Đề bài
Cho đường tròn \((O),\) các bán kính \(OA\) và \(OB.\) Trên cung nhỏ \(AB\) lấy các điểm \(M\) và \(N\) sao cho \(AM = BN.\) Gọi \(C\) là giao điểm của các đường thẳng \(AM\) và \(BN.\) Chứng minh rằng:
\(a)\) \(OC\) là tia phân giác của góc \(AOB.\)
\(b)\) \(OC\) vuông góc với \(AB.\)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng kiến thức:
+) Trong một đường tròn: Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm.
+) Trong tam giác cân, đường trung tuyến ứng với cạnh đáy vừa là đường cao, đường phân giác.
Lời giải chi tiết
\(a)\) Kẻ \(OH ⊥ AM, OK ⊥ BN\)
Ta có: \(AM = BN \;\;(gt)\)
Suy ra: \( OH = OK\) (hai dây bằng nhau cách đều tâm)
Xét hai tam giác \(OCH\) và \(OCK,\) ta có:
\(\widehat {OHC} = \widehat {OKC} = 90^\circ \)
\(OC\) chung
\(OH = OK\) (chứng minh trên)
Suy ra: \(∆OCH = ∆OCK\) (cạnh huyền, cạnh góc vuông)
\(\widehat {{O_1}} = \widehat {{O_2}}\) (1)
Xét hai tam giác \(OAH\) và \(OBK,\) ta có:
\(\widehat {OHA} = \widehat {OKB} = 90^\circ \)
\( OA = OB\) (cùng bằng bán kính)
\(OH = OK\) ( chứng minh trên)
Suy ra: \(∆OAH = ∆OBK\) (cạnh huyền, cạnh góc vuông)
\(\widehat {{O_3}} = \widehat {{O_4}}\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra: \(\widehat {{O_1}} + \widehat {{O_3}} = \widehat {{O_2}} + \widehat {{O_4}}\) hay \(\widehat {AOC} = \widehat {BOC}\)
Vậy \(OC\) là tia phân giác của \(\widehat {AOB}\)
\(b)\) Tam giác \(OAB\) cân tại \(O\) (do \(OA=OB)\) có \(OC\) là tia phân giác nên \(OC\) đồng thời cũng là đường cao ( tính chất tam giác cân).
Suy ra: \(OC ⊥ AB.\)
Chú ý: TH hình vẽ dưới đây các em vẫn làm như trên:
soanvan.me