Đề bài
Cho tam giác ABC có AB = 6cm, AC = 4,5cm, BC = 7,5cm.
a) Chứng minh tam giác ABC vuông tại A. Tính các góc B, C và đường cao AH của tam giác đó.
b) Hỏi rằng điểm M mà diện tích tam giác MBC bằng diện tích tam giác ABC nằm trên đường nào?
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
+) Chứng minh tam giác có tổng bình phương hai cạnh bằng bình phương cạnh còn lại thì tam giác đó là tam giác vuông.
+) Áp dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn để tính các góc của tam giác ABC.
+) Áp dụng hệ thức lượng đối với tam giác vuông có đường cao để tính đường cao của tam giác đó.
+) Diện tích tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\): \(S=\dfrac{1}{2}AH.BC=\dfrac{1}{2}AB.AC.\)
Lời giải chi tiết
a) Xét ∆ABC có \(AB^2+AC^2={6^2} + 4,{5^2} = 36 + 20,25\)\( = 56,25 = 7,{5^2}=BC^2.\)
\(\Rightarrow ∆ABC\) vuông tại \(A\) (định lý Py-ta-go đảo).
\(\eqalign{&Ta \, \, có: tan B = {{AC} \over {AB}} = {{4,5} \over 6} = 0,75 \Rightarrow \widehat B \approx {37^0} \cr & \Rightarrow \widehat C = {90^0} - \widehat B = {53^0}. \cr} \)
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABC, có:
\(AH.BC = AB.AC\)
\( \displaystyle \Rightarrow AH = {{AB.AC} \over {BC}} = {{4,5.6} \over {7,5}} = 3,6(cm).\)
b)
Kẻ \(MK \bot BC\) tại \(K.\)
Ta có: \(S_{ABC}=\dfrac{1}{2}AH.BC\)
\(S_{MBC}=\dfrac{1}{2}MK.BC\)
Từ đó, \( S_{ABC}=S_{MBC} \Leftrightarrow MK= AH=3,6cm.\)
Do đó \(M\) nằm trên hai đường thẳng song song cách \(BC\) một khoảng bằng \(3,6 cm\) (hình vẽ).