Đề bài
Cho đường tròn \((O),\) hai dây \(AB\) và \(CD\) cắt nhau tại điểm \(M\) nằm bên trong đường tròn. Gọi \(H\) và \(K\) theo thứ tự là trung điểm của \(AB\) và \(CD.\) Cho biết \(AB >CD,\) chứng minh rằng \(MH > MK.\)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng kiến thức:
+) Trong hai dây của một đường tròn: Dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn.
+) Trong một đường tròn: Đường kính đi qua trung điểm của dây không đi qua tâm thì vuông góc với dây đó.
+) Định lý Pytago: Trong tam giác vuông, bình phương cạnh huyền bằng tổng bình phương hai cạnh góc vuông.
Lời giải chi tiết
Xét (O) có \(HA = HB \;(gt)\)
Suy ra: \(OH ⊥ AB\) (đường kính đi qua trung điểm của dây không đi qua tâm thì vuông góc với dây đó)
Xét (O) có \(KC = KD\;\; (gt)\)
Suy ra: \(OK ⊥ CD\) (đường kính đi qua trung điểm của dây không đi qua tâm thì vuông góc với dây đó)
Mà \(AB > CD \;\;(gt)\)
Nên \(OK > OH\) ( dây lớn hơn thì gần tâm hơn)
Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông \(OHM\) ta có:
\(O{M^2} = O{H^2} + H{M^2}\)
Suy ra: \(H{M^2} = O{M^2} - O{H^2}\) \( (1)\)
Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông \(OKM,\) ta có:
\(O{M^2} = O{K^2} + K{M^2}\)
Suy ra: \(K{M^2} = O{M^2} - O{K^2}\) \((2)\)
Mà \(OH < OK (cmt) \) \( (3)\)
Từ \((1),\) \((2)\) và \((3)\) suy ra: \(H{M^2} > K{M^2}\) hay \(HM > KM.\)
soanvan.me