \infty ;4} \right] \cup \left[ {6; + \infty } \right)\)

_{Vậy tập nghiệm của bất phương trình là} \(\left( { - \infty ;4} \right] \cup \left[ {6; + \infty } \right)\)

_b) Tam thức \( - 4{x^2} + 28x - 49\) _có \(a =  - 4 < 0\) _{và nghiệm kép} \({x_1} = {x_2} = \frac{7}{2}\)

_{Suy ra} \( - 4{x^2} + 28x - 49 \le 0\) _{với mọi} \(x \in \mathbb{R}\)

_{Vậy tập nghiệm của bất phương trình là} \(\mathbb{R}\)

_c) Tam thức \({x^2} - 5x + 1\) _có \(a = 1 > 0\) _{và hai nghiệm} \({x_1} = \frac{{5 - \sqrt {21} }}{2};{x_2} = \frac{{5 + \sqrt {21} }}{2}\)

_{Suy ra} \({x^2} - 5x + 1 > 0\) _{khi và chỉ khi} \(\left( { - \infty ;\frac{{5 - \sqrt {21} }}{2}} \right) \cup \left( {\frac{{5 + \sqrt {21} }}{2}; + \infty } \right)\)

_{Vậy tập nghiệm của bất phương trình là} \(\left( { - \infty ;\frac{{5 - \sqrt {21} }}{2}} \right) \cup \left( {\frac{{5 + \sqrt {21} }}{2}; + \infty } \right)\)

_d) Tam thức \(9{x^2} - 24x + 16\) _có \(a = 9 > 0\) _{và nghiệm kép} \({x_1} = {x_2} = \frac{4}{3}\)

_{Do đó} \(9{x^2} - 24x + 16 \ge 0\) _{với mọi} \(x \in \mathbb{R}\)

_{Suy ra} \(9{x^2} - 24x + 16 \le 0\) _{có nghiệm khi} \(9{x^2} - 24x + 16 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{4}{3}\)

_{Vậy tập nghiệm của bất phương trình là} \(\left\{ {\frac{4}{3}} \right\}\)

_e) Tam thức \(15{x^2} - x - 2\) _có \(a = 15 > 0\) _{và hai nghiệm} \({x_1} =  - \frac{1}{3};{x_2} = \frac{2}{5}\)

_{Suy ra} \(15{x^2} - x - 2 < 0\) _{khi và chỉ khi} \(\left( { - \frac{1}{3};\frac{2}{5}} \right)\)

_{Vậy tập nghiệm của bất phương trình là} \(\left( { - \frac{1}{3};\frac{2}{5}} \right)\)

_g) Tam thức \( - {x^2} + 8x - 17\) _có \(a =  - 1 < 0\) _và \(\Delta  =  - 4 < 0\)

_{Do đó} \( - {x^2} + 8x - 17 \le 0\) _{với mọi} \(x \in \mathbb{R}\)

_{Suy ra không có giá trị x thỏa mãn bất phương trình} \( - {x^2} + 8x - 17 > 0\)

_{Vậy bất phương trình đã cho vô nghiệm}

_h) Tam thức \( - 25{x^2} + 10x - 1\) _có \(a =  - 25 < 0\) _{và nghiệm kép} \({x_1} = {x_2} = \frac{1}{5}\)

_{Do đó} \( - {x^2} + 8x - 17 \le 0\) _{với mọi} \(x \in \mathbb{R}\)

_{Suy ra} \( - 25{x^2} + 10x - 1 < 0\) _{khi và chỉ khi} \(x \ne \frac{1}{5}\)

_{Vậy tập nghiệm của bất phương trình là} \(\mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{1}{5}} \right\}\)

_i) Tam thức \(4{x^2} + 4x + 7\) _có \(a = 4 > 0\) _và \(\Delta  =  - 96 < 0\)

_{Suy ra không có giá trị nào của x để} \(4{x^2} + 4x + 7 \le 0\)

_{Vậy bất phương trình đã cho vô nghiệm}