Đề bài
Cho tam giác \(ABC\) có \(c = 5,\,\,a = 8,\,\,\widehat B = {60^ \circ }.\)
a) Tính \(b\) và các góc của \(A,C\) (số đo các góc làm tròn đến hàng đơn vị, theo đơn vị độ).
b) Tính độ dài đường cao kẻ từ \(B.\)
c) Tính độ dài trung tuyến kể từ \(A.\)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Áp dụng định lý cosin để tính \(b,\,\,\widehat A,\,\,\widehat C\)
- Tính diện tích \(\Delta ABC\): \(S = \frac{1}{2}ac.\sin B\)
- Độ dài đường cao kẻ từ \(B\): \(S = \frac{1}{2}b.{h_b}\)
- Độ dài đường trung tuyến kẻ từ đỉnh \(A\): \(m_a^2 = \frac{{{b^2} + {c^2}}}{2} - \frac{{{a^2}}}{4}\)
Lời giải chi tiết
a) Áp dụng định lý cosin, ta có:
\(\begin{array}{l}{b^2} = {a^2} + {c^2} - 2ac.\cos B\\ \Rightarrow \,\,{b^2} = 64 + 25 - 2.8.5.\cos {60^ \circ } = 49\\ \Rightarrow \,\,b = 7.\end{array}\)
Áp dụng định lý cosin, ta có:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos A = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}}}\\{\cos C = \frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{2ab}}}\end{array}} \right.\,\, \Rightarrow \,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos A = \frac{{49 + 25 - 64}}{{2.7.5}} = \frac{1}{7}}\\{\cos C = \frac{{64 + 49 - 25}}{{2.8.7}} = \frac{{11}}{{14}}}\end{array}\,\, \Rightarrow \,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\widehat A \approx {{82}^ \circ }}\\{\widehat C \approx {{38}^ \circ }}\end{array}} \right.} \right.\)
b) Diện tích \(\Delta ABC\) là: \(S = \frac{1}{2}ac.\sin B = \frac{1}{2}.8.5.\sin {60^ \circ } = 10\sqrt 3 .\)
Độ dài đường cao kẻ từ \(B\) là: \({h_b} = \frac{{2S}}{b} = \frac{{2.10\sqrt 3 }}{7} = \frac{{20\sqrt 3 }}{7}.\)
c) Độ dài đường trung tuyến kẻ từ \(A\) là:
\(\begin{array}{l}m_a^2 = \frac{{{b^2} + {c^2}}}{2} - \frac{{{a^2}}}{4} = \frac{{49 + 25}}{2} - \frac{{64}}{4} = 21\\ \Rightarrow \,\,{m_a} = \sqrt {21} .\end{array}\)