Đề bài
Tam giác \(ABC\) có \(\widehat A = {60^ \circ },\,\,AB = 3,\,\,BC = 3\sqrt 3 .\) Độ dài bán kính đường tròn nội tiếp của tam giác \(ABC\) là:
A. \(\frac{{3\left( {\sqrt 3 - 1} \right)}}{2}.\)
B. \(\frac{{3\left( {\sqrt 3 + 1} \right)}}{2}.\)
C. \(\frac{{\sqrt 3 - 1}}{2}.\)
D. \(\sqrt 3 - 1.\)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Tính độ dài đoạn thẳng \(AC:\) \(\cos A = \frac{{A{B^2} + A{C^2} - B{C^2}}}{{2AB.AC}}.\)
- Tính nửa chu vi và diện tích \(\Delta ABC\): \(S = \frac{1}{2}AB.AC.\sin A\)
- Tính bán kính đường tròn nội tiếp \(\Delta ABC\): \(S = pr.\)
Lời giải chi tiết
Độ dài đoạn thẳng \(AC\) là:
\(\begin{array}{l}\cos A = \frac{{A{B^2} + A{C^2} - B{C^2}}}{{2AB.AC}} \Leftrightarrow \frac{1}{2} = \frac{{9 + A{C^2} - 27}}{{6AC}}\\ \Leftrightarrow 2\left( {A{C^2} - 18} \right) = 6AC\\ \Leftrightarrow 2A{C^2} - 6AC - 36 = 0\\ \Leftrightarrow AC = 6.\end{array}\)
Nửa chu vi \(\Delta ABC\) là: \(p = \frac{{AB + AC + BC}}{2} = \frac{{3 + 6 + 3\sqrt 3 }}{2} = \frac{{9 + 3\sqrt 3 }}{2} = \frac{{3\sqrt 3 \left( {\sqrt 3 + 1} \right)}}{2}\)
Diện tích \(\Delta ABC\) là: \(S = \frac{1}{2}AB.AC.\sin A = \frac{1}{2}.3.6\sin {60^ \circ } = \frac{{9\sqrt 3 }}{2}.\)
Bán kính đường tròn nội tiếp \(\Delta ABC\) là:
\(r = \frac{S}{p} = \frac{{9\sqrt 3 }}{2}:\frac{{3\sqrt 3 \left( {\sqrt 3 + 1} \right)}}{2} = \frac{3}{{\sqrt 3 + 1}} = \frac{{3\left( {\sqrt 3 - 1} \right)}}{2}\)
Chọn A.