Đề bài
Đố. Đố em tính nhanh được tổng sau:
\(\dfrac{1}{x(x+1)}+\dfrac{1}{(x+1)(x+2)}\)\(\,+\dfrac{1}{(x+2)(x+3)}+\dfrac{1}{(x+3)(x+4)}\)\(\,+\dfrac{1}{(x+4)(x+5)}+\dfrac{1}{(x+5)(x+6)}\)
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Tách mỗi phân thức trong tổng thành hiệu của hai phân thức, sau đó rút gọn.
Lời giải chi tiết
Ta có:
\( \dfrac{1}{x(x+1)}=\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x+1}\)
\( \dfrac{1}{(x+1)(x+2)}=\dfrac{1}{x+1}-\dfrac{1}{x+2}\)
\( \dfrac{1}{(x+2)(x+3)}=\dfrac{1}{x+2}-\dfrac{1}{x+3}\)
\( \dfrac{1}{(x+3)(x+4)}=\dfrac{1}{x+3}-\dfrac{1}{x+4}\)
\( \dfrac{1}{(x+4)(x+5)}=\dfrac{1}{x+4}-\dfrac{1}{x+5}\)
\( \dfrac{1}{(x+5)(x+6)}=\dfrac{1}{x+5}-\dfrac{1}{x+6}\)
Do đó, cộng vế với vế của các dòng trên, ta được:
\( \dfrac{1}{x(x+1)}+\dfrac{1}{(x+1)(x+2)}\)\(\,+\dfrac{1}{(x+2)(x+3)}+\dfrac{1}{(x+3)(x+4)}\)\(\,+\dfrac{1}{(x+4)(x+5)}+\dfrac{1}{(x+5)(x+6)}\)
\( =\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{1}{x+1}-\dfrac{1}{x+2}\)\(+\dfrac{1}{x+2}-\dfrac{1}{x+3}\)\(+\dfrac{1}{x+3}-\dfrac{1}{x+4}\)\(+ \dfrac{1}{x+4}-\dfrac{1}{x+5}\)\(+\dfrac{1}{x+5}-\dfrac{1}{x+6}\)
\( =\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x+6} = \dfrac{1}{x} + \dfrac{{ - 1}}{{x + 6}}\)
\(= \dfrac{{x + 6}}{{x\left( {x + 6} \right)}} + \dfrac{{ - x}}{{x\left( {x + 6} \right)}}\)
\(=\dfrac{x+6-x}{x(x+6)}=\dfrac{6}{x(x+6)}\)
soanvan.me