Bài 3.11 trang 52 Chuyên đề học tập Toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc hypebol đến hai đường tiệm cận của nó là một số không đổi

Lời giải chi tiết

Gọi PTCT của hypebol là:  \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\)

Hai đường tiệm cận \({d_1}:y =  - \frac{b}{a}x\) và \({d_2}:y = \frac{b}{a}x\)

Lấy \(M({x_0};{y_0})\) bất kì thuộc hypebol.

\(d(M,{d_1}) = \frac{{\left| {\frac{b}{a}{x_0} + {y_0}} \right|}}{{\sqrt {{{\left( {\frac{b}{a}} \right)}^2} + 1} }};d(M,{d_2}) = \frac{{\left| {\frac{b}{a}{x_0} - {y_0}} \right|}}{{\sqrt {{{\left( {\frac{b}{a}} \right)}^2} + 1} }}.\)

\( \Rightarrow d(M,{d_1}).d(M,{d_2}) = \frac{{\left| {\left( {\frac{b}{a}{x_0} + {y_0}} \right)\left( {\frac{b}{a}{x_0} - {y_0}} \right)} \right|}}{{{{\left( {\frac{b}{a}} \right)}^2} + 1}} = \frac{{\left| {{{\left( {\frac{b}{a}} \right)}^2}{x_0}^2 - {y_0}^2} \right|}}{{{{\left( {\frac{b}{a}} \right)}^2} + 1}}\)

Mà \(M({x_0};{y_0})\)thuộc hypebol nên \(\frac{{{x_0}^2}}{{{a^2}}} - \frac{{{y_0}^2}}{{{b^2}}} = 1\) hay \({\left( {\frac{b}{a}} \right)^2}{x_0}^2 - {y_0}^2 = {b^2}\)

\( \Rightarrow d(M,{d_1}).d(M,{d_2}) = \frac{{{b^2}}}{{{{\left( {\frac{b}{a}} \right)}^2} + 1}} = \frac{{{a^2}.{b^2}}}{{{a^2} + {b^2}}}\) là hằng số (đpcm)